吳志紅，陳國強，朱 元

（1.同濟大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804；2.同濟大學(xué) 中德學(xué)院，上海 200092）

電動汽車具有污染小、能源利用率高和能源來源多元化等優(yōu)點，是現(xiàn)代汽車工業(yè)發(fā)展的方向之一.永磁同步電機具有啟動轉(zhuǎn)矩大、能量密度高、效率高等優(yōu)點，在電動汽車上得到了廣泛應(yīng)用.基于兩電平三相逆變器的空間矢量調(diào)制（space vector PWM，SVPWM）把電機與逆變器看作整體，以獲得圓形磁鏈為目的，具有直流電壓利用率高、諧波小、數(shù)字實現(xiàn)方便等特點.SVPWM以“伏秒平衡”為原則，在獲得需要的基波電壓的同時不可避免地帶來諧波[1].相電流、直流母線電流都含有豐富的諧波分量.直流母線電流中的諧波分量主要流經(jīng)母線電容，諧波的頻譜成分和大小對電磁干擾、電池和電容的壽命等起著決定性作用[2].因此，直流母線電流頻譜的研究對逆變器的設(shè)計和選型具有重要的理論意義和實用價值.很多文獻對此都進行了不同程度的研究，文獻[3]給出了兩電平逆變器母線電流求解的計算方法，并對兩相和三相正弦PWM策略下母線電流進行了實驗及理論計算并對比分析.文獻[2]對母線電流也進行了研究，包括多電平逆變器的情況.但是這些研究都不是針對PMSM作為負載的情況.當(dāng)PMSM作為負載時，電路中的電感已經(jīng)不再是相電感，加上反電動勢的存在使得計算變得復(fù)雜化.尤其是對凸極式PMSM，電感隨著轉(zhuǎn)子變化，問題將變得更加復(fù)雜.因此本文對此進行深入研究.

1 直流母線電流的形成

在如圖1所示的兩電平三相逆變器中，瞬時輸出總是8個基本電壓矢量之一[4－5].相電流的流經(jīng)路徑不僅取決于開關(guān)狀態(tài)，還取決于電流方向，即電流可通過開關(guān)管，也可通過二極管.圖1給出開關(guān)狀態(tài)為（100）的情況下母線電流的組成.圖中：UDC為直流（direct current，DC）母線電壓；iA，iB，iC為三相電流；VT1～VT6為開關(guān)管；VD1～VD6為二極管.

圖1 （100）時直流母線電流的組成Fig.1 DC link current when（100）wor ks

如果三相的開關(guān)函數(shù)分別為FA，F(xiàn)B，F(xiàn)C，則直流母線電流iDC可表示為[2－3，6]

開關(guān)函數(shù)只有0和1兩個邏輯狀態(tài)[5].當(dāng)開關(guān)狀態(tài)為（000）或（111）即零電壓矢量作用時，直流母線電流為零，此處稱為零電流.直流母線電流是相電流與零電流之間不斷切換的結(jié)果[5－9].

2 PMSM的等效阻抗

2.1 非凸極PMSM的阻抗

三相定子繞組的磁鏈ψA，ψB，ψC為式中：LA，LB，LC為自感，LA＝LB＝LC；LAB，LAC，LBA，LBC，LCA，LCB為互感；ψfA，ψfB，ψfC為永磁體在定子中的磁鏈.電感矩陣Lss可表示為[4]

式中：Lsσ為漏感；Lm1為勵磁電感.

根據(jù)三相電流之和為零可得

式中：同步電感Ls為

則定子電壓方程為

式中：uA，uB，uC為相電壓；Rs為相電阻；t為時間；efA，efB，efC為永磁體勵磁場產(chǎn)生的相反電動勢.

盡管同步電感由三相共同作用形成，但在穩(wěn)態(tài)時從表面上看它充當(dāng)了每相自感的角色[10].Lss為對角矩陣，實現(xiàn)了三相解耦，為三相電流單獨分析提供了巨大的便利.等效電路如2.圖中：s為相電壓相量；0為空載反電動勢相量.

圖2 非凸極PMSM每相的等效電路Fig.2 Equivalent circuit of the non－salient pole PMSM

2.2 凸極PMSM的阻抗

定子的電感矩陣為[10－11]

式中：Ls0和Ls2分別為定子各相自感的平均值和二次諧波幅值；Ms0和Ms2分別為定子兩相之間互感的平均值和二次諧波幅值；在理想電機的假設(shè)條件下，Ms2＝Ls2，Ms0≈Ls0／2；θ為轉(zhuǎn)子直軸與 A 相軸線間的夾角（電角度）.

