楊志曉 范艷峰

(河南工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

控制系統(tǒng)存在著大量的不確定性，模糊性和隨機(jī)性是其中最重要的兩種［1］。不確定性主要來源于各種傳感器、儀器儀表和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出，也來自于輸入量的細(xì)微波動(dòng)以及溫度、震動(dòng)等各種環(huán)境因素。當(dāng)輸入量發(fā)生改變時(shí)，輸出結(jié)果的不確定性特征可能發(fā)生改變。當(dāng)前，控制系統(tǒng)一般將儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出作為精確值處理［2－8］。不能闡述實(shí)際輸出結(jié)果的不確定性及其可代表期望輸出的確定程度，將給控制效果帶來不可預(yù)知的風(fēng)險(xiǎn)。

云模型能夠?qū)⒍ㄐ愿拍畹哪：院碗S機(jī)性進(jìn)行統(tǒng)一量化描述［9］。不過，云模型面向單個(gè)定性概念，它不能闡述儀器儀表和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出不確定性在整個(gè)測(cè)度空間的變化情況。針對(duì)上述問題，本文提出云映射和映射隸屬云的不確定性表示方法。其基本思想是分析關(guān)鍵輸入量值輸出的不確定特征，分別設(shè)計(jì)隨機(jī)變量，實(shí)現(xiàn)輸入到輸出的非精確變換。同時(shí)，將不確定變換拓展至整個(gè)測(cè)度空間，定量表示輸出不確定性及其在整個(gè)測(cè)度空間的變化情況。

1 云模型介紹

在自然界和人類認(rèn)知過程的各種不確定性中，模糊性和隨機(jī)性是最重要的兩種不確定性。云模型能夠?qū)⑦@兩種不確定性進(jìn)行統(tǒng)一量化描述。云模型由大量云滴構(gòu)成。云滴可定義描述為［9］:假設(shè)U是用數(shù)值表示的定量論域，C是U上的定性概念，?x∈U是定性概念C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn);x對(duì)C的確定度用μ(x)表示(μ(x)是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，且滿足 μ(x)∈［0，1］);x在論域U上的分布稱為云，記為C(x)，每一個(gè)x稱為一個(gè)云滴。

在云模型的定義中，隨機(jī)變量x不再是簡單概率意義下的隨機(jī)變量，而是對(duì)它的任何一個(gè)實(shí)現(xiàn)(即云滴x)都存在一個(gè)確定度μ(x)。μ(x)是云滴x能夠代表定性概念C的程度，且確定度μ(x)也是一個(gè)有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)。確定度μ(x)的作用相當(dāng)于模糊集理論中的隸屬度，但它與隸屬度最大的不同是它在給定隨機(jī)變量取值下是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，而不是唯一確定值，從而將定性概念的模糊性和隨機(jī)性統(tǒng)一起來。定性概念C的特征通過云的整體來體現(xiàn)，云滴的數(shù)量越多，云的整體特征越明顯。

云模型用期望值Ex、熵值En和超熵值He這三個(gè)數(shù)字特征來表示，記為C(Ex，En，He)。期望值Ex是在論域U中最能代表定性概念C的點(diǎn)。熵值En既是定性概念隨機(jī)性的度量，用來闡述云滴在論域空間的離散程度;又是定性概念模糊性的度量，能反映云滴在論域空間的集中程度。熵值越大，云滴越分散，集中度越低，概念更宏觀;熵值越小，云滴越集中，概念的粒度更小、更清晰。超熵值He是熵的熵，He是熵值En的穩(wěn)定性度量。超熵值越大，熵的穩(wěn)定性越差。

自然界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象都符合正態(tài)分布，因此，云模型采用正態(tài)分布描述隨機(jī)性，稱為正態(tài)云［10］。即x～N(Ex，En'2)，En'～N(En，He2)。x的確定度計(jì)算公式如下:

式中:μ為無量綱物理量確定度;x為實(shí)現(xiàn)的云滴;Ex為云的期望;En'為以熵值En為期望、以超熵值He為標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)現(xiàn)的一個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。

根據(jù)已知樣本(云滴)的統(tǒng)計(jì)特征，歸納云的數(shù)字特征值C(Ex，En，He)，稱為逆向生成云;若已知云的數(shù)字特征值，生成云滴，稱為正向生成云。

2 云映射和映射隸屬云

將儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的工作過程看成是從輸入到輸出的一個(gè)映射變換，不失一般性，給出以下定義。

