劉勝功 趙汝花

（山東省陽谷縣第一中學，山東 陽谷 252300）

拜讀了貴刊2010年第3期刊登的《也談交點速度問題的解法》一文，和文中提到的前面幾期上刊登的相關類型問題的分析，受益匪淺.聯(lián)系自己平時講授這類問題的情況，覺得從速度的定義出發(fā)解決繩子斜拉物體或物體斜拉繩問題，是易于接受，又便于理解的快捷方法.現(xiàn)對這種方法作簡單闡述，以與同行進行商榷.

繩子斜拉物體或物體斜拉繩的模型在高中物理中比較常見.筆者曾經講授這類問題時，按照速度分解要根據實際效果進行分解的思想，通過分析得出：繩子斜拉物體或物體斜拉繩時，物體運動的速度是合速度，沿繩長伸長或縮短方向的速度是一個分速度，垂直于繩即繩端轉動的方向的速度為另一個分速度.但是學生接受起來好像知其然不知其所以然.在后來的講授中，筆者從理解瞬時速度的定義出發(fā)，通過一兩個例題，引導學生共同分析，學生反映接受的效果較好.下面是講授這類問題的基本思路.

按照現(xiàn)行人民版《物理》必修1中速度的定義：物理學中用位移與發(fā)生這個位移所用時間的比值表示物體運動的快慢，這就是速度.一般來說，物體在某一時間間隔內運動快慢不一定是一樣的，所以只能理解為這是物體的平均速度.為了使描述精確些，可以把Δt取得小一些.物體在從t到t＋Δt這樣一個較小的時間間隔內運動快慢的差異也就小一些.Δt越小，運動的描述就越精確，如果Δt非常小，就可以認為表示的是物體在時刻t的瞬時速度.

我們可以根據以上思路來分析繩子斜拉物體或物體斜拉繩問題.由于拉動繩子，一方面船和滑輪間的繩子變短，另一方面繩子連接物體的一端轉過一個小的角度.設想物體在很短的時間Δt內發(fā)生了很短的位移，進而利用幾何關系求出一個物體在Δt時間內沿實際效果方向分位移間與實際位移的關系，根據速度的定義，求出且當Δt很小時，就可認為是這兩個方向的分速度.為了進一步說明此方法，下面舉幾個例子.

例1.如圖1，人在岸上以恒定的速度v0通過滑輪用不可伸長的繩拉水中的小船，當繩與水平方向成θ角時，小船沿水面向岸靠近的速度v多大？

解析：在拉動小船的過程中，小船與滑輪間的繩子長度減小，另一方面，繩子繞滑輪轉動.

圖1

設在很短的時間Δt內，小船向前運動了Δx，則繩子也轉過一個小角度，使得繩子與水平方向的夾角增加 了 Δθ.連 接AB 使A、B與滑輪間距離相等，船與滑輪間繩子的長度縮短了長度BC，如圖2所示.

圖2

例2.如圖3所示，使動滑輪以速度v向上運動，當不可伸長的繩與墻成α角的瞬時，求物體速度大小.

解析：在拉動滑輪的過程中，繩子固定端與滑輪間的繩子長度增大，另一方面，繩子在繞固定端轉動.

圖3

設想在很短的時間Δt內，動滑輪由A位置升高到B位置，升高量為y，如圖4，則滑輪到墻上固定點的距離增加量等于的長度.由數(shù)學知識＝y(tǒng)cosθ.由于滑輪升高量故物體共升高了y＋ycosθ.

圖4

例3.如圖5所示，臨界角為45°液面上有一點光源S，用遮光紙遮住，只留下一束豎直向下垂直入射到水平放置于液體中且距離液面為d的平面鏡M 上.當平面鏡M繞垂直過中心O的軸以角速度ω逆時針勻速轉動時，觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過.設t＝0時平面鏡處于水平位置且鏡面向上，試確定觀察者所觀察到的光斑在水面上移動速度v與時間t的函數(shù)關系式.

圖5

解析：反射光束一方面繞O點轉動，同時在水中的長度要伸長.如圖6所示，設經過時間t，平面鏡轉過角度θ＝ωt，則反射光線和入射光線的夾角為2θ，反射光線轉動的角速度為2ω，此時光線反射到水面上的P點.設經過一個很小的時間間隔Δt，平面鏡又轉過Δθ＝ωΔt，反射光線與入射光線的夾角增加了2Δθ＝2ωΔt，反射光束轉到OQ，水面上的光斑由P點移到Q點.作OR＝OP，則QR就是在Δt內反射光束在水中增加的長度.PR為P點繞O點轉過的小短弧.由于Δt很小，PR接近直線，且∠PRO近似等于90°，三角形QRP可以看作直角三角形，且∠QPR＝2θ，PR＝而在三角形OSP中所以

圖6

例4.如圖7所示，物體M套在光滑的豎直桿上，和m通過細繩和定滑輪相連，定滑輪與桿間的距離為d，當M下落h時，速度達到vM，求此時m的速度vm.

解析：當M下落時，M與滑輪間繩子變長，同時繩子繞滑輪轉動.如圖8所示，設物體下落h時，繩子與桿的夾角為θ，再經過一段很短的時間Δt，M下落y，M與滑輪間繩子長度增加了x，即物體m上升的位移為x.

圖7

圖8

由于Δt很小，角θ變化也很微小，可認為vMsinθ＝vm，所以有

以上幾個例題都屬于繩斜拉物體模型的問題.通過例題可以看出，在根據實際問題設出一個微小時間Δt后，輔之簡單的幾何關系，根據速度的定義求解繩斜拉物體模型的分速度，比較易于掌握.由于是從速度的定義出發(fā)去分析求解，故可適用于一切求速度分解的問題，但在有的題目中過于強調這種方法則有繁瑣之感.求解速度的分解問題，應視具體問題而定.讓學生掌握這種方法，既可鞏固學生對速度概念的掌握，又能提高學生發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學生分析問題的基本技能.