矩陣（7）無法根據(jù)三相電流之和為零等條件轉(zhuǎn)化為對角線形式.則非凸極PMSM的電壓方程無法化簡為式（6）的形式.設(shè)β為電流矢量與d軸的夾角.則當(dāng)β為π的整數(shù)倍，即iq＝0時

當(dāng)β為π／2的奇數(shù)倍，即id＝0時

令

則A相電流矢量iAs可表示為

則A相電壓矢量可表示為

式中：efA為A相空載電動勢矢量；Ld，Lq為d，q軸電感.

在正弦穩(wěn)態(tài)下，可用時間相量表示為

式中：Ad，Ad為d，q軸的電流相量；E0為空載電動勢的有效值A(chǔ)d，Aq為d，q軸的電壓相量A為空載反電動勢相量；ω為相電流基波的電角速度.則時間相量圖如3所示.B，C兩相的相量圖與此相似，只不過是在相位上依次相差2π／3.

對于凸極PMSM來說，相電阻可以認(rèn)為是恒定的.在id＝0控制策略下，基波的等效電感可認(rèn)為是恒定的，為q軸電感；當(dāng)不采用id＝0控制時，可將相電壓分解為d，q軸兩相電壓，這兩相電壓的基波對應(yīng)的電感分別是d，q軸電感.而高次諧波對應(yīng)的電感隨著轉(zhuǎn)子位置在不斷變化.

圖3 凸極式PMSM時間相量Fig.3 Phasor diagram of salient PMSM

3 母線電流頻譜計算

3.1 公式推導(dǎo)

輸出相電壓VAO的級數(shù)展開形式如下[1]：

式中：m為載波的索引變量；n為基帶的索引變量；Amn，Bmn為諧波系數(shù)；A00為直流偏置的2倍；ω0為調(diào)制波的角頻率；ωc為載波的角頻率；θ0為基波的相位偏移角；θc為載波的相位偏移角.

諧波系數(shù)可以用傅里葉級數(shù)展開法或二重傅里葉變換來求[1].直流偏置為零，其他諧波系數(shù)為式中：M為調(diào)制系數(shù)；q＝m＋n（ω0／ωc）；Jk（）為貝塞爾函數(shù)

相電壓VAO還可以表示為

式中：UDC為直流母線電壓；Ck和θk可由式（14）和（15）得到.

對于三相對稱中線浮空的星形連接的PMSM，并非所有的諧波電壓都會引起諧波電流，但是此處仍將相電流表示為

式中：Zk為第k次諧波對應(yīng)的阻抗，為

式中：Lk為第k次諧波對應(yīng)的電感，對非凸極PMSM，Lk＝Ls；對凸極PMSM，Zk變得很復(fù)雜.

由于電機三相無中線引出，所以三相電流之和為零.則

因此，也可認(rèn)為在開關(guān)函數(shù)中無直流分量，此時開關(guān)函數(shù)與相電壓（以圖1中直流電源的名義中性點O為基準(zhǔn)）的級數(shù)表達式僅相差一個大小為直流母線電壓的比例因子.

因為三相對稱，并且三相基波互相相差2π／3，所以可以改進文獻[3]中的公式進行母線電流的理論求解.不考慮空載反電動勢，則直流母線電流為

其中，n≠3s，s＝0，±1，±2，…；m＋n＝3s′，s′＝0，±1，±2，….

空載電動勢等效抵消掉的直流母線電流為

其中：E1和E－1為每相空載反電動勢幅值的1／2；δθ為定子電壓矢量超前q軸的角度.則直流母線電流為

對于凸極式PMSM，采用id＝0控制策略時基波電壓對應(yīng)的等效電感為Lq，而高次諧波對應(yīng)的電感隨著轉(zhuǎn)子的位置不斷變化.當(dāng)id≠0時，基波可以在d，q2個方向進行分解，對應(yīng)的等效電感分別為常數(shù)Ld和Lq，而高次諧波對應(yīng)的電感仍然是隨著轉(zhuǎn)子的位置不斷變化.因此，無法直接用面貼式PMSM時的求解公式進行計算，但是可以采用2種方法進行近似：①忽略高次諧波，只考慮基波；②將高次諧波對應(yīng)的等效電感進行近似化處理，用一個確定的值代替.通過這種近似處理就可以對非凸極PMSM用計算方法進行母線電流頻譜分析.

3.2 計算過程

在求解相電壓諧波系數(shù)及母線電流頻譜的過程中需要調(diào)制系數(shù)M、載波比Q、定子電壓矢量與空載電動勢矢量間的夾角δθ等參數(shù).當(dāng)PMSM穩(wěn)態(tài)時，由電磁轉(zhuǎn)矩Te、極對數(shù)p以及d，q軸電感Ld與Lq、速度ω、永磁體勵磁磁鏈ψf和開關(guān)頻率fs，根據(jù)電機的機械方程、電壓方程等可以求得相關(guān)參數(shù)，其過程如圖4所示.圖中：ud，uq為d，q軸電壓；id，iq為d，q軸電流；E為空載反電動勢.

