李 顯，吳美平，張開東，曹聚亮，黃楊明

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖南 長沙 410073

1 引 言

進(jìn)入21世紀(jì)以來，衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)得以迅速發(fā)展。美國的GPS、俄羅斯的GLONASS、歐盟的Galileo和中國的BeiDou等作為GNSS的主要成員，在導(dǎo)航定位領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，就單獨(dú)系統(tǒng)而言，GPS、Galileo、GLONASS屬于全球定位系統(tǒng)，為保證全球?qū)Φ馗采w性能，其導(dǎo)航衛(wèi)星被均勻地布設(shè)在幾個(gè)近圓的中高軌道（medium earth orbit，MEO）面內(nèi)。而北斗系統(tǒng)二期將在2012年建成區(qū)域衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，其空間星座包括5顆對(duì)地靜止軌道（geostationary earth orbit，GEO）衛(wèi)星、4顆MEO衛(wèi)星和5顆傾斜地球 同 步 軌 道 （inclined geosynchronous orbit，IGSO）衛(wèi)星［1－2］，因此也被稱為混合星座衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。

除了確定用戶位置以外，利用GNSS確定用戶的速度和加速度也有重要的應(yīng)用需求。例如在航空重力測量中，為確定航空載體所在空間位置的重力異常信息，需利用GNSS以mGal（1mGal＝1×10－5m／s2）級(jí)精度確定載體的運(yùn)動(dòng)加 速度［3－5］；在強(qiáng)實(shí)時(shí)應(yīng)用領(lǐng)域中，如運(yùn)動(dòng)狀態(tài)監(jiān)測［6］、自動(dòng)剎車系統(tǒng)［7］等，則需要以高采樣率計(jì)算載體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息，因此對(duì)計(jì)算的實(shí)時(shí)性有較高的要求。這些應(yīng)用均需求解導(dǎo)航衛(wèi)星的在軌速度和加速度。作為GNSS的空間基準(zhǔn)，導(dǎo)航衛(wèi)星速度和加速度的計(jì)算精度直接影響最終解算結(jié)果，因此需對(duì)其計(jì)算方法和誤差特性進(jìn)行深入地分析。

導(dǎo)航衛(wèi)星的在軌狀態(tài)可由廣播星歷或精密星歷進(jìn)行描述。廣播星歷事先計(jì)算，用戶可實(shí)時(shí)獲取，實(shí)時(shí)性強(qiáng)，但目前的精度約為3m左右［8］；精密星歷由IGS（International GNSS Service）等機(jī)構(gòu)滯后發(fā)布，但可達(dá)優(yōu)于5cm的精度［9］。目前常見的廣播星歷類型包括Kepler根數(shù)型、GEO型和位置速度型。在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的接口控制文件（interface control document，ICD）中，一般僅給出導(dǎo)航衛(wèi)星的位置、速度計(jì)算方法。本文詳細(xì)推導(dǎo)了基于這3種廣播星歷的衛(wèi)星加速度的計(jì)算公式，并對(duì)計(jì)算精度進(jìn)行分析。

導(dǎo)航衛(wèi)星精密星歷一般以一定采樣率給出衛(wèi)星在地心地固坐標(biāo)系（earth－centred－earth－fixed，ECEF）下的位置，其他時(shí)刻的位置通過插值得到，并通過對(duì)計(jì)算的衛(wèi)星位置時(shí)間序列進(jìn)行差分運(yùn)算以獲得衛(wèi)星的速度和加速度。

文獻(xiàn)［10］對(duì)基于高精度定位結(jié)果、原始多普勒頻移觀測量、載波相位差分導(dǎo)出的多普勒頻移觀測值等3種速度確定方法進(jìn)行了對(duì)比分析。國內(nèi)外有較多文獻(xiàn)對(duì)航空重力測量中如何利用GPS和數(shù)字濾波技術(shù)確定載體垂直加速度的方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述［11－13］。但這些文獻(xiàn)均未對(duì)導(dǎo)航衛(wèi)星速度和加速度的計(jì)算方法做系統(tǒng)的總結(jié)，特別是沒有對(duì)各種方法的計(jì)算精度特性和算法適用性等問題進(jìn)行深入探討。

本文首先給出幾種導(dǎo)航衛(wèi)星速度和加速度的計(jì)算方法，包括：① 基于廣播星歷參數(shù)的公式法；②基于導(dǎo)航衛(wèi)星位置序列的數(shù)值差分方法；③基于導(dǎo)航衛(wèi)星位置序列的解析差分方法。對(duì)算法的計(jì)算精度和適用性進(jìn)行了比較分析，并給出了相應(yīng)的結(jié)論，最后通過在坐標(biāo)精確已知的CORS站實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性。

