桂云苗，高 強(qiáng)，孫 剛

（1.安徽工程大學(xué) 管理工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院，江蘇 南京 210016）

一、引 言

收益管理是航空公司提高收益的重要管理技術(shù)。目前國(guó)內(nèi)外主要航空公司都已經(jīng)普遍實(shí)施收益管理。在理論界，收益管理的研究范圍已經(jīng)被廣泛地拓展，不僅包括需求預(yù)測(cè)、定價(jià)、艙位控制和超售四個(gè)經(jīng)典問(wèn)題[1-3]，而且包括最新出現(xiàn)了不定期票、等待表、可召回票和基于乘客選擇行為[4]的收益管理問(wèn)題研究。航空市場(chǎng)是一個(gè)需求波動(dòng)性極強(qiáng)的市場(chǎng)，航空公司非常注意對(duì)需求的把握。其中一個(gè)重要的原因在于目前收益管理系統(tǒng)是建立在準(zhǔn)確需求預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上。需求的精度提高，收益管理的水平也將提高。但是需求精度提高是一件困難的工作。國(guó)內(nèi)航空市場(chǎng)是一個(gè)不斷增長(zhǎng)的市場(chǎng)，同時(shí)航空運(yùn)輸消費(fèi)行為模式是不斷變化的，從而造成建立于歷史數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)很難滿足于收益管理系統(tǒng)的需要。并且預(yù)測(cè)水平提高所付出的代價(jià)與收益提高獲得的收益兩者之間的關(guān)系也是不令人滿意的。因此有不少航空公司采用可召回票方法減弱需求波動(dòng)對(duì)收益的影響?？烧倩仄笔歉淖?cè)械臋C(jī)票種類，在所銷售的機(jī)票中增加一種價(jià)格低于各子艙價(jià)格且可以召回的機(jī)票。航空公司在銷售這種機(jī)票時(shí)保留了在航班起飛前的一定時(shí)刻將機(jī)票召回，并給予召回票的購(gòu)買者一定的補(bǔ)償，并安排其在有空閑座位的航班成行。目前學(xué)術(shù)界對(duì)可召回票的數(shù)量控制方面研究比較少，本文在航空公司艙位優(yōu)化分配的基礎(chǔ)上，研究了可召回票數(shù)量的最優(yōu)控制方法。

二、問(wèn)題的描述

假設(shè)航空公司為了吸引乘客購(gòu)買可召回票，將可召回票的價(jià)格設(shè)置為略低于最低子艙的價(jià)格。由于價(jià)格較低，投放的可召回票的數(shù)量都能夠銷售出去。正常票分為多個(gè)等級(jí)，在民航界稱之為子艙。各子艙的票價(jià)不同，一般各子艙有購(gòu)買的限制條件，比如提前購(gòu)票天數(shù)，目的地停留天數(shù)，退票改簽限制等，所以各子艙所對(duì)應(yīng)的需求不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它子艙。一般各子艙都設(shè)定有可銷售的最大數(shù)額，稱為艙位。銷售時(shí)航空公司同時(shí)開(kāi)放各子艙。但是目前國(guó)內(nèi)航空公司各子艙之間沒(méi)有建立嚴(yán)格的限制，存在高子艙需求轉(zhuǎn)移到低子艙。假設(shè)低子艙的需求超過(guò)艙位的部分，不會(huì)購(gòu)買高子艙的票。由于需求到達(dá)的按照價(jià)格順序，所以高子艙需求轉(zhuǎn)移到低子艙只在低子艙需求不足艙位的情況。

變量的說(shuō)明：n為可召回票的銷售數(shù)量；px為可召回票的價(jià)格；cx為可召回票的召回成本；N為航班可用座位數(shù)；pi為第i子艙的價(jià)格（i=1,2,...,m）；ri為第i子艙位召回收益（ri=Pi-(Px+Cx)，i=1,2,...,m）；Rrecall為總召回收益；xi為第i子艙的需求量，服從正態(tài)分布（N～（μ1，σ21），i=1,2,2,...,m）；S為航班總銷售數(shù)；si為第i子艙的銷售數(shù)量（i=1,...,m）；V為各子艙分配的座位數(shù)，V=(v1,v2,...,vm)，其中vi≥0，i=1,2,...,m。