4 實驗及分析

4.1 實驗1

參數(shù)為：Rs＝0.011 3Ω，Ls＝0.000 229 5 H，p＝4，ψf＝0.084 24Wb.UDC＝300 V，fs＝10 000 Hz，采用id＝0控制，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為每分鐘2 500轉(zhuǎn)，Te＝20 N·m.則ω＝1 047.2 rad·s－1，Q＝ωc／ω＝60，根據(jù)圖4所示的計算過程，可以計算得iq＝39.57 A，uq＝88.66 V，ud＝－9.51 V，｜us｜＝89.17 V，M＝0.594 5，E＝88.22 V，δθ＝0.106 8.

圖4 直流母線電流頻譜計算所需參數(shù)求解過程Fig.4 Computation procedure for required parameters in DC link cur rent spectrum computation

計算與仿真結(jié)果如圖5.二者之間的微小差異主要來自仿真誤差和理論計算時無窮項的有限項截斷誤差.幅值最大的諧波在開關(guān)頻率的2倍處，這由SVPWM脈沖電壓的對稱性引起的；其母線電流在一個PWM開關(guān)周期內(nèi)在某種程度上也是對稱的.

盡管逆變器輸出電壓的頻譜在開關(guān)頻率的整數(shù)倍附近具有較大的幅值（如圖6a），但是當(dāng)諧波頻率高時感抗也很大，此時諧波幅值大幅降低，如圖6b的相電流所示.若忽略高次諧波，只考慮逆變器輸出的基波電壓，則計算會產(chǎn)生如圖7所示的誤差，但圖中給出的只是誤差的幅值，二者的相位未必相同.

最大絕對誤差出現(xiàn)在載波比的2倍次諧波處，這與母線電流在此處諧波幅值最大是一致的.在載波比4倍次頻率處相對誤差較大，超過50%.主要原因可由式（20）進行解釋.該式為時域內(nèi)每相電流與開關(guān)函數(shù)進行乘積，并將三相乘積相加.在頻域內(nèi)則為每相電流的頻譜與開關(guān)函數(shù)頻譜的卷積，并將三相求得的卷積結(jié)果相加.在進行卷積運算時，2倍載波比處的電流諧波與2倍載波比處開關(guān)函數(shù)諧波合成的結(jié)果主要落在直流母線頻譜的4倍載波比處.而電流和開關(guān)函數(shù)在2倍載波比處諧波的幅值最大，忽略高次諧波必然導(dǎo)致此頻率處的諧波誤差最大.

4.2 實驗2

參數(shù)為：Rs＝0.011 3Ω，Ld＝0.000 175 H，Lq＝0.000 284 H，p＝4，ψf＝0.084 24 Wb，UDC＝200 V，fs＝10 000 Hz.采用id＝0控制，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為每分鐘2 500轉(zhuǎn)，Te＝6.6 N·m.則ω＝1 047.2 rad·s－1，Q＝60，可以計算得iq＝13.125 A，uq＝88.36 V，ud＝ －3.90 V，｜us｜＝88.45 V，M＝0.884 5，E＝88.22 V，δθ＝0.044 1.

理論計算與實驗結(jié)果如圖8.二者的一致程度較好，存在的差異來自多方面的因素.在進行理論公式推導(dǎo)和計算的過程中，假設(shè)逆變器、導(dǎo)線、PMSM等都是理想的.實際系統(tǒng)中的死區(qū)效應(yīng)、導(dǎo)線的寄生電感、PMSM的電感和電阻隨工作環(huán)境的變化等都使得實際的參數(shù)和理論參數(shù)之間存在差異，這些都會引起誤差.PMSM控制中的速度波動也會使實驗測得的直流母線電流進行頻譜分時出現(xiàn)誤差.

5 結(jié)論

（1）在兩電平三相逆變器中直流母線電流的頻譜為每相電流的頻譜與開關(guān)函數(shù)頻譜的卷積，并將三相求得的卷積結(jié)果相加.計算機仿真及實驗結(jié)果與理論計算的結(jié)果一致性都很好，證明了理論計算方法的有效性與正確性.為電動汽車電池工作狀態(tài)的監(jiān)測、直流母線電容的正確選取與壽命估計提供了理論依據(jù).

（2）對非凸極PMSM，基波與高次諧波對應(yīng)的視在電感是相同的；對于凸極PMSM，基波電流需要在直軸和交軸進行相量分解，對應(yīng)的視在電感為直軸電感和交軸電感，是固定不變的；而高次諧波對應(yīng)的電感隨著轉(zhuǎn)子的位置在變化，可以采用忽略高次諧波或用平均電感替代的方法進行近似也可獲得令人滿意的效果.

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