2 基于廣播星歷的衛(wèi)星速度和加速度計(jì)算

目前廣泛使用的3類廣播星歷的參數(shù)類型及示范系統(tǒng)如表1所示。

表1 3類廣播星歷Tab.1 Three types of broadcast ephemeris

2.1 Kepler根數(shù)型廣播星歷的衛(wèi)星速度加速度

根據(jù)ICD文件描述的廣播星歷參數(shù)及對(duì)應(yīng)的用戶算法［14］，衛(wèi)星在ECEF坐標(biāo)系統(tǒng)下的位置可計(jì)算為

式中，ik、Lk分別為計(jì)算時(shí)刻tk對(duì)應(yīng)的軌道傾角和升交點(diǎn)大地經(jīng)度，并有

式中，rk、uk分別為計(jì)算時(shí)刻衛(wèi)星的矢徑大小和經(jīng)攝動(dòng)改正的升交角距，均可由導(dǎo)航電文直接求得。R3、R1為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣，且有

ik、Lk可由下式計(jì)算

式中，Φk為升交距角，可由廣播星歷直接計(jì)算；ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度；Cic、Cis為導(dǎo)航電文給出的軌道傾角周期項(xiàng)改正系數(shù)為升交點(diǎn)赤經(jīng)的變率；分別為參考時(shí)刻的衛(wèi)星軌道傾角及變率；te、tk分別對(duì)應(yīng)星歷歷元時(shí)刻和計(jì)算時(shí)刻。

對(duì)式（1）進(jìn)行一階微分，可得到導(dǎo)航衛(wèi)星的速度計(jì)算公式，即

由式（5）知

聯(lián)合式（6），有

式中，旋轉(zhuǎn)矩陣的導(dǎo)數(shù)可求為

式中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按下列公式計(jì)算

式中，fk、Ek為導(dǎo)航衛(wèi)星軌道的真近點(diǎn)角和偏近點(diǎn)角；n0、Δn分別為衛(wèi)星的平均角速度及改正；a、e分別為軌道的半長軸和偏心率；Crc、Crs、Cuc、Cus為攝動(dòng)力的調(diào)和改正系數(shù)，這些參數(shù)均由廣播星歷得到。對(duì)式（6）再次微分，可得導(dǎo)航衛(wèi)星加速度的計(jì)算公式

式中，μ＝3.986 004 418×1014m3／s2為地球引力常數(shù)。

2.2 GEO型廣播星歷的衛(wèi)星速度加速度

正如前文所述，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)星座中包括GEO、IGSO、MEO等軌道類型的導(dǎo)航衛(wèi)星，其中GEO衛(wèi)星的傾角i接近于0，將導(dǎo)致升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω和近地點(diǎn)角ω具有奇異性。如果直接使用經(jīng)典的最小二乘法進(jìn)行廣播星歷參數(shù)擬合［16］，就會(huì)出現(xiàn)擬合精度較差或擬合失敗的情況。一般通過旋轉(zhuǎn)參考坐標(biāo)系來解決這一問題，即將Kepler星歷擬合中參考的地固坐標(biāo)系繞X軸旋轉(zhuǎn)θ得到新的地固坐標(biāo)系，并在新的坐標(biāo)系中進(jìn)行星歷參數(shù)的擬合［17－18］。以旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方法擬合得到的衛(wèi)星廣播星歷稱為GEO型星歷。下面推導(dǎo)基于旋轉(zhuǎn)方案的GEO星歷衛(wèi)星速度和加速度的計(jì)算方法。

對(duì)GEO衛(wèi)星，利用式（1）計(jì)算的衛(wèi)星位置是GEO衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的位置，需進(jìn)一步進(jìn)行旋轉(zhuǎn)改正以獲得ECEF坐標(biāo)系下的位置。改正方法如下

式中，rR為GEO衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的位置。對(duì)式（15）進(jìn)行微分運(yùn)算可得GEO衛(wèi)星的速度解算公式為

式中

再次微分可得加速度計(jì)算公式為

2.3 位置－速度型廣播星歷的衛(wèi)星速度加速度

GLONASS采用了位置－速度型廣播星歷形式［19］，以每半小時(shí)為更新周期給出衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系下的位置矢量、速度矢量和日月引力攝動(dòng)加速度。用戶采用積分方式獲取即時(shí)位置和速度，積分方程可表示為

