張建中 黃月琴

（1.中國海洋大學(xué)海洋地球科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100；2.廈門大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，福建 廈門361005）

引 言

偏移成像是探地雷達(dá)（GPR）目標(biāo)識別和定位的主要技術(shù)之一。相移偏移方法因簡單實(shí)用被廣泛用于GPR成像［1－4］，這類方法中的一個重要步驟是用反傅里葉變換把波數(shù)域的相移數(shù)據(jù)變回到空間域。但是，由于均勻采樣頻率與波數(shù)之間的非線性關(guān)系，使得波數(shù)空間的波場被非均勻采樣，常規(guī)的快速傅里葉變換（FFT）難以直接使用。現(xiàn)有的做法是先對波數(shù)空間非均勻采樣的波場進(jìn)行插值運(yùn)算，獲得均勻采樣的波數(shù)空間波場，再直接使用FFT，如線性插值－FFT 算法［5］，Stolt插 值－FFT 算 法［6－7］等。雖然FFT運(yùn)行很快，但插值的計(jì)算量卻較大，而且，插值后的波場將不可避免地含有一定的誤差，從而影響成像精度。Liu等人［8］提出了精確的非均勻采樣快速傅里葉變換算法（NUFFT）。把NUFFT引入到相移算法中，可以避免插值運(yùn)算，使成像精度和計(jì)算效率得到進(jìn)一步的提高。

實(shí)測GPR數(shù)據(jù)通常被噪聲所污染，致使偏移成像質(zhì)量和目標(biāo)定位精度受到嚴(yán)重影響。匹配追蹤（MP）算法［9］是目前最流行的信號分析工具之一，被用于地震和雷達(dá)信號處理中［10－12］。MP算法選擇一個超完備展開函數(shù)集合，根據(jù)信號特征，自適應(yīng)地選擇展開函數(shù)，通過逐步逼近，求得信號的表示，達(dá)到分解信號和去除噪聲的效果。但是，MP算法在每一次求解的分解過程中，需要在超完備展開函數(shù)集合或原子庫中尋找最優(yōu)原子，這是一個非常耗時的過程，導(dǎo)致MP算法具有很大的計(jì)算量，從而限制了該算法的實(shí)際應(yīng)用。為此，將最小二乘原理引入到MP算法中，直接計(jì)算最優(yōu)原子參數(shù)，避免了在龐大的原子庫中搜尋最優(yōu)原子的耗時過程，形成了具有較高計(jì)算速度的最小二乘匹配追蹤算法（LSMP）。

根據(jù)相移偏移方法和MP算法的上述問題和改進(jìn)途徑，對它們進(jìn)行了改進(jìn)，并把它們綜合起來，對GPR資料進(jìn)行成像處理，獲得了偏移結(jié)果的振幅譜和相位譜，顯示出了良好的成像效果。

1 改進(jìn)的相移偏移方法

相移偏移算法屬于頻率－波數(shù)域方法，是目前常用的GPR偏移成像方法之一。該方法所要解決的問題可描述為：利用地表z＝0處接收的GPR信號s（x，z＝0，t）來重建波場s（x，z，t＝0）.其方法原理如下：

1）對GPR回波信號s（x，z＝0，t）進(jìn)行二維傅里葉變換，得

2）在頻域－波數(shù)空間，任意深度z處的波場S（kx，z，ω）可由z＝0處的波場表示為

式中kz是z方向波數(shù)。kx，kz和ω滿足

式中ν是電磁波在地下的平均傳播速度。

3）對式（2）進(jìn)行二維反傅里葉變換，可得時域空間內(nèi)任意深度z處的波場為

4）將式（2）代入在式（4），并令t＝0，就得到偏移后的波場s（x，z，t＝0）為

由于GPR系統(tǒng)通常在時間t方向和測線x方向上等間距采樣，式（1）中傅里葉變換后的頻率ω和kx波數(shù)都為均勻分布，由式（3）的非線性關(guān)系式得到的波數(shù)kz則是非均勻分布的。這樣，式（5）右端實(shí)際上是一個非均勻采樣的傅里葉逆變換式。為了避免因使用FFT而需要把波數(shù)空間非均勻采樣數(shù)據(jù)插值成均勻采樣的問題，我們采用Liu等人提出的NUFFT［8］進(jìn)行快速計(jì)算。式（5）的離散形式為［13］

