嚴(yán)導(dǎo)淦

（同濟(jì)大學(xué)物理教研室，上海 200092）

在當(dāng)前理工科專業(yè)的物理課程和教材中，對(duì)“量綱”內(nèi)容的介紹一般都比較少.有的即使教材中有所介紹，課程教學(xué)中也很少講授.實(shí)際上，對(duì)理工科學(xué)生來(lái)說(shuō)，量綱分析及其方法，在有關(guān)專業(yè)的今后工作中是很有用的.它不僅可以找出某些物理量與另外一些物理量之間的關(guān)系；用于物理量的單位換算；檢驗(yàn)公式的正確與否；還可以借以探究某些物理規(guī)律，有助于建立起函數(shù)關(guān)系的基本形式.

由于物理現(xiàn)象一般較復(fù)雜，涉及的因素很多，有時(shí)無(wú)法列出描述物理現(xiàn)象的微分方程；或者求解這些方程在數(shù)學(xué)上有困難，因而不得不乞助于其他分析途徑或?qū)嶒?yàn)來(lái)解決.量綱分析在科技實(shí)踐中是進(jìn)行分析和實(shí)驗(yàn)的一種有效的手段.通過(guò)量綱分析，一般來(lái)說(shuō)，可以合理而有目的地簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)，并有助于整理實(shí)驗(yàn)成果.

當(dāng)然，要正確應(yīng)用這一方法，還必須根據(jù)已有的科技知識(shí)和理論，對(duì)物理現(xiàn)象具有一定的分析能力.

本文就量綱分析問(wèn)題作一簡(jiǎn)介，旨在引起同行們的重視和共析.

1 量綱

度量物理量的單位的類別叫做量綱.例如小時(shí)、分、秒是不同的時(shí)間測(cè)量單位，它們都屬于同一時(shí)間種類，可以統(tǒng)一用T表示，則［T］①按照GB 3103—93文件規(guī)定，某個(gè)物理量X的量綱用dimX表示，考慮到國(guó)際物理學(xué)界的使用習(xí)慣和便于查閱歷史文獻(xiàn)，本文沿用［X］表示。就是上述時(shí)間單位的“量綱”.

在國(guó)際單位制（SI）中，取長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、熱力學(xué)溫度、電流、物質(zhì)的量、發(fā)光強(qiáng)度這些物理量作為“基本量”，來(lái)表述物理現(xiàn)象及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律.它們的量綱分別用［L］、［M］、［T］、［Θ］、［I］、［N］、［J］表示，叫做基本量綱.而其他一些物理量的量綱是根據(jù)有關(guān)的物理定義或定律，借上述這些基本量綱導(dǎo)出的，這些量綱就是相應(yīng)于“導(dǎo)出量”的“導(dǎo)出量綱”.

基本量綱與其他基本量綱之間是相互獨(dú)立的，即一個(gè)基本量綱不能從其他基本量綱導(dǎo)出.例如我們不能從［L］、［I］中得出［M］，也不能從［T］、［M］中得出［L］；但［L］、［M］和密度的量綱［ρ］三者則非相互獨(dú)立的，因?yàn)椋郐眩荩剑跮-3M］.

其次，基本量綱并沒(méi)有規(guī)定必須取幾個(gè).例如在工程力學(xué)問(wèn)題中，任一力學(xué)量的量綱一般?。跮］、［T］、［M］為基本量綱；但也可以選用四個(gè)互不相關(guān)的基本量綱［L］、［T］、［M］及力的量綱［F］，即將［F］作為獨(dú)立的基本量綱.這時(shí)需將牛頓定律寫成F＝kma，而系數(shù)k的量綱則為［k］＝［FT2M-1L-1］.

一般來(lái)說(shuō)，引入一個(gè)額外的物理系數(shù)，就可以增加一個(gè)相互獨(dú)立的基本量綱.過(guò)去工程上常采用［L］、［T］、［F］作為基本量綱，而今在力學(xué)中，已統(tǒng)一用［L］、［T］、［M］作為基本量綱.

