成文婧 徐玉清 劉兆和 王 欣

（1.總裝工程兵科研一所，江蘇 無錫214035 2.國防科學技術大學，湖南 長沙410073）

引 言

放大轉(zhuǎn)發(fā)（AF）協(xié)同波束成形系統(tǒng)，不僅實現(xiàn)簡單，而且通過波束成形技術可獲得協(xié)同分集［1－4］。該技術通過在各中繼節(jié)點處乘以預先設計的波束成形因子，使得目的節(jié)點處獲得較好的性能。與一般意義的波束成形問題［5］類似，該技術也是通過預先知道系統(tǒng)的一些信息來優(yōu)化波束成形向量，以達到一定的優(yōu)化目標（如目的節(jié)點信噪比（SNR）最大化、誤碼率最小化等）。波束成形系統(tǒng)要求中繼節(jié)點已知理想信道狀態(tài)信息（CSI），但是受信道估計誤差、量化誤差、反饋延遲等因素影響，實際一般不能獲得理想CSI。此時根據(jù)理想CSI設計的傳統(tǒng)波束成形算法性能嚴重下降。設計對不準確CSI具有魯棒性的波束成形算法是波束成形技術實用化的關鍵之一。

傳統(tǒng)波束成形設計準則一般有兩種：一是在保證目的節(jié)點SNR大于某門限的前提下，以最小化中繼節(jié)點總功率為準則；二是在中繼節(jié)點功率約束下，以最大化目的節(jié)點SNR為準則。不同準則下的波束成形，需要設計對應不同的魯棒算法。針對第一種準則，文獻［6－7］基于最壞情況思想，設計了對應魯棒算法。其中文獻［6］假設中繼節(jié)點得到的CSI僅在幅度上存在誤差，研究魯棒功率分配算法。文獻［7］進一步考慮CSI在幅度和相位上均存在誤差，設計了對應魯棒波束成形因子。針對第二種準則，文獻［8－9］也基于最壞情況思想，研究對應魯棒算法。但是文獻［8］僅考慮了第二階段（中繼到目的）CSI存在誤差，沒有考慮第一階段（源到中繼）信道誤差的影響。文獻［9］雖然考慮兩階段CSI信息都存在誤差，但是只考慮CSI幅度誤差，沒有考慮相位誤差。目前為止，針對獲得的兩階段CSI在幅度和相位上均存在誤差的情況，最大化目的節(jié)點SNR準則對應的魯棒波束成形算法還沒有進行研究。

針對所有中繼功率約束（TPC）下以最大化目的節(jié)點SNR為準則的協(xié)同波束成形系統(tǒng)，設計了對應的魯棒算法。具體來說，考慮中繼節(jié)點獲得的兩階段CSI存在復誤差，基于最壞情況思想，建立了對應保證魯棒性的優(yōu)化問題。進而根據(jù)擴展S引理和復數(shù)矩陣Schur補定理，將此問題由不可解的半無限問題轉(zhuǎn)化為可解的準凸問題，可通過對分搜索算法獲得最優(yōu)解。每次搜索可利用高效的內(nèi)點算法來判斷聯(lián)合線性約束、二階錐（SOC）約束和線性矩陣不等式（LMI）約束的凸問題是否可解。仿真表明，提出的魯棒波束成形算法能夠有效抵抗不準確CSI帶來的性能損失。

符號表示：（）·′、（）·T、（）·H分別表示取共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置；表示a的模、∠a表示a的相位；⊙表示Hadamard乘積；diag｛w｝表示對角線元素為w的對角矩陣。

1 系統(tǒng)模型

圖1 協(xié)同場景

考慮由源節(jié)點S、目的節(jié)點D和Nr個中繼節(jié)點Ri，i＝1，…，Nr組成的協(xié)同系統(tǒng)，如圖1所示。各節(jié)點均配置半雙工的單天線。假設S和D間沒有直達路徑，由Nr個中繼節(jié)點協(xié)助S與D進行通信。令fi表示S到Ri的信道，wi表示Ri到D的信道，其中fi和wi服從均值為0、方差為1的復高斯分布。假設中繼節(jié)點對應各信道相互獨立，且各節(jié)點間達到理想同步。協(xié)同過程可分為兩個階段：

1）源節(jié)點以功率Ps將符號信息s發(fā)送給各中繼節(jié)點，且滿足E｛｜s｜2｝＝1.則中繼節(jié)點Ri的接收信號為

式中ni表示Ri處的噪聲，服從均值為0，方差為1的復高斯分布。

2）Ri對接收信號ri乘以功率歸一化因子β＝然后乘以波束成形因子g′i后發(fā)送至目的節(jié)點。則Ri的發(fā)送信號為

目的節(jié)點的接收信號為

式中，η表示目的節(jié)點處的噪聲，服從均值為0，方差為1的復高斯分布。

由式（5）可得，目的節(jié)點接收信號中的有效信號功率為Psig＝Psβ2gHhhHg，噪聲功率為Pnoise＝β2gHΛΛwg＋1，則目的節(jié)點接收信號的SNR為

2 傳統(tǒng)波束成形設計

假設中繼節(jié)點的總功率不超過Pmax.由式（3）和式（6）可得，此波束成形設計問題可表示為

由文獻［11］可得，優(yōu)化問題（7）的最優(yōu)解為

其中Lmax｛·｝表示矩陣的最大特征值。

3 最壞情況下的魯棒波束成形設計

實際系統(tǒng)中，節(jié)點很難獲得理想CSI.不準確CSI會嚴重影響傳統(tǒng)波束成形算法的性能。魯棒波束成形的目的是：合理設計波束成形矢量g，使得當節(jié)點得到的CSI存在誤差時，仍能獲得較好的性能。首先定義信道的不確定集，然后推導魯棒波束成形因子。

