周萍，陳卓，徐則林，莫景文

(中南大學(xué) 能源科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙，410083)

玻璃因其特殊的物理化學(xué)性能，廣泛應(yīng)用于封裝、射頻微機電以及生物芯片基座等微流控系統(tǒng)中，因此，基于玻璃材質(zhì)的微加工工藝也就成為開發(fā)微流控系統(tǒng)的一個重要技術(shù)問題。玻璃微通道的刻蝕方法主要有機械刻蝕、干法刻蝕(等離子刻蝕)與濕法刻蝕三大類。機械刻蝕包括傳統(tǒng)鉆刻、超聲鉆刻、電化學(xué)加工和噴粉法等，其缺點是無法得到較光滑的刻蝕表面。干法刻蝕的刻蝕成本高，刻蝕速率低，刻蝕面的表面粗糙度也較高[1]，因此，目前使用最廣泛的仍是濕法刻蝕。濕法刻蝕是利用氫氟酸對玻璃的腐蝕性對控制面的玻璃進行腐蝕。由于玻璃各向同性的特征，刻蝕一般無法得到嚴格的矩形微通道截面形狀，而是側(cè)壁為圓弧形的通道[2-3]，本文將這種截面形狀的微通道稱為圓角形微通道。同時，由于刻蝕的橫向速度遠遠大于縱向速度，因此，用一般濕法刻蝕方法得到的微通道截面大多寬度大于深度。雖然許多研究用復(fù)雜工藝可以得到玻璃濕法刻蝕的較理想矩形通道截面[4-5]，但由于經(jīng)濟性較差，目前尚無法用于批量生產(chǎn)。另一方面，在微流控系統(tǒng)設(shè)計中，阻力是非常重要的1個參數(shù)，其大小在很大程度上取決于微通道的截面形狀及其內(nèi)部流動特征(層流、湍流以及過渡流)，常用范寧阻力系數(shù)來表示，即

式中：Δp為微通道壓降；Dh為截面特征尺度；L為微通道長度；ρ為流體密度；u為流體流速。

范寧阻力系數(shù)(f)與雷諾數(shù)(Re)的乘積稱為Poiseuille數(shù)(簡稱 Po數(shù)，Po=f·Re)。對于圓管層流，Po是1個常數(shù)，其值為16；對于矩形通道，Po是1個與微通道截面形狀因子有關(guān)的量，Shah等[6]提出了在低雷諾數(shù)下Po的經(jīng)驗公式，即：

微通道中流體的壓降受流動狀態(tài)、流體性質(zhì)、通道截面形狀等眾多參數(shù)的影響，過去對該問題的研究主要集中在幾個方面：

(1) 流體性質(zhì)對微通道流動特性的影響。Wu等[7-8]對不可壓縮和可壓縮氮氣、氫氣和氬氣的流動進行了研究；Yang等[9]對不可壓縮空氣的流動進行了研究；Judy等[10]研究了異丙醇、水和甲醇的流動；Yang等[9,11]研究了R134a液體和R114液的流動。

(2) 截面形狀對微通道流動特性的影響。Celata等[11]對圓形截面、馬璨等[12]對矩形截面進行了研究，蔣炳炎等[13]對三角形和梯形截面微通道內(nèi)流動特征進行了研究。

(3) 管壁對微通道流動特性的影響。王瑋等[14-16]通過研究發(fā)現(xiàn)，粗糙管壁會增加層流區(qū)的阻力系數(shù)以及引起層流向湍流提前轉(zhuǎn)變。

(4) 流動狀態(tài)對微通道流動特性的影響。

不同研究者分別對層流、過渡區(qū)流動和湍流流動[17]以及微通道內(nèi)的兩相流[18]，滑移流動[19]等進行了研究。已有研究工作主要是針對圓形、矩形、三角形、梯形等規(guī)則截面形狀的微通道而進行的。對于實際玻璃濕法刻蝕得到截面形狀的微通道阻力特性的研究尚未見相關(guān)文獻報道。微通道流動特性的研究方法主要有實驗研究與數(shù)值模擬兩大類。實驗研究方法由于存在成本高、周期長以及參數(shù)檢測困難等問題而使其應(yīng)用受到很大的限制，數(shù)值模擬方法則由于具有成本低、周期短以及模擬能力強的特點，近些年在微通道流動的研究領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[20-21]。為此，本文作者采用數(shù)值模擬的方法，以水為介質(zhì)，研究低雷諾數(shù)下圓角型微通道的截面形狀對阻力系數(shù)的影響規(guī)律，并擬合出Po準(zhǔn)數(shù)與界面形狀因子α之間的關(guān)聯(lián)式，為微通道流動特性的研究及其工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 玻璃質(zhì)微通道幾何結(jié)構(gòu)及其網(wǎng)格劃分