導(dǎo)出量的量綱或物理方程中有量綱的常量均可用基本量綱的指數(shù)乘積形式表示，例如，借1摩爾的理想氣體狀態(tài)方程pV＝RT，可得R的量綱為［M1L2T-2Θ-1］.在力學(xué)中，任一物理量X的量綱均可用三個(gè)基本量綱［L］、［T］、［M］的指數(shù)乘積形式表示：

上式就是力學(xué)中的量綱公式，量X的性質(zhì)可由量綱指數(shù)α、β、γ來(lái)反映.如α、β、γ中任一個(gè)不等于零，則說(shuō)X是一個(gè)有量綱的量.在力學(xué)中，有量綱的量大致可分為三類：

（一）α≠0、β＝0、γ＝0為一幾何量；

（二）α≠0、β≠0、γ＝0為一運(yùn)動(dòng)學(xué)的量；

（三）α≠0、β≠0、γ≠0為一動(dòng)力學(xué)的量.

例如面積A的量綱為長(zhǎng)度量綱的平方，即［A］＝［L2］，或?qū)懗闪烤V公式［A］＝［L2T0M0］.加速度的量綱公式為［a］＝［LT-2M0］，由于F＝ma，可知力F的量綱公式為［F］＝［M LT-2］.

2 無(wú)量綱的數(shù)——純數(shù)

有的物理量，其量綱為零.例如式（1）中各指數(shù)α＝β＝γ＝0，或

則X稱為無(wú)量綱數(shù)或純數(shù)，即只表示某個(gè)數(shù).

無(wú)量綱數(shù)可以是兩個(gè)相同量的比值（例如，體積V的相對(duì)壓縮量，即為一個(gè)無(wú)量綱數(shù)）.也可以由幾個(gè)量綱通過(guò)乘、除而組成，而組合結(jié)果的各個(gè)基本量綱的指數(shù)為零，滿足式（2）.

例如，流體力學(xué)中區(qū)別層流和湍流的一個(gè)判據(jù)，即雷諾數(shù)（Reynold’s number，其中流體速度v的量綱為［LT-1］，管子直徑d的量綱為［L］，流體的運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)γ的量綱為［L2T-1］，則雷諾數(shù)的量綱為

即為無(wú)量綱數(shù).

無(wú)量綱數(shù)有下述重要性質(zhì)：

（1）無(wú)量綱數(shù)既無(wú)量綱又無(wú)單位，其數(shù)值大小與所選用的單位制無(wú)關(guān)，因而它可作為一個(gè)客觀的判據(jù)值.例如表征流體的某一流動(dòng)狀態(tài)的雷諾數(shù)為Re＝2000，則不論采用SI制或英制單位，其值均保持不變.所以，雷諾數(shù)可作為一個(gè)客觀判據(jù).

（2）一切有量綱的物理量都將因選取不同單位制而有不同數(shù)值.若用有量綱的物理量來(lái)表示一個(gè)物理規(guī)律的自變量，則此物理規(guī)律所表達(dá)的因變量也將隨所選用的單位而有不同的值.而單位是人為選用的，可是物理規(guī)律不應(yīng)隨主觀意志而改變.只有無(wú)量綱量不隨所選用的單位的不同而改變其值，所以要正確反映物理規(guī)律，最好將其物理量組合成用無(wú)量綱數(shù)表示的形式.或者說(shuō)，一個(gè)完整、正確的物理方程應(yīng)是用無(wú)量綱項(xiàng)組成的方程.由此可見無(wú)量綱數(shù)的重要性.量綱分析的目的之一就是要找出正確地組合無(wú)量綱數(shù)的方法.

（3）在對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)等任何超越函數(shù)運(yùn)算中，都必須是對(duì)無(wú)量綱數(shù)來(lái)進(jìn)行的.例如，理想氣體等溫壓縮過(guò)程中的功為

體積的壓縮比即為一無(wú)量綱數(shù)，故可取對(duì)數(shù)；而對(duì)有量綱的某些物理量取對(duì)數(shù)是無(wú)意義的.又如平面簡(jiǎn)諧行波的表達(dá)式為

又如對(duì)物理現(xiàn)象中的自然衰減或增長(zhǎng)過(guò)程，乃指過(guò)程中某一個(gè)量在確定的空間或時(shí)間間隔中的變化為其自身的一個(gè)恒定的分?jǐn)?shù)，即可表示為微分形式

其中，N為變化著的量，α是常數(shù)，正負(fù)號(hào)分別表示增長(zhǎng)或衰減.因此，變化率正比于測(cè)量這個(gè)變化率時(shí)N的值.積分上式得N＝N0e±αx或N＝N0e±αt，其中N0是N在x＝0或t＝0時(shí)的值，e是自然對(duì)數(shù)的底.這里不管對(duì)數(shù)的底e的指數(shù)是什么，它總是底數(shù)為e的自乘次數(shù)，所以這個(gè)指數(shù)函數(shù)e±αx或e±αt是無(wú)量綱數(shù)，即α的量綱和x-1或t-1的量綱一樣.