由此知，位置－速度型廣播星歷直接給出了衛(wèi)星加速度計(jì)算的解析公式，而衛(wèi)星的速度計(jì)算應(yīng)根據(jù)式進(jìn)行數(shù)值積分獲得，常用的積分算法是四階龍格 －庫塔積分［20］。

3 基于數(shù)值差分法計(jì)算衛(wèi)星速度和加速度

在利用衛(wèi)星廣播星歷或精密星歷得到了導(dǎo)航衛(wèi)星的位置序列后，可通過數(shù)值差分法得到衛(wèi)星的速度和加速度。理想數(shù)值差分器的頻率響應(yīng)為［21］

式中，H表示差分器；ω、ωs分別為信號(hào)頻率和采樣頻率；T為ωs對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)間。在對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行差分處理時(shí)，常選用有限沖激響應(yīng)（finite impulse response，F(xiàn)IR）差分濾波器，即

h為N－1階脈沖響應(yīng)，其定義為

在數(shù)值差分器的應(yīng)用時(shí)需綜合考慮信號(hào)和差分器的頻率特性，實(shí)際FIR差分濾波器僅是對(duì)理想濾波器的一種近似，因此存在一個(gè)帶寬限制，當(dāng)信號(hào)頻率位于濾波器帶寬之外時(shí)，差分濾波器對(duì)信號(hào)將產(chǎn)生抑制作用，應(yīng)用中可利用此性質(zhì)抑制信號(hào)中的噪聲信號(hào)。

由于導(dǎo)航衛(wèi)星的低動(dòng)態(tài)特性，在計(jì)算其速度、加速度時(shí)，低階的差分器即可滿足要求。如一階中心差分器，濾波器系數(shù)可取為

由此得到衛(wèi)星速度的計(jì)算公式

式中，Δt為衛(wèi)星位置序列的時(shí)間間隔；x、為衛(wèi)星t時(shí)刻的位置、速度矢量。同理可得加速度的計(jì)算公式

當(dāng)采樣頻率為1Hz時(shí)，一階中心差分器的幅頻響應(yīng)特性如圖1所示，可見頻率為0～0.5Hz的信號(hào)能通過一階差分濾波器，但僅有頻率為0.25Hz的信號(hào)可完全無衰減通過該差分器，濾波器對(duì)其余頻率信號(hào)均有抑制作用。同時(shí)由圖1所示的濾波器低頻特性可知，一階差分濾波器可完全消除信號(hào)中的常值分量和大部分低頻分量，因此對(duì)慢變型誤差不敏感。

圖1 一階中心差分器幅頻響應(yīng)特性Fig.1 Frequency response of the first－order central differentor

4 基于解析差分法計(jì)算衛(wèi)星速度和加速度

在基于GNSS的載體速度和加速度確定的相關(guān)數(shù)據(jù)處理中，衛(wèi)星的速度、加速度值在每一次迭代運(yùn)算中一般都需要重新計(jì)算，但每次迭代運(yùn)算一般對(duì)應(yīng)不同時(shí)刻，數(shù)值差分法效率較低，此時(shí)可采用解析差分法。該方法的思路是首先利用短時(shí)段內(nèi)的衛(wèi)星位置序列建立衛(wèi)星的軌道模型，并通過對(duì)模型進(jìn)行差分運(yùn)算獲得速度和加速度計(jì)算的解析公式，利用該解析公式可直接計(jì)算出該時(shí)段內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星速度、加速度。例如可用Lagrange多項(xiàng)式對(duì)衛(wèi)星位置序列進(jìn)行建模，即

式中，x（tk）對(duì)應(yīng)衛(wèi)星tk時(shí)刻的位置分量；Xi為已知的ti時(shí)刻的衛(wèi)星位置；n為多項(xiàng)式的階數(shù)。為保證插值精度，一般要求tn≤tk≤t－n。將式（29）對(duì)時(shí)間分別求一階、二階導(dǎo)數(shù)可獲得計(jì)算衛(wèi)星速度、加速度的解析計(jì)算公式，即

和

也可采用多項(xiàng)式插值公式，即

則對(duì)應(yīng)的速度和加速度計(jì)算公式為

值得注意的是，由于精密星歷的歷元間間隔較長（一般為15min），導(dǎo)致解析差分法計(jì)算的衛(wèi)星速度、加速度的精度無法保證，可首先適當(dāng)對(duì)位置序列進(jìn)行加密以獲得更為準(zhǔn)確的解析模型。