根據(jù)濕法刻蝕的特點，數(shù)值模擬中對微通道截面形狀進行適當(dāng)簡化處理。設(shè)兩側(cè)壁為1/4圓弧面，底面為平面(見圖1)，且截面最大寬度D大于高度H。定義高H(亦即圓弧所在圓的半徑)與底部直段長W的比值為截面形狀因子α，

結(jié)合作者前期工作，取微通道的寬度 D為 200 μm，長度L為3 000 μm。考慮W與H為8種不同尺寸即 8種不同的形狀因子，其具體的幾何參數(shù)見表1。

圖1 圓角形微通道幾何形狀示意圖Fig.1 Schematic diagram of geometry for semi-circle microchannel

表1 不同形狀因子α的圓角形微通道幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of microchannels with different aspect ratios μm

對微通道的解析區(qū)域采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，且對壁面處的網(wǎng)格加密以更好地處理邊界層流動現(xiàn)象，使求解更精確。根據(jù)微通道截面幾何尺寸的不同，所劃分的總網(wǎng)格數(shù)為5.0×105～7.0×105，并對網(wǎng)格獨立性進行驗證。

2 數(shù)學(xué)模型及其邊界條件

2.1 數(shù)學(xué)模型

在對微通道流動過程進行數(shù)值模擬時，作出以下假設(shè)：(1) 流體為牛頓流體；(2) 流動過程為等溫穩(wěn)態(tài)過程；(3) 流體為不可壓縮流體，且為層流流動(0.01＜Re＜40)；(4) 流體在壁面附近為無滑移流動；(5) 對于分子自由程小于10-3μm的流體，當(dāng)微通道特征尺度大于1 μm時，均能滿足克努曾準(zhǔn)數(shù)Kn＜10-3，流動不受稀薄效應(yīng)影響，可以使用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)[22]。所研究的微通道特征尺度均在30 μm以上，故其內(nèi)部流體流動可視為連續(xù)流動。

基于上述假設(shè)，描述微通道內(nèi)流體流動過程的控制方程如下。

連續(xù)性方程：

動量方程：

其中：ui為i方向上的速度分量，且i和j 均為1，2和3，代表x，y和 z 3個坐標(biāo)方向；p為靜壓；ρ和μ分別為流體的密度和動力黏度。

2.2 邊界條件

微通道中的流動介質(zhì)為水，溫度為定常值(293 K)，其密度 ρ=998.2 kg/m3，動力黏度 μ=1.004×10-3Pa·s；流體入口為速度入口邊界條件，壁面為無滑移邊界條件；出口為壓力出口。

3 結(jié)果與討論

基于 FLUENT6.3軟件平臺，以圓形截面微通道內(nèi)流體阻力的理論計算公式為基準(zhǔn)，對微通道內(nèi)流體阻力數(shù)值模擬的模型與方法的有效性進行檢驗。在此基礎(chǔ)上，對截面形狀因子對圓角形微通道內(nèi)流動阻力的影響規(guī)律進行數(shù)值模擬研究。

3.1 雷諾數(shù)和截面形狀因子對微通道壓降的影響

根據(jù)文獻[23]和[24]中的研究經(jīng)驗，對 0.01≤Re≤40時水在圓角形微通道內(nèi)的流動進行研究。針對微通道截面最大寬度D大于高度H的特點，取微通道的高度H為雷諾數(shù)的特征尺度[22]，且雷諾數(shù)的定義式為：

式中：um為微通道截面平均流速?；诓煌字Z數(shù)與截面形狀因子的微通道流動過程的數(shù)值模擬結(jié)果，為排除入口和出口效應(yīng)的影響，由管流充分發(fā)展段計算出單位長度壓降，并分別繪出微通道單位長度壓降隨雷諾數(shù)、截面形狀因子變化的曲線，見圖2和圖3。

由圖2可知：不同截面形狀因子下圓角形微通道單位長度壓降均隨雷諾數(shù)的增加而增加，且呈線性變化，這與常規(guī)層流流動阻力的規(guī)律相同。圖3表明：截面形狀因子對玻璃質(zhì)微通道流動阻力有重要影響；在微通道截面的最大寬度D一定的情況下，不同雷諾數(shù)下微通道單位長度壓降均隨著截面形狀因子的增加而增加，且呈現(xiàn)出非線性變化的趨勢。

圖2 定寬度時雷諾數(shù)Re對微通道單位長度壓降p的影響Fig.2 Effect of Re on micro-channel pressure drop at a constant width

圖3 定寬度時微通道形狀因子α對單位長度壓降p的影響Fig.3 Effect of micro-channel shape factor on pressure drop at a constant width