式中：Δkx和Δω為頻域－波數(shù)域的采樣率；M和N分別是x和t方向上的樣點(diǎn)數(shù)；xp和zq是樣點(diǎn)坐標(biāo)。令

則有

2 最小二乘匹配追蹤算法

假定GPR某道回波信號u（t）可以表示成子波w（t）經(jīng)過不同的時移和尺度變換后的子波的線性組合，

式中：aj、tj、fj和φj分別表示第j個子波的振幅、中心時間、主頻和相位，j＝1，2，…，N；n是噪聲。由于Ricker子波可以很好地表征GPR脈沖信號，采用Ricker子波，其表達(dá)式為

為了能夠得到回波信號的振幅譜和相位譜，采用解析信號進(jìn)行處理。利用Hilbert變換，GPR信號u（t）和小波w（t）的解析信號分別為

式中H表示Hilbert變換。這樣，式（9）的GPR回波解析道信號可表示為

式中Aj為復(fù)振幅，且

每一次匹配追蹤后的解析道信號殘差R（t）為［14］

根據(jù)最小二乘原理，解析道信號殘差能量定義為

式中，ti為回波信號的時間樣點(diǎn)，i＝1，2，… ，M.為使殘差能量E達(dá)到最小，解式（16）極小值問題得到

I是單位矩陣，ε是阻尼因子，T表示矩陣轉(zhuǎn)置。

利用式（17）就可求出每一道回波信號的解析子波復(fù)振幅。具體計(jì)算步驟如下：

1）計(jì)算中心時間tj，即輸入信號U（t）振幅包絡(luò)的峰值所對應(yīng)的時間。

2）計(jì)算主頻fj.采取窗函數(shù)截取中心時間tj的局部波形，并利用FFT計(jì)算瞬時頻譜。該頻譜振幅包絡(luò)的峰值所對應(yīng)的頻率即為所需要的主頻。

3）將中心時間tj和主頻fj代入式（10），并利用式（12）計(jì)算當(dāng)前解析子波。

4）利用式（17）計(jì)算出復(fù)數(shù)振幅Aj.

5）由式（15）計(jì)算信號殘差R（t），且令

U（t）＝R（t）.

6）計(jì)算殘差能量E，并判斷是否滿足終止條件，若是，結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)至步驟1）。

執(zhí)行上述方法步驟，就得到了組成GPR某一道隨時間變化信號的各個子波的復(fù)振幅Aj.這些子波的線性疊加就近似為有效信號，而殘差則被認(rèn)為是噪聲。去噪后的解析道信號用獲得的解析子波表示為

該信號的幅度譜和相位譜可分別表示為

式中Re和Im分別表示取復(fù)函數(shù)的實(shí)部和虛部。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分別使用數(shù)值模擬獲得的GPR信號及實(shí)測的GPR資料進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，主要測試本文算法的去噪和聚焦性能。為了將相移偏移結(jié)果與本文的相移偏移和LSMP綜合算法結(jié)果進(jìn)行一一對應(yīng)的比較，對相移偏移結(jié)果也通過Hilbert變換形成對應(yīng)的解析信號后，再利用與式（19）和（20）類似的方法計(jì)算出相應(yīng)的振幅譜和相位譜。

3.1 合成數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

圖1（a）所示為一GPR理論模型，長度為1.4m，厚度為0.6m.背景媒質(zhì)為干燥土壤，深度從0.05m到0.60m，介電常數(shù)εr為10；土壤上層為空氣；土壤中分布有一個混凝土板，該板在中間部位垂直斷裂而錯位，板的總長度為1.4m，厚度為0.1m，介電常數(shù)εr為6.利用軟件 Gpr MaxV2.0［15］模擬了該模型的 GPR記錄，其中，雷達(dá)脈沖主頻為900MHz.圖1（b）是消除了直達(dá)波和地面反射波的模擬記錄，在界面突變處有明顯的繞射波，可以用來檢驗(yàn)偏移方法的歸位效果。圖1（c）和（d）是在圖1（b）模擬記錄中加入隨機(jī)噪聲后的含噪記錄，其中圖1（c）的信噪比SNR為0dB，回波信號還比較明顯，以下稱為含弱噪聲信號；圖1（d）的信噪比SNR降為－10dB，回波信號已完全淹沒在隨機(jī)噪聲中，以下稱為含強(qiáng)噪聲信號。為了與模型進(jìn)行對比，所有圖中的時間坐標(biāo)被換算成了深度坐標(biāo)。