3 量綱分析的基本原理

凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱均須一致，這是量綱分析的一條基本原理，稱為量綱和諧原理.因?yàn)橹挥辛烤V相同的物理量才能加減；否則，把不同量綱的物理量相加減，例如把力和電流相加顯然無(wú)意義.所以，一個(gè)方程中各項(xiàng)的量綱必須相同和一致.但不同量綱的物理量可以相乘、除，可得出導(dǎo)出量綱表示的另一個(gè)物理量，如質(zhì)量乘速度可得動(dòng)量.

量綱和諧原理在科研中有廣泛應(yīng)用，例如：

（1）一個(gè)物理方程在量綱上是和諧的，則方程的基本形式不因換用量度單位而改變.借量綱和諧原理，可用來(lái)檢驗(yàn)所建立的方程或檢驗(yàn)公式是否完整.例如三維的波動(dòng)方程為

式中，S為位移，u為波速.上式各量的量綱均為［T-1］，因而此式的量綱是和諧的.不論用什么單位制，該方程的形式均不變；如果用方程中任一項(xiàng)去除式中各項(xiàng)，則可得到無(wú)量綱組成的方程式.

如果一方程不論是代數(shù)方程或微分方程在量綱上不和諧，則就得檢查一下方程是否完整，所用單位是否一致，在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中是否有誤.

正確的物理方程固然要求量綱和諧，但在工程技術(shù)中，例如研究江河中泥沙運(yùn)動(dòng)的規(guī)律時(shí)，也有一些方程的量綱是不和諧的.這一般是指單純借實(shí)驗(yàn)觀測(cè)資料所建立的經(jīng)驗(yàn)公式，它們?cè)趹?yīng)用上是有局限性的.不過(guò)，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，可以期待，它們終究要被符合量綱和諧原理、且正確反映客觀規(guī)律的公式所取代.

（2）借量綱和諧原理建立物理方程，乃是量綱分析的方法之一，稱為瑞利（Lord Rayleigh）法則，它適用于較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

例1 在真空中質(zhì)量分別為M1、M2的兩個(gè)物體間的萬(wàn)有引力為為引力常量，r為兩個(gè)物體間的距離.設(shè)M1?M2，則M2在引力作用下將近似地以M1為中心沿圓軌道運(yùn)動(dòng).

解 今用瑞利法則求物體M2沿軌道運(yùn)行的周期τ.經(jīng)分析，影響M2運(yùn)動(dòng)速度的物理量可能有M1、M2、r和G.但M2的影響可忽略，因?yàn)镸2增大一倍，引力也增大一倍，這使物體M2之法向加速度（v2／r）維持不變；G雖為常量，但不能從影響因素中去掉.因?yàn)镸1和r中都不含時(shí)間的量綱，所以周期τ不可能只是M1和r的函數(shù).這表明，影響因素不一定都是變量.于是有如下的函數(shù)關(guān)系：

一般可將上述函數(shù)關(guān)系用指數(shù)的乘積形式來(lái)表示：

式中k為某一無(wú)量綱常數(shù)系數(shù).從萬(wàn)有引力公式，得［G］＝［M-1L3T-2］，則上式的量綱關(guān)系式為［T］＝［M］α［L］β［M-1L3T-2］γ，按量綱和諧原理，得

聯(lián)解上列三式，得

最后結(jié)果為

例2 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果所得的數(shù)據(jù)分析，單擺的周期T可能與擺球的質(zhì)量m、擺長(zhǎng)l、擺角θ有關(guān)；并考慮到單擺處于恒定的重力場(chǎng)中，還與重力加速度g有關(guān).于是，有如下的待定函數(shù)式