5 計(jì)算精度比較分析

為對(duì)上述3種算法求解的衛(wèi)星速度、加速度進(jìn)行比較分析，以精密星歷并運(yùn)用一階數(shù)值差分法計(jì)算的衛(wèi)星速度、加速度作為參照標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算各算法結(jié)果與該標(biāo)準(zhǔn)值之間的偏差，并通過在坐標(biāo)已知點(diǎn)上的速度、加速度確定實(shí)驗(yàn)對(duì)各方法計(jì)算的精度進(jìn)行評(píng)估。

5.1 廣播星歷法精度分析

以北斗衛(wèi)星中的GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星為例，其中GEO衛(wèi)星采用GEO型廣播星歷，IGSO和MEO采用Kepler根數(shù)型廣播星歷。計(jì)算24h的衛(wèi)星速度、加速度與標(biāo)準(zhǔn)值之間的偏差分別如圖2、圖3所示。

圖2 衛(wèi)星速度偏差Fig.2 Satellite velocity bias based on Kepler elements

圖3 衛(wèi)星加速度偏差Fig.3 Satellite acceleration bias based on Kepler elements

GLONASS星歷采用位置速度序列表征導(dǎo)航衛(wèi)星軌道，并直接給出了攝動(dòng)影響較大的日月引力加速度。根據(jù)前面的分析可知，GLONASS衛(wèi)星的加速度可根據(jù)解析公式直接求得，而其速度則需通過數(shù)值積分法獲得，計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值之間的偏差如圖4所示。

圖4 GLONASS衛(wèi)星位置－速度型廣播星歷計(jì)算的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Velocity and acceleration biases of positionvelocity broadcast ephemeris of GLONASS

由于GLONASS星歷求取加速度時(shí)未經(jīng)過數(shù)學(xué)擬合，所表達(dá)的物理含義更為明確，因此方法簡單，精度較高，兩個(gè)軌道周期內(nèi)的計(jì)算結(jié)果表明，GLONASS星歷計(jì)算的衛(wèi)星加速度誤差優(yōu)于0.5mGal，但由于舍棄了其他攝動(dòng)力的影響，導(dǎo)致通過積分求取的衛(wèi)星速度發(fā)散較快、精度較差，和Kepler根數(shù)型廣播星歷相比，精度約低一個(gè)量級(jí)，最大偏差可達(dá)約1cm／s。

5.2 數(shù)值差分法精度分析

通過一階數(shù)值差分器的頻譜特性可知，差分器對(duì)常值分量可完全濾除，對(duì)低頻和高頻噪聲則有抑制作用，廣播星歷的偏差屬于慢變型誤差，這種慢變型誤差運(yùn)用數(shù)字差分時(shí)將被消除。分別用廣播星歷和精密星歷計(jì)算出衛(wèi)星的位置序列，再采用一階中心差分器分別求取衛(wèi)星的速度和加速度，GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星的計(jì)算結(jié)果偏差如圖5所示。

圖5 廣播星歷和精密星歷的數(shù)值差分法加速度計(jì)算偏差Fig.5 Acceleration bias using numerical differentor between broadcast and precision ephemeris

圖5反映了由廣播星歷和精密星歷計(jì)算的衛(wèi)星位置經(jīng)過一階中心差分計(jì)算的衛(wèi)星加速度之間的差異不大，均優(yōu)于0.2mGal。計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步說明了廣播星歷偏差的低頻特性，因此在強(qiáng)實(shí)時(shí)性需求的應(yīng)用中，采用數(shù)值差分法時(shí)，可利用廣播星歷替代精密星歷。

5.3 解析差分法精度分析

以GPS衛(wèi)星中的PRN13在24h內(nèi)的實(shí)際數(shù)據(jù)為例，解析差分計(jì)算的衛(wèi)星速度加速度偏差如圖6所示。

從圖6所示的計(jì)算結(jié)果可以看出解析差分計(jì)算的速度和標(biāo)準(zhǔn)值之間的偏差較大，達(dá)到1mm／s；但計(jì)算的加速度和標(biāo)準(zhǔn)值之間的偏差不大，小于0.5mGal。主要原因是根據(jù)短時(shí)段內(nèi)的衛(wèi)星位置序列所建立的軌道模型并不符合軌道的實(shí)際運(yùn)行規(guī)律，這種模型偏差將對(duì)速度計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響。