3.1 不確定集建模

假設實際信道向量是在中繼節(jié)點已知的信道向量上疊加一個復誤差向量。此時實際信道所有可能的取值構成信道不確定集，假設為橢圓不確定集：

由式（8）可得Λf的不確定集為

由式（9）可得Λw的不確定集為

由式（8）和（9）可得

3.2 魯棒波束成形設計

由于信道的不確定性，TPC下的魯棒波束成形設計問題不能由第2節(jié)的方法得到解析解。

引入輔助變量α，優(yōu)化問題（7）可等價為

則保證魯棒性的最優(yōu)化問題可表示為

進一步等價為

優(yōu)化問題（15）的最優(yōu)解即為最優(yōu)魯棒波束成形因子。但是不確定集U1和U2中包含無窮個f和w，相當于優(yōu)化問題（15）中包含無窮個約束條件，難以求解。實際上，要保證不確定集中任意信道都滿足約束條件，只要保證最壞情況下滿足條件即可。以下我們將基于最壞情況思想，建立新的約束條件，將優(yōu)化問題（15）轉(zhuǎn)化為可解的凸問題。近似認為優(yōu)化問題（15）的第一個約束條件的不等式兩邊涉及的不確定集是獨立的［6，9］。引入輔助變量τ≥0，優(yōu)化問題（15）可等價為

定理：優(yōu)化問題（16）等價為可解的準凸問題（17）

證明：

由于qHq≤1，根據(jù)Cauchy－Schwarz不等式可得

2）第二個約束條件等價為

引入范數(shù)表示后可等價為

由式（11）可得

將式（20）代入式（19）中，并根據(jù)范數(shù)性質(zhì)‖x‖2＝xHx，式（19）可等價為

根據(jù)擴展S引理（附錄A），式（21）成立等價于：存在ρ1≥0，滿足

由于ρ1，λ均為非負數(shù)，所以一定存在θ1≥0，滿足ρ1＝λθ1.則式（22）等價為

中的Schur補，根據(jù)復數(shù)矩陣的Schur補定理（見附錄B），S≥0等價于T1≥0.

因此第二個約束條件等價為

3）由式（3）可得，第三個約束條件gHΛg ≤Pmax，?Λf∈U3等價為

式（25）可等價為式（26）、（27）和（28）的聯(lián)合

式（26）可以寫成二次型的形式，即

由于式（27）和（19）有著相似的結(jié)構，可通過類似的推導，得出式（27）的等價條件為

綜上所述，式（18），式（24），式（28），式（29）和式（30）為新的約束條件。

由于對g進行旋轉(zhuǎn)，不會影響優(yōu)化問題（16）的目標函數(shù)，也不會影響新的約束條件，所以，可適當旋轉(zhuǎn)g，使得＾hHg為實數(shù)。于是有優(yōu)化問題（16）等價于式（17），定理得證。優(yōu)化問題（17）的最優(yōu)解即為最優(yōu)魯棒波束成形矢量。該問題為準凸問題［12］，可以通過對分搜索得到最優(yōu)解。每次搜索需求解一個凸問題［13］，包含4個線性約束，3個SOC約束和2個LMI約束。

4 仿真結(jié)果

仿真時取中繼數(shù)目Nr＝5.為方便起見，取各中繼對應的兩階段信道的不準確程度一致，即δi＝εi＝δ，i＝1，…，Nr.對分搜索時取ξ＝1×10－6.

4.1 性能評價

當信道存在偏差時，非魯棒傳統(tǒng)算法設計的波束成形因子對應的節(jié)點功率可能大于功率約束。為公平比較算法性能，提出有效信噪比（ESNR）的概念。

定義中斷概率為ESNR小于門限γth的概率，即仿真中取γth＝15dBw.

仿真過程如表1所示，取mon和time均為1 000.

表1 仿真過程

4.2 性能仿真

圖2為TPC下非魯棒傳統(tǒng)波束成形算法在不同δ值下的中斷概率性能曲線。可以看出，當δ＝0.2時，CSI誤差對系統(tǒng)性能的影響不能忽略，而且隨著δ的增大，CSI誤差導致的性能損失更為嚴重。

圖3為δ＝0.2和δ＝0.4時，非魯棒傳統(tǒng)算法和提出的魯棒算法的性能比較，其中‘非魯棒’表示中繼節(jié)點已知的CSI存在誤差時，傳統(tǒng)波束成形算法根據(jù)有誤差的CSI設計的波束成形因子對應的性能，‘魯棒’表示中繼節(jié)點已知的CSI存在誤差時，提出的魯棒波束成形算法的性能?？梢钥闯?，提出的魯棒波束成形算法能夠有效改善CSI誤差對系統(tǒng)性能的惡化影響。

5 結(jié) 論

所提出的魯棒波束成形算法，可歸結(jié)為求解一個準凸問題，應用對分搜索可獲得最優(yōu)解。每次搜索通過高效的內(nèi)點算法來判斷聯(lián)合線性約束、SOC約束和LMI約束的凸問題是否可解。該算法能夠有效降低CSI偏差帶來的中斷概率性能損失，具有重要的實際意義。

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