根據(jù)量綱和諧原理，由于上述這些量的量綱不同，它們不能相加減.因而，一般可假定上述函數(shù)關(guān)系具有這幾個(gè)量的冪次的乘積形式，寫作

式中，α、β、γ、δ為待定指數(shù).把上式中的各量的量綱用力學(xué)中的基本量綱L、M、T表示，并且θ是量綱為1的數(shù)，則上式的量綱關(guān)系式為

上式左邊的周期T，其量綱是時(shí)間T，即［T］＝T.于是，按量綱和諧原理，為了使上式兩邊的量綱相同，其中同一基本量綱的指數(shù)應(yīng)相等，從而有

聯(lián)立求解，得

把它們代入式（b），可得單擺的周期為

其中，量綱為1的系數(shù)θδ是擺角θ的函數(shù)，令Φ（θ）＝θδ，而Φ（θ）是無(wú)法用上述量綱分析方法給出的，可借實(shí)驗(yàn)或其他途徑確定.

例3 求水波的波速公式.

解 根據(jù)水工實(shí)驗(yàn)室測(cè)定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可知，淺水波的波速v淺與水深h和重力加速度g有關(guān)；而深水波的波速v深與波長(zhǎng)λ和重力加速度g有關(guān).

對(duì)淺水波而言，令

式中，a為一無(wú)量綱常數(shù)系數(shù)；α、β為待定指數(shù).上式的量綱關(guān)系為

按量綱和諧原理，上式中的量綱指數(shù)應(yīng)滿足

聯(lián)解上式，得將α、β值代入式（a），得

從理論上推算，可得系數(shù)a＝1，于是淺水波波速公式為

對(duì)深水波而言，同理可借量綱和諧原理，讀者可自行推得

值得指出，在觀察或分析一個(gè)物理現(xiàn)象時(shí)，應(yīng)盡可能地列舉出與該現(xiàn)象有關(guān)的主要變量（例如，例2中的式（a））；否則將直接影響分析結(jié)果的真實(shí)性.這是首要的、也是較困難的一步，往往取決于人們的實(shí)驗(yàn)或理論水平，以及對(duì)所研究現(xiàn)象的分析能力.

4 量綱分析法的普遍理論——π定理

π定理是量綱分析的主要內(nèi)容.這定理可敘述如下：

任何一個(gè)物理過(guò)程，如果包含有n個(gè)物理量，涉及m個(gè)在量綱上相互獨(dú)立的基本量綱，則這個(gè)物理過(guò)程可由n個(gè)物理量組成的（n-m）個(gè)無(wú)量綱數(shù)所表達(dá)的關(guān)系式來(lái)描繪.因這些無(wú)量綱數(shù)用π來(lái)表示，故稱此定理為π定理（證明從略）.

設(shè)影響物理過(guò)程的n個(gè)物理量為X1、X2、…Xn，則此物理過(guò)程可用一完整的函數(shù)關(guān)系式表述：

設(shè)這些物理量包含有m個(gè)在量綱上相互獨(dú)立的基本量綱，按π定理，這個(gè)物理過(guò)程可以用（n-m）個(gè)無(wú)量綱的組合量π表達(dá)的關(guān)系式來(lái)描述，即

應(yīng)用π定理的步驟如下：

（1）觀察和分析所研究的物理現(xiàn)象，確定影響這一現(xiàn)象的各個(gè)物理量，即寫成式（3）.此處所說(shuō)的有影響的物理量，是指對(duì)所研究的現(xiàn)象起作用的所有各種獨(dú)立因素.例如，研究聲波的傳播，主要包括介質(zhì)的物理性質(zhì)、邊界的幾何特性、波動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征等.影響因素（可為變量，也可為常量）列舉得是否全面和正確，將直接影響分析的結(jié)果.這是首要的，也是較困難的一步，只能憑借人們對(duì)所研究現(xiàn)象的深刻認(rèn)識(shí)和全面理解來(lái)確定.

