余春日 余婧冰 張繼椿

（1安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133）

（2中山大學(xué)翻譯學(xué)院，廣東 珠海 519082）

（3宿松縣程集中學(xué)，安徽 宿松 246521）

1 引言

《幾何畫板》軟件被譽(yù)為“21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”，具有功能強(qiáng)大、形象直觀、無須編程、簡(jiǎn)單易學(xué)等特點(diǎn)，已成為教學(xué)課件的優(yōu)秀開發(fā)工具.它利用點(diǎn)、線、圓、計(jì)算器等很少幾個(gè)基本工具即可實(shí)現(xiàn)任何圖形的繪制和精確的計(jì)算，可以很好地輔助物理教學(xué)，在探究許多復(fù)雜物理問題如物理量的動(dòng)態(tài)變化過程、光學(xué)中的物像關(guān)系、波的傳播圖像問題等方面有廣泛的應(yīng)用［1，2］.

帶電粒子在正交電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)物理內(nèi)容十分豐富的問題，文獻(xiàn)［3，4］從物理的角度作了精辟的分析，特別是從運(yùn)動(dòng)和力的合成與分解的角度解決了帶電粒子的軌跡問題，但是已有文獻(xiàn)編制的具有動(dòng)畫效果的課件對(duì)C語言有較高的要求，顯示帶電粒子運(yùn)動(dòng)過程的直觀性不夠.本文以大學(xué)物理教材中的一道習(xí)題［5］為例，借助《幾何畫板》軟件，直觀形象地分析了電子在正交均勻電場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，描繪了電子在不同初始條件下形成的運(yùn)動(dòng)軌跡.

2 電子的運(yùn)動(dòng)方程

如圖1所示，在空間有互相垂直的均勻電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為E和均勻磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，B沿x方向，E沿z方向，一電子開始時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，以速度v0沿y方向前進(jìn).問電子運(yùn)動(dòng)的軌跡如何？

圖1

解 電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為：

初始條件為：t＝0時(shí)，x0＝0，y0＝0，z0＝0；

電子的運(yùn)動(dòng)方程為

利用分量式和初始條件得［5］

式（1）～式（3）表明，電子在yOz平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，其軌跡的形狀與v0、E和B有關(guān).

3 討論

3.1 電子的運(yùn)動(dòng)軌跡

為討論方便，令

則式（2）、式（3）可改寫為

由式（5）、式（6）可知，電子運(yùn)動(dòng)的軌跡是半徑為R的圓輪以角速度ω在定直線y＝R-r上作純滾動(dòng)時(shí)，輪上與圓心距離為r的固定點(diǎn)P描繪的擺線.

圖2是以《幾何畫板》5.00制作的動(dòng)畫描繪的3種不同r情況下的擺線.若r＝R，P點(diǎn)位于滾動(dòng)圓上，軌跡為等幅下擺線，如圖2（a）所示（r＝R＝1）；若r＜R，P點(diǎn)位于滾動(dòng)圓內(nèi)，軌跡為短幅下擺線.如圖2（b）所示 （r＝0.5＜R＝1）；若r＞R，P點(diǎn)位于滾動(dòng)圓外，軌跡為長(zhǎng)幅下擺線，如圖2（c）所示 （r＝1.5＞R＝1）.圖中顯示的周期數(shù)（即圓輪滾動(dòng)的圈數(shù)）是n＝1.5，只要電磁場(chǎng)的空間范圍足夠大，電子運(yùn)動(dòng)的軌跡將是一個(gè)接著一個(gè)的拱形弧線.

3.2 電子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

將式（5）、（6）兩邊分別對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得電子運(yùn)動(dòng)的分速度

由式（5）～式（8）可知，電子的初速度v0可分解為沿y軸方向的速度vd和v′＝v0-vd（注意到r＞0時(shí)，v0＜vd，v′＜0），因此，電子的運(yùn)動(dòng)可看成是隨滾輪圓心作速度為vd的勻速直線運(yùn)動(dòng)與繞圓心O′作半徑為r、速率為vd-v0（角速度為ω）的逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)的疊加，如圖3所示.