對(duì)非空集合A和B，若按照對(duì)應(yīng)關(guān)系F，?x∈A，存在隨機(jī)變量Yx，在集合B上的值域?yàn)閁x?B，稱F為A到B的一個(gè)云映射，記為，或 Yx=F(x)。

根據(jù)上述定義，集合A中的每一個(gè)元素?x∈A，都通過一個(gè)隨機(jī)變量Yx變換到一個(gè)可能的取值空間Ux?B。Yx的每一個(gè)取值在實(shí)現(xiàn)前都不能確定。對(duì)集合A中的全體元素，F(xiàn)定義了一個(gè)隨機(jī)變量簇Y={Yx|x∈A}。各個(gè)隨機(jī)變量的分布可能相同，也可能不同，其分布特征通過樣本的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行估計(jì)。隨機(jī)變量簇將集合A中的元素變換到一個(gè)云狀不確定空間。F的特征通過全體隨機(jī)變量簇Y來體現(xiàn)，因此，稱F為云映射。

若A和B為定量值集合，對(duì)A中的若干關(guān)鍵元素，采用隸屬云思想構(gòu)造輸出結(jié)果在這些給定輸入值下的隸屬云片。在集合A上對(duì)這些隸屬云片的數(shù)字特征期望值、熵值和超熵值進(jìn)行擬合，估計(jì)集合A到B映射F的期望函數(shù)、熵函數(shù)和超熵函數(shù)，從而構(gòu)造F的隸屬云。隸屬云能夠?qū)φ麄€(gè)有效輸入范圍內(nèi)的輸出及其不確定性進(jìn)行定量表示，相關(guān)定義如下。

設(shè)Yx=F(x)為非空定量值集合A到B的一個(gè)云映射，?x∈A，隨機(jī)變量Yx在集合B上取得定量值域Ux?B。若Cx是定量論域Ux上的定性概念，?y∈Ux是定性概念Cx在Ux上的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，y對(duì)Cx的確定度μ(y)∈［0，1］是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，則 y在論域 Ux上的分布稱為F在x處的一個(gè)隸屬云片，記為C(Yx)。每一個(gè)y稱為一個(gè)云滴。全體云片組成F的隸屬云簇，稱為云映射F的隸屬云，簡稱映射云，記為C［F(x)］。

與單個(gè)定性概念的隸屬云模型相比，上述定義將其拓展至云映射F的整個(gè)自變量空間A。集合A中的每一個(gè)元素x都對(duì)應(yīng)一個(gè)定性概念Cx。其全體元素對(duì)應(yīng)一個(gè)定性概念簇CA={Cx|x∈A}。它們可能是具有實(shí)際意義的概念，也可能是沒有現(xiàn)實(shí)意義的抽象概念。?Cx∈CA，定量論域Ux?B內(nèi)最能代表Cx的點(diǎn)是隨機(jī)變量Yx的期望值的點(diǎn)，記為f(x)。f(x)在集合A上即構(gòu)成了云映射F的期望，即精確函數(shù)y=f(x)。Cx的每個(gè)隨機(jī)實(shí)現(xiàn)即為云滴。Cx在定量論域Ux?B內(nèi)的模糊性和隨機(jī)性用熵度量，記為e(x)。云滴y能夠代表定性概念Cx的確定度μ(y)是一個(gè)具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)。其隨機(jī)特征用超熵度量，記為h(x)。定性概念Cx的特征通過在x處的大量云滴構(gòu)成的隸屬云片的整體來體現(xiàn)。全體隸屬云片能夠反映概念簇CA隨集合A中元素的變化情況。

在整個(gè)集合A上，f(x)、e(x)和h(x)分別稱為云映射F的期望函數(shù)、映射隸屬云C［F(x)］的熵函數(shù)和超熵函數(shù)。當(dāng)?x∈A時(shí)，定性概念C(x)的云數(shù)字特征為C［f(x)，e(x)，h(x)］。F的隸屬云也可稱為精確函數(shù)y=f(x)的云。它在本質(zhì)上反映了以函數(shù)y=f(x)為期望的不確定性映射關(guān)系在值域空間和確定度空間的分布。對(duì)儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系而言，其映射云反映了在給定輸入下，輸出的可能取值及實(shí)現(xiàn)的取值可代表期望輸出的確定程度。

本文沿用文獻(xiàn)［10］的正態(tài)云，即?x∈X，y～N［f(x)，En'2］，En'～N［e(x)，h2(x)］，y的確定度可按照下式計(jì)算:

