肖金秀，賀 群，陳志華，邱春暉

（1.上海工程技術(shù)大學(xué) 高職學(xué)院，上海200437；2.同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092；3.廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 廈門361005）

文獻(xiàn)[1－5]給出了實(shí)Finsler流形間的調(diào)和映射的一些開創(chuàng)性成果.而對于復(fù)Finsler流形的情形，基于比實(shí)Finsler流形更復(fù)雜，更不同于Hermite度量的實(shí)部即為Riemann度量，復(fù)Finsler度量的實(shí)部不再是實(shí)Finsler度量，導(dǎo)致復(fù)Finsler流形間的調(diào)和映射 的研究更復(fù)雜.文獻(xiàn)[6]通過考慮?－－能量變分研究了緊Riemann曲面到復(fù)Finsler流形上的調(diào)和映射.最近，文獻(xiàn)[7]則通過計(jì)算能量變分和應(yīng)用文獻(xiàn)[8]中的非線性橢圓系統(tǒng)研究了復(fù)Finsler流形到Hermite流形上的調(diào)和映射，并且得到有關(guān)K?hler Finsler流形到復(fù)流形間調(diào)和映射的存在性定理.

本文，通過定義其上的整體內(nèi)積得到相應(yīng) 的伴隨算子和Laplace算子，并且巧妙地給出了復(fù)Finsler度量和實(shí)Finsler度量之間的關(guān)系，得到了復(fù)Finsler流形間調(diào)和 映射的能量泛函與?－能量泛函和?－－能量泛函之間的關(guān)系式，并且通過技巧性的計(jì)算分別得到了他們的變分公式，從而給出了調(diào)和映射的定義；由于復(fù)Finsler流形中有關(guān)復(fù)Finsler度量的聯(lián)絡(luò)系數(shù)不僅和底流形上的點(diǎn)有關(guān)而且和纖維也有關(guān)，進(jìn)而導(dǎo)致?－能量與?－－能量之差不是同倫不變的.

1 預(yù)備知識

設(shè)M為復(fù)n維的復(fù)流形，（zk）為其局部坐標(biāo)，T1，0M為其全純切叢.設(shè)u＝（zk，ηk）∈T1，0M，F(xiàn)（u）為強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler度量，由zk＝xk＋ixn＋k和ηk＝y(tǒng)k＋iyn＋k知，實(shí)函數(shù)F（u）＝（xa，yb）不再是TRM＼｛0｝上實(shí)Finsler度量.若（gjk－）確定的矩陣是正定的，則稱gjk－是強(qiáng)凸的[9].因此，Munteanu引進(jìn)不同于Abate和Patrizio的方法，實(shí)的度量結(jié)構(gòu)不是由決定，而是由矩陣gjk－的實(shí)部確定.

命題1[9]設(shè)（z，η）由強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler度量F誘導(dǎo)T1，0M上的 Hermite度量 ，則L2（x，y）：＝gab（x，y）yayb為一實(shí)Finsler度量，其中g(shù)

式中：Re表示實(shí)部；Im表示虛部.

稱L為強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler度量F誘導(dǎo)的實(shí)Finsler度量.設(shè)的逆矩陣，即為），由可得：

設(shè)C＊＝C＼｛0｝，射影切叢PTM定義為PTM＝／C＊且∶PTM→M，則PTM上的Finsler幾何量關(guān)于切向量（即纖維坐標(biāo)）是零齊次的.令∧δηn，PTM 體積形式為dV＝dτ∧d∧ dσ ∧d（參見[10－11]）.

引理1 設(shè)（M，F(xiàn)）為緊強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形.則對于所有射影切叢PTM上的函數(shù)f，

因此，

在PTM上積分得

由式（3）得

引理2 設(shè)（M，F(xiàn)）為緊強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形.若T1，0M上的光滑函數(shù)f滿足f（z，λη）＝λ－f（z，η），則

而有

因此

2 調(diào)和映射

設(shè)（M，F(xiàn)）為n維緊強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形，（N，L）為m維強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形.設(shè)f：M→N為非退化光滑映射.記M的局部坐標(biāo)為｛zi｝以及｛ωμ｝為N的局部坐標(biāo)，f局部可表示為

設(shè)有關(guān)度量F的Chern－Finsler聯(lián)絡(luò)的聯(lián)絡(luò)系數(shù)為有關(guān)度

量L的聯(lián)絡(luò)的聯(lián)絡(luò)系數(shù)為

其中f既非全純也非反全純.否則，若f全純則e″（f）＝0；若f反全純則e′（f）＝0.f的?－能量泛函和?－－的能量泛函可定義為

由引理2，公式（6）可重寫為

從而式（7）也可重寫為

記TRM的實(shí)局部坐標(biāo)為（x1，…，x2n，y1，…，y2n）及TRN的實(shí)局部坐標(biāo)為（x～1，…，x～2m，y～1，…，y～2m），其中zi＝xi＋ixn＋i，ωμ＝x～μ＋ix～m＋μ，則

其中1≤a，…≤2m，1≤b，…≤2n且

1≤a，c…≤2m，1≤b，d…≤2n.根據(jù)式（1）—（2），得

從而，f的能量密度可定義為.由式（6），（11），有

且

則，

現(xiàn)考慮f＝f0的光滑變分，即一族光滑映射ft∶M→N，t∈D＝ ｛z∈C｜｜z｜＜ε｝.

則f的?－能量泛函和?－－能量泛函變分為

由變分｛ft｝誘導(dǎo)上的向量為

且

則

由引理2得

且

類似地，

以及

因此，有

定理1 設(shè)（M，）為緊強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形，（N，L）為強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形.若f：（M，F(xiàn)）→（N，L）為非退化且非反全純映射，?－能量泛函的第一變分為

其中

以及

和

類似地，

定理2 設(shè)（M）為緊強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形，（N，L）為強(qiáng)擬凸復(fù)Finsler流形.若f：（M，F(xiàn)）→（N，L）為非退化且非全純映射.則－能量泛函的第一變分為

其中：

以及

和

注意1 若（N，L）為Hermite流形同樣可以得到文獻(xiàn) [7]中的定理3.1.

注意2 若（M，F(xiàn)）為緊Riemann曲面，可以得到文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果.

令

則，

定理2 在復(fù)Finsler流形上，K（f）不是同倫不變的.

由式（17）和（18）知，對于 K?ahler流形間的光滑映射f，K（f）是同倫不變的.

[1] He Q，Shen Y B.Some results on harmonic maps for Finsler manifolds[J].International Journal of Mathematics，2005（16）：1017.

[2] He Q，Shen Y B.Some properties of harmonic maps for Finsler manifolds[J].Houston Journal of Mathematics，2007（33）：683.

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[11] Bland J，Kalka M.Variations of holomorphic curvature for K?hler Finsler metrics[J].Contemporary Mathematics，1996（196）：121.