分別使用改進(jìn)的相移偏移方法及改進(jìn)的相移偏移與LSMP綜合方法對合成的無噪信號和含噪聲信號進(jìn)行了成像處理。圖2（a）和（b）是無噪信號偏移結(jié)果的幅度譜和相位譜，斷裂處的繞射波被較好的歸位，說明了使用NUFFT相移偏移方法的良好效果。圖2（c）和（d）是對信噪比SNR為0dB的含弱噪聲信號，用相移偏移方法的幅度譜和相位譜，而圖2（e）和（f）是對該含弱噪聲信號用相移偏移與LSMP綜合方法得到的幅度譜和相位譜?？梢钥闯?，只用相移偏移方法的結(jié)果雖然尚能反映目標(biāo)，但背景噪聲較大；而相移偏移與LSMP綜合方法能很好的壓制噪聲，成像效果得到了明顯改善。圖2（g）和（h）是對信噪比SNR為－10dB的含強(qiáng)噪聲信號，用相移偏移方法得到的幅度譜和相位譜，而圖2（i）和（j）是對該含強(qiáng)噪聲信號用相移偏移與LSMP綜合方法得到的幅度譜和相位譜。由于目標(biāo)信號幾乎被強(qiáng)噪聲淹沒，在相移偏移圖上噪聲依然很強(qiáng)，而目標(biāo)信號非常微弱，幾乎不能識別出來；而在相移偏移與LSMP綜合成像圖上，噪聲得到壓制，目標(biāo)信號反映清晰?？梢?，相移偏移與LSMP綜合方法明顯優(yōu)于相移偏移方法，不僅能夠?qū)ν噍S正確歸位，更具有很強(qiáng)的壓制噪聲的能力，從而極大地提高了低信噪比資料的成像質(zhì)量，較好地刻畫目標(biāo)體的位置和形狀。另外，除了振幅譜外，相位譜也能較好地反映目標(biāo)信息。由于相位譜反映信號相位變化的連續(xù)性，與反射信號能量無關(guān)，對于同相軸的連續(xù)展布以及突變，相位譜的特征更明顯。特別是對于含噪聲資料，相位譜比振幅譜能更明顯地突出目標(biāo)信號，因此，將幅度譜和相位譜進(jìn)行綜合分析，可以更好地識別和圈定目標(biāo)。

3.2 實(shí)測數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

圖3（a）是我們用pulseEKKO PRO型探地雷達(dá)在英國東約克郡的Beverley高爾夫球場采集到的雷達(dá)數(shù)據(jù)剖面圖。該雷達(dá)系統(tǒng)采用Ricker脈沖，工作頻率為500MHz，脈沖電壓為180 V.共采集540道數(shù)據(jù)，道間距為2cm，每道記錄250個采樣點(diǎn)，采樣時窗為50ns.通過試驗(yàn)得到電磁波在該球場土壤中的傳播速度約為0.09m／ns.在進(jìn)行偏移前，對該雷達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行了去除背景信號及相關(guān)噪聲處理，結(jié)果如圖3（b）所示。用相移偏移算法得到的幅度譜和相位譜如圖3（c）和（d）所示；用相移偏移與LSMP綜合方法進(jìn)行成像，得到的幅度譜和相位譜分別如圖3（e）和（f）所示。可以看出，后一種方法成像結(jié)果的背景噪聲更弱，同相軸聚焦更好，成像質(zhì)量明顯優(yōu)于前一種方法。

4 結(jié) 論

最小二乘匹配追蹤算法具有很強(qiáng)的壓制隨機(jī)噪聲的能力，引入NUFFT的相移方法具有較高的精度和計(jì)算效率。綜合最小二乘匹配追蹤算法與相移偏移算法，形成了一種壓噪能力很強(qiáng)的快速GPR偏移成像方法，極大地提高了含噪聲資料的成像質(zhì)量。另外，成像結(jié)果的相位譜也能較好地反映目標(biāo)信息。特別是對于含噪聲資料，有時相位譜比振幅譜對目標(biāo)信息的反映更明顯。因此，將幅度譜和相位譜進(jìn)行綜合分析，可以更好地識別和圈定目標(biāo)，這對于低信噪比資料的解釋和弱小目標(biāo)的識別具有重要意義。

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