3.2 雷諾數(shù)和截面形狀因子對微通道Po數(shù)的影響

由式(1)與(6)可得：

研究結(jié)果表明：當(dāng)截面形狀因子一定時，不同雷諾數(shù)下的Po重合在一起(如圖4所示，7個雷諾數(shù)條件下的數(shù)據(jù)點重合)，說明Po并不隨Re的變化而變化，即同一種截面形狀因子的微通道流動 Po為一定值。由流體力學(xué)理論可知：對于常規(guī)不可壓縮充分發(fā)展段流動，流動阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的乘積與雷諾數(shù)無關(guān)，因此，這一結(jié)果與理論分析相符?？梢哉J為Cui等[24]研究中 Po隨雷諾數(shù)的波動是實驗測量誤差等原因造成的。

如圖4所示，Po隨形狀因子的增大而減小，但隨著形狀因子的不斷增大，Po的減小趨勢逐漸變緩。這表明形狀因子是影響 Po的重要因素，與矩形微通道中的流動特征是相似的[6]。在微通道寬度一定的情況下，Po與單位長度壓降隨形狀因子的變化規(guī)律不同。事實上，綜合式(1)，(3)和(6)可得：

式中： 為常數(shù)。式(8)表明：當(dāng)寬度與 Re一定時，微通道單位長度壓降不僅與阻力系數(shù)相關(guān)，而且與形狀因子相關(guān)；而式(7)則僅取決于阻力系數(shù)，因此，Po與阻力系數(shù)均隨形狀因子的增大而減小，而單位長度壓降隨形狀因子的變化規(guī)律則有所不同。

圖4 不同Re下微通道形狀因子對Po數(shù)的影響Fig.4 Effect of micro-channel shape factor on Po number at different Re

3.3 圓角型微通道阻力系數(shù)的經(jīng)驗公式

3.3.1 阻力系數(shù)經(jīng)驗公式的擬合

截面形狀因子α是影響Po的單一變量。因此，基于圖4中0.01≤Re≤40時Po隨形狀因子的變化規(guī)律，通過曲線擬合，得到圓角型微通道阻力系數(shù)的經(jīng)驗公式如下：

經(jīng)驗公式與數(shù)值模擬結(jié)果之間的誤差不大于0.5%，形狀因子α的適應(yīng)范圍為0.4≤α≤3.2。

3.3.2 阻力系數(shù)經(jīng)驗公式對不同幾何尺寸的微通道適用性

上述研究結(jié)果是在通道截面最大寬度一定、截面高度變化的情況下獲得的，為驗證式(9)的普適性，對截面高度一定(H=50 μm)、截面最大寬度變化的微通道流動阻力特性進行研究。將基于式(9)計算得到的不同形狀因子的圓角形微通道 Po預(yù)測值與對應(yīng)參數(shù)下的數(shù)值模擬結(jié)果進行比較后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)0.4≤α≤3.2時，雷諾數(shù)對圓角型微通道的 Po沒有影響，這與前面結(jié)果一致；且式(9)計算得到的不同形狀因子下的微通道Po預(yù)測值與數(shù)值模擬結(jié)果之間的誤差小于0.70%。

3.3.3 阻力系數(shù)經(jīng)驗公式對不同黏度流體的適用性

為進一步驗證阻力系數(shù)經(jīng)驗公式的適用性，使用高黏度的離子液(Bmin)BF4對其進行驗證，其物理性質(zhì)見表2[25]。表3所示為形狀因子為2.0和不同雷諾數(shù)下基于式(9)的 Po預(yù)測值與數(shù)值模擬結(jié)果間的相對誤差。由表3可知：最大誤差小于0.3%。

因此，可以認為在所研究的雷諾數(shù)區(qū)域 (0.01≤Re≤40) 和形狀因子范圍(0.4≤α≤3.2)內(nèi)，圓角型微通道阻力系數(shù)經(jīng)驗公式(9)具有良好的適用性。

表2 離子液(Bmin)BF4物理性質(zhì)Table 2 Properties of ionic liquid (Bmin)BF4

表3 α=2.0，H=50 μm時離子液微通道流動Po數(shù)相對誤差分布Table 3 Error distribution of Po of ionic liquid when α=2.0 and H=50 μm

4 結(jié)論

(1) 對于圓角型微通道，當(dāng)截面寬度一定時，雷諾數(shù)與截面形狀因子均對壓降有很大影響，且壓降隨雷諾數(shù)和形狀因子的增大而增大。

(2) 當(dāng)雷諾數(shù)0.01≤Re≤40時，同一截面形狀因子的圓角形微通道 Po與隨雷諾數(shù)無關(guān)，因此，截面形狀因子是圓角形微通道 Po的影響單一參變量，且其Po隨截面形狀因子的增大而減小。

(3) 基于圓角型微通道的數(shù)值模擬數(shù)據(jù)，擬合了Poiseuille數(shù)Po隨截面形狀因子變化的阻力系數(shù)α經(jīng)驗公式：Po=10.161 1-2.408 5α+0.166 0α2+0.148 09α3-0.197 9α4+0.023 4α5。該式在雷諾數(shù) 0.01≤Re≤40 和截面形狀因子0.4≤α≤3.2范圍內(nèi)均適用。

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