三、優(yōu)化控制模型

（一）模型的表述

各子艙已經(jīng)根據(jù)需求制定一個(gè)優(yōu)化的艙位，當(dāng)某子艙的需求大于該艙位時(shí)拒絕接受，艙位分配優(yōu)化方法在民航界公認(rèn)的是EMSRa的方法。但是由于銷售按照子艙價(jià)格的高低由低向高依次銷售，所以無(wú)法實(shí)行嵌套式的銷售。假定按照EMSRa分配艙位的結(jié)果為V=(v1,v2,...,vm)，vi≥0。

由于是順序銷售，在航班起飛時(shí)座位銷售總量為S，銷售的最高價(jià)格的子艙為m，子艙m所對(duì)應(yīng)的銷售數(shù)量為sm顯然0≤sm≤vm+gm。則

當(dāng)S≤N時(shí)，表明航班座位沒(méi)有銷售完，可召回票一方面通過(guò)召回可召回票提高了收益，另一方面填補(bǔ)了空閑座位也帶來(lái)了收益。其收益可以表示為：

其中，η=max(min(sm-vm,gm),0)。

當(dāng)S≥N時(shí)，表明航班發(fā)生了超售，航空公司不得不召回剩余的可召回票，而這種召回并沒(méi)有給航空公司帶來(lái)收益，這是一種被迫式的召回。其收益可以表示為：

茄子棉鈴蟲(chóng)主要啃食茄子莖及嫩芽，嚴(yán)重影響茄子的正常生長(zhǎng)，及時(shí)進(jìn)行防治。以幼蟲(chóng)蛀食蕾、花、果為主，也危害嫩莖、葉和芽。花蕾受害時(shí)，苞葉張開(kāi)，變成黃綠色，2～3天后脫落。幼果常被吃空或引起腐爛而脫落，成果雖然只被蛀食部分果肉，但因蛀孔在蒂部，便于雨水、病菌流入引起腐爛，所以，果實(shí)大量被蛀會(huì)導(dǎo)致果實(shí)腐爛脫落，造成減產(chǎn)。

銷售達(dá)到S的概率可以表示為：

因此可召回票的期望收益可以表示為：

（二）模型的分析

對(duì)于（5）式通過(guò)求導(dǎo)求出最優(yōu)解n的方法是不可行的。一方面是表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，另一方面是n為非負(fù)整數(shù)。所以通過(guò)如下分析，獲得（5）式的性質(zhì)。

首先，在給定可召回票數(shù)量n時(shí)，其在各子艙是如何分配的。將可召回票看作可用座位數(shù)，則EMSRa分配方法將是優(yōu)化的分配方法。略有不同的是各子艙的可召回票保護(hù)水平的計(jì)算變?yōu)椋?/p>

其中，k≤i＜j。

在順序銷售時(shí)，可知：

由上述可知，隨著n的增長(zhǎng)，通過(guò)R1是增長(zhǎng)的但是增長(zhǎng)是逐漸減少的。

由此可知（5）式是一個(gè)單峰函數(shù)，因而可以采用一維搜索的方法確定最優(yōu)解。

（三）模型的算法

（1）根據(jù)需求預(yù)測(cè)進(jìn)行艙位分配（EMSRa），對(duì)非整數(shù)結(jié)果取整，得到結(jié)果V。

（2）確定銷售數(shù)量S所對(duì)應(yīng)的子艙t，即S∈(n,n+v1]→1,S∈(n+v1,n+v1+v2]→2,...。

（3）利用召回基本條件確定召回等級(jí)并計(jì)算其召回收益。

（4）根據(jù)需求預(yù)測(cè)進(jìn)行可召回票在各召回子艙的分配gi（EMSRa），得到結(jié)果G。

（5）任意選擇n1,n2∈(0,N)，確定各子艙的分配召回票數(shù)結(jié)果。

（6）利用一維搜索的方法逐步找到最優(yōu)解。

四、結(jié)束語(yǔ)

本文在航空公司艙位優(yōu)化分配的基礎(chǔ)上，建立可召回票數(shù)量最優(yōu)控制模型，為航空公司在可召回票的操作上提供了方法。但是本文的研究存在不足之處在于，可召回票不能作為可用座位數(shù)放入訂座系統(tǒng)。因此銷售時(shí)只能是通過(guò)乘客詢問(wèn)或代理人詢問(wèn)識(shí)別出需求，通過(guò)召回來(lái)滿足，從而給銷售過(guò)程帶來(lái)了不方便之處。

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