從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)看，電子沿y軸正方向作速率vd＝E／B的勻速直線運(yùn)動(dòng)，是電子受到向下的電場(chǎng)力F＝-eE和向上的洛倫茲力f1＝-evd×B平衡的結(jié)果，而電子繞圓心作逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)是電子受到指向圓心的洛倫茲力f2＝-ev′×B作用的結(jié)果.

電子在軌跡最低點(diǎn)有最大速率

對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)

3.3 v0對(duì)電子運(yùn)動(dòng)擺線形狀的影響

（1）當(dāng)v0＝vd時(shí)，電子以速度vd沿y軸方向作勻速直線運(yùn)動(dòng).

（2）當(dāng)v0＝0時(shí)，r＝R，軌跡為等幅下擺線，如圖2（a）所示.軌跡在最低點(diǎn)“平滑”，在最高點(diǎn)則變?yōu)椤凹夥濉?

（3）當(dāng)0＜v0＜vd時(shí)，0＜r＜R，軌跡為短幅下擺線，如圖2（b）所示.軌跡在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)均“平滑”.

（4）當(dāng)v0＜0時(shí)，r＞R，軌跡為長(zhǎng)幅下擺線，如圖2（c）所示.軌跡在最高點(diǎn)出現(xiàn)“回峰”現(xiàn)象.

（5）當(dāng)vd＜v0＜2vd時(shí)，-R＜r＜0，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡是短幅上擺線，如圖4（a）所示.軌跡在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)均“平滑”.

（6）當(dāng)v0＝2vd時(shí)，r＝-R，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡是等幅上擺線，如圖4（b）所示.軌跡在最低點(diǎn)“平滑”，而在最高點(diǎn)變?yōu)椤凹夥濉?

（7）當(dāng)v0＞2vd時(shí)，r＜-R，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡是長(zhǎng)幅擺線，如圖4（c）所示.軌跡在最高點(diǎn)將出現(xiàn)“回峰”現(xiàn)象.

4 結(jié)論

運(yùn)用《幾何畫板》制作了電子在正交均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫，直觀地展示了電子的擺線運(yùn)動(dòng)過程；分析了電子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和初速度對(duì)電子運(yùn)動(dòng)擺線形狀的影響.可得出如下結(jié)論：

（1）電子的運(yùn)動(dòng)可看成是隨滾輪圓心的勻速直線運(yùn)動(dòng)與繞圓心作逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)的疊加.

（3）電子的運(yùn)動(dòng)擺線在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的形狀，取決于在最值點(diǎn)的合速度.若在最值點(diǎn)的合速度水平向右，則擺線在此處“平滑”；若在最值點(diǎn)的合速度為零，則擺線在此處為“尖峰”；若在最值點(diǎn)的合速度水平向左，則擺線在此處出現(xiàn)“回峰”.

本文的研究結(jié)果很容易推廣到帶電粒子在重力場(chǎng)、電場(chǎng)和磁場(chǎng)形成的復(fù)合場(chǎng)中.教學(xué)中可鼓勵(lì)學(xué)生用《幾何畫板》把一些物理問題做成動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生探索解決，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感悟科學(xué)研究方法，提高思維品質(zhì)具有重要意義.

［1］劉成華.運(yùn)用幾何畫板探究動(dòng)態(tài)物理問題的策略研究［J］.物理通報(bào)，2007，（10）：43～45

［2］朱亞.利用“幾何畫板”解決物理疑難問題［J］.物理教師，2007，28（4）：40～41

［3］蔣晨曦，過祥龍，劉軍.帶電粒子在正交電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)分析及運(yùn)動(dòng)軌跡的計(jì)算機(jī)描繪［J］.物理與工程，2001，11（4）：39～44

［4］張九鑄.帶電粒子在正交電場(chǎng)和磁場(chǎng)中軌跡的形成及曲率半徑［J］.大學(xué)物理，2011，30（5）：35～38

［5］趙凱華，羅蔚茵，陳熙謀.新概念物理題解（上冊(cè)）［M ］.北京：高等教育出版社，2009