（2）從n個(gè)物理量中選取m個(gè)基本物理量，作為m個(gè)基本量綱的代表.m一般取3.因此要求這三個(gè)基本物理量?jī)蓚€(gè)是獨(dú)立的，即這三個(gè)物理量不能組合成一個(gè)無(wú)量綱數(shù).設(shè)表示基本物理量X1、X2、X3的量綱式為

則X1、X2、X3不能形成無(wú)量綱數(shù)的條件為

（3）從三個(gè)基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個(gè)，與這三個(gè)基本物理量相除（也可相乘），組合成一個(gè)無(wú)量綱的π項(xiàng)，這樣一共可寫出（n-3）個(gè)π項(xiàng)：

式中，ai、bi、ci為各π項(xiàng)的特定指數(shù).

（4）每個(gè) π 項(xiàng)即是無(wú)量綱數(shù)，即 ［π］＝［L0T0M0］.因此，可根據(jù)量綱和諧原理求出各π項(xiàng)的指數(shù)ai、bi、ci.

（5）寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式

這樣，就把一個(gè)具有n個(gè)物理量的關(guān)系式簡(jiǎn)化為（n-3）個(gè)無(wú)量綱數(shù)的表達(dá)式.如前所述，無(wú)量綱數(shù)才具有描述自然規(guī)律的絕對(duì)意義.所以式（5）才是反映客觀規(guī)律的正確形式.而且也是進(jìn)一步分析研究的基礎(chǔ).

例4 如例4圖所示，一直徑為d、密度為ρ的圓球，在充滿密度ρ1、粘度μ1的無(wú)限介質(zhì)中沉降.影響其沉降速度v的因素有d、ρ、ρ1、μ1（其量綱為［ML-1T-1］）及重力加速度g.今用π定理確定沉降速度的關(guān)系式.

例4圖

解 按題設(shè)的影響沉降速度v的因素，列出n＝6個(gè)物理量的關(guān)系式為

在上述6個(gè)物理量中選取3個(gè)基本物理量：圓球直徑d（代表現(xiàn)象的幾何尺度）；沉降速度v（代表現(xiàn)象中的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）；圓球密度ρ（代表圓球物性）.這三者包括了L、T、M三個(gè)基本量綱，有如下的量綱式

各指數(shù)項(xiàng)的行列式

即這三個(gè)基本物理量的量綱是獨(dú)立的.

于是，可寫出n-3＝6-3＝3個(gè)無(wú)量綱π數(shù)：

按量綱和諧原理，各π數(shù)的指數(shù)可確定如下：以式（a）的量綱式為例，有

得

對(duì)上述三式聯(lián)解求得，a1＝-1、b1＝2、c1＝0，于是，有

同理可求得

將各π項(xiàng)代入公式（5），得無(wú)量綱方程為

或?qū)⑸鲜降碾[函數(shù)式改寫成下列的顯函數(shù)式

最后得沉降速度v的關(guān)系式為

通過(guò)量綱分析的π定理，得出圓球沉速公式的基本形式，即斷定了成正比，并從無(wú)量綱函數(shù)f1知道了影響沉速的兩方面因素（反映介質(zhì)對(duì)圓球的浮力）和（反映介質(zhì)因其粘性引起的阻力），從而找到了進(jìn)一步研究問(wèn)題的途徑.

綜上所述，借量綱分析方法，不僅可以在已知物理過(guò)程有關(guān)的物理量情況下，借量綱和諧原理或π定理獲得各物理量之間的基本關(guān)系式，并找出深入研究該問(wèn)題的途徑，而且可以使一些經(jīng)驗(yàn)公式具有理論上（量綱和諧性）正確的形式.因此，量綱分析法在科技領(lǐng)域（物理學(xué)、流體力學(xué)和工程學(xué)等）內(nèi)常常作為一個(gè)有效的研究手段，而被廣泛地應(yīng)用著.

鳴謝：

本文叼蒙王祖源教授和陸汝杰高級(jí)工程師審定和匡正，謹(jǐn)表謝枕.

［1］E.dost.Q.Isaacsen.Dimensional Methods in Engineering and Physics，1975年

［2］清華大學(xué)水力教研組編.水力學(xué)［M］.人民教育出版社，1981

［3］嚴(yán)導(dǎo)淦，王曉鷗，萬(wàn)偉編.大學(xué)物理學(xué)［M］.機(jī)械工業(yè)出版社，2012

［4］錢寧，萬(wàn)兆惠著.泥沙運(yùn)動(dòng)學(xué)［M］.科學(xué)出版社，1983