影響解析差分法計(jì)算精度的另一個(gè)原因是用于解析模型建立的數(shù)據(jù)序列的位置序列之間的時(shí)間間隔。表2反映了不同的數(shù)據(jù)采樣率與模型精度之間的關(guān)系。

圖6 PRN13的解析差分計(jì)算結(jié)果Fig.6 Velocity and acceleration bias using analytical differencing for PRN13

表2 數(shù)據(jù)采樣率和解析計(jì)算精度關(guān)系Tab.2 Sampling rates vs.precision of analytical differencing

表2中，均采用九階的Lagrange多項(xiàng)式對(duì)衛(wèi)星軌道進(jìn)行建模，表中第1列ωs代表用于多項(xiàng)式建模的位置序列的采樣率，均以ωs＝1Hz為參照準(zhǔn)。結(jié)果表明過低采樣率對(duì)速度和加速度的計(jì)算均會(huì)產(chǎn)生影響，另外當(dāng)過高的采樣率也會(huì)導(dǎo)致加速度的計(jì)算精度將會(huì)降低，從式（28）所示的誤差表達(dá)式可知，加速度計(jì)算誤差與采樣間隔的四次方成反比，過低的采樣率會(huì)放大位置序列中的高頻噪聲，對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生不利影響。

5.4 精度對(duì)比

為對(duì)上述各方法計(jì)算的精度衛(wèi)星速度和加速度進(jìn)行評(píng)估，采用在坐標(biāo)已知點(diǎn)的靜止地面試驗(yàn)進(jìn)行評(píng)估。試驗(yàn)選擇某CORS網(wǎng)的兩個(gè)靜態(tài)站點(diǎn)，其接收機(jī)類型均為Leica GRX1200GGPRO高精度測地型接收機(jī)，基線距離約為20km。試驗(yàn)時(shí)間為2011年5月10日0時(shí)至2時(shí)共2h（均為GPST）。試驗(yàn)僅接收GPS衛(wèi)星信號(hào)，衛(wèi)星截止仰角設(shè)定為15°，基線雙差模糊度通過BERNESE求解［22］，采用雙差算法解算接收機(jī)的速度和加速度，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 靜態(tài)速度和加速度試驗(yàn)解算結(jié)果Tab.3 Static experiments results of velocity and acceleration

從表3可以看出，基于精密星歷數(shù)值差分法解算得到的靜態(tài)接收機(jī)的速度和加速度具有最高的精度，因此前文中其余方法與此方法計(jì)算結(jié)果的偏差也可在很大程度上反映這些計(jì)算方法的精度；對(duì)速度計(jì)算精度而言，廣播星歷解析公式也可達(dá)到mm／s的精度，因此可在實(shí)時(shí)測速應(yīng)用中直接采用廣播星歷法，解析差分法較數(shù)值差分法的測速精度低，但加速度的計(jì)算精度和數(shù)值差分法接近。

6 結(jié) 論

導(dǎo)航衛(wèi)星自身的速度和加速度計(jì)算是用戶進(jìn)行速度和加速度確定時(shí)需要解決的關(guān)鍵問題之一，其計(jì)算精度也直接影響最終的解算精度。針對(duì)這一問題，結(jié)合前面的分析，可以得到以下結(jié)論。

（1）通過合理的簡化和數(shù)值計(jì)算，從常用的3類廣播星歷，即Kepler根數(shù)型、GEO型和位置－速度型均可得到衛(wèi)星速度和加速度的解析計(jì)算公式，但計(jì)算精度低，難以滿足高精度測定速度和加速度應(yīng)用的需求。相比較而言，位置－速度型星歷直接給出了加速度計(jì)算的解析公式，因此加速度計(jì)算方法簡單、精度最高，但速度計(jì)算精度較差；Kepler根數(shù)型星歷和GEO型星歷的精度受到所忽略的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的影響，加速度計(jì)算精度較低；另外高軌道衛(wèi)星（IGSO、GEO）的計(jì)算精度優(yōu)于中軌衛(wèi)星（MEO）。

（2）數(shù)值差分法具有最高的速度、加速度計(jì)算精度；解析差分法加速度計(jì)算精度接近數(shù)值差分法，但速度計(jì)算精度較差。

（3）數(shù)值差分器對(duì)信號(hào)的低頻分量具有抑制作用，因此對(duì)由廣播星歷計(jì)算的衛(wèi)星位置序列進(jìn)行數(shù)值差分獲得的速度和加速度也具有和精密星歷相當(dāng)?shù)挠?jì)算精度。

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