3 映射云算法

3.1 逆向映射云算法

在儀器儀表、執(zhí)行結(jié)構(gòu)的有效輸入范圍內(nèi)選取關(guān)鍵點(diǎn)，分別重復(fù)設(shè)定輸入量、測(cè)量輸出值，以獲取各輸入量值下的多個(gè)輸出樣本，從而估計(jì)出在各關(guān)鍵點(diǎn)輸出的期望值、熵值和超熵值。分別對(duì)它們?cè)诟鱾€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的取值進(jìn)行擬合，估計(jì)出期望函數(shù)f(x)、熵函數(shù)e(x)和超熵函數(shù)h(x)的過程，稱為逆向生成映射云。該算法具體描述如下。

①在有效輸入范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生M個(gè)均勻分布的值 X={xi|i=1，2，…，M};

②?xi∈X，對(duì)輸入、輸出進(jìn)行N次設(shè)定和測(cè)量，獲得輸出樣本 Yi={yij|j=1，2，…，N};

③估計(jì)輸出在xi處的期望值:

估計(jì)輸出在xi處的熵值為:

估計(jì)輸出在xi處的超熵值為:

其中，

④ 分別對(duì) M 對(duì)數(shù)據(jù){(xi，Exi)|i=1，2，…，M}、{(xi，Eni)|i=1，2，…，M}和{(xi，Hei)|i=1，2，…，M}進(jìn)行擬合，獲得對(duì)期望函數(shù)f(x)、熵函數(shù)e(x)和超熵函數(shù)h(x)的估計(jì)。

3.2 正向映射云算法

根據(jù)輸入-輸出逆向映射云生成算法獲得的映射隸屬云C［f(x)，e(x)，h(x)］，產(chǎn)生在給定輸入值下的一個(gè)輸出實(shí)現(xiàn)的過程，稱為正向生成映射云。該算法具體描述如下。

① 輸入x0∈A，分別由f(x)、e(x)、h(x)計(jì)算 F(x0)的期望值f(x0)、熵值En0=e(x0)、超熵值He0=h(x0);

② 由 En0'～N［e(x0)，h2(x0)］產(chǎn)生 En0';

③ 由y～N［f(x0)，En0'2］產(chǎn)生y;

④由下式計(jì)算確定度:

4 D/A卡的映射云

某D/A卡為12位，輸出量程為電壓0～5 V，則其輸入量的數(shù)字量范圍為000H～FFFH，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)范圍為0～4 095。輸入與輸出在理想狀態(tài)下的關(guān)系可以表示為:

式中:x為介于0～4 095的無量綱數(shù);y為輸出的電壓值，V。

在000H～FFFH之間等間隔地選取11個(gè)數(shù)字量作為輸入量，分100次重復(fù)寫入D/A卡，測(cè)量輸出電壓值。按照輸入輸出逆向映射云生成算法獲得的期望函數(shù)同式(8)。

熵函數(shù)的估計(jì)為:

超熵函數(shù)的估計(jì)為:

式(9)和式(10)表示各輸出在整個(gè)測(cè)度空間的熵和超熵值基本相同，也就是說在各輸入量下，D/A轉(zhuǎn)換得到的電壓值的分布規(guī)律基本相同［11］。

根據(jù)逆向映射云算法獲得的特征函數(shù)，運(yùn)用正向映射云生成算法獲得的映射隸屬云如圖1所示。

圖1 輸入-輸出映射云Fig.1 Input-output mapping cloud

由圖1可以看出，映射云模型不僅能夠闡述D/A卡在給定輸入值下其輸出的模糊性和隨機(jī)性特征，并通過確定度描述變換結(jié)果可代表期望輸出的確定程度;而且還能夠描述這種不確定性在整個(gè)測(cè)度空間的變化情況。

5 結(jié)束語

本文提出了云映射和映射隸屬云的概念，對(duì)控制系統(tǒng)各種儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出不確定性進(jìn)行定量表示。云映射通過隨機(jī)變量簇將精確值集合變換到各自可能的取值空間。在給定輸入量值之后，采用隸屬云模型建立輸出的隸屬云片。在有效工作范圍內(nèi)選取關(guān)鍵輸入值，分別建立輸出的隸屬云片。根據(jù)各隸屬云片的期望值、熵值和超熵值，估計(jì)輸入輸出映射關(guān)系在整個(gè)有效工作范圍內(nèi)的期望函數(shù)、熵函數(shù)和超熵函數(shù)，從而構(gòu)造輸入輸出在整個(gè)有效工作范圍內(nèi)的映射隸屬云，用來定量表示儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出結(jié)果的模糊性和隨機(jī)性。以某D/A卡為例，說明了逆向隸屬云的生成過程和采用正向隸屬云表示輸出不確定性及確定程度的有效性。

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