張 蕊 史麗楠

北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191

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基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤研究*

張 蕊 史麗楠

北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191

針對(duì)雷達(dá)導(dǎo)引頭跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題，建立了一種適于高機(jī)動(dòng)目標(biāo)探測(cè)的非線性系統(tǒng)模型，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法推導(dǎo)適用于彈載脈沖多普勒雷達(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)探測(cè)的濾波模型，用以估計(jì)俯仰失調(diào)角、方位失調(diào)角、彈目相對(duì)速度和距離等信息，利用系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對(duì)目標(biāo)加速度及彈目視線角速率進(jìn)行解算估計(jì)。對(duì)標(biāo)稱(chēng)彈道和極限彈道的跟蹤仿真表明，所建立的系統(tǒng)模型和濾波設(shè)計(jì)方案，能夠處理真實(shí)飛行中存在的部分信息缺失問(wèn)題，對(duì)于極端情況下的遮擋問(wèn)題也能在一定時(shí)間內(nèi)保證較高的跟蹤精度。

擴(kuò)展卡爾曼濾波；當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型；機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤；脈沖多普勒雷達(dá)

雷達(dá)導(dǎo)引頭機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤指的是角度跟蹤、速度跟蹤和距離跟蹤。在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中，卡爾曼濾波可在線性高斯情況下利用最小均方誤差準(zhǔn)則獲得目標(biāo)的動(dòng)態(tài)估計(jì)[1]，但實(shí)際系統(tǒng)中觀測(cè)數(shù)據(jù)與目標(biāo)動(dòng)態(tài)參數(shù)間一般是非線性關(guān)系，需要利用線性化方法將非線性濾波問(wèn)題轉(zhuǎn)化為近似的線性濾波問(wèn)題。最常用的線性化方法是泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，所得到的濾波方法即是擴(kuò)展卡爾曼濾波, 早在1996 年Garrison就提出了采用擴(kuò)展卡爾曼非線性濾波( EKF) 進(jìn)行衛(wèi)星編隊(duì)飛行的相對(duì)導(dǎo)航設(shè)計(jì)方法[2]。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型是濾波算法的基礎(chǔ)，Singer模型[3]采用有色噪聲模型，比白噪聲描述機(jī)動(dòng)加速度更為切合實(shí)際，但只適用于等速和等加速范圍內(nèi)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，對(duì)于超出此范圍的運(yùn)動(dòng)，模型誤差較大。Jerk模型的實(shí)質(zhì)是在通常三維狀態(tài)向量增加一維向量即加速度變化率,研究發(fā)現(xiàn)Jerk模型在跟蹤具有階躍加速度變化率的目標(biāo)時(shí)存在穩(wěn)態(tài)確定性誤差問(wèn)題[4-5]，把機(jī)動(dòng)看作是半馬爾科夫過(guò)程描述的一系列有限指令，指令由馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率確定，轉(zhuǎn)移時(shí)間為隨機(jī)變量。Kendrick等把機(jī)動(dòng)目標(biāo)法向加速度的大小描述為非對(duì)稱(chēng)分布的時(shí)間相關(guān)隨機(jī)過(guò)程[6]，狀態(tài)方程是非線性的，但白色高斯過(guò)程能直接傳播，且能保持概率密度函數(shù)的非對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。周宏仁提出了機(jī)動(dòng)目標(biāo)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型[7]：當(dāng)目標(biāo)以某一加速度機(jī)動(dòng)時(shí)，下一時(shí)刻的加速度取值是有限的，且只能在“當(dāng)前加速度”的鄰域內(nèi)。由于該模型采用非零均值和修正瑞利分布表征機(jī)動(dòng)加速度特性，因而更符合實(shí)際。隨著這些技術(shù)的發(fā)展，擴(kuò)展卡爾曼濾波已在衛(wèi)星導(dǎo)航、慣性導(dǎo)航等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]采用衛(wèi)星軌道姿態(tài)一體化確定的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對(duì)軌道和姿態(tài)進(jìn)行估計(jì)，文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了擴(kuò)展卡爾曼濾波器，以二位置對(duì)準(zhǔn)為例，比較了高保真非線性誤差模型與線性模型和大方位誤差模型的濾波效果。

本文基于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的物理過(guò)程和當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型理論，建立雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)的角度跟蹤和距離速度跟蹤系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。采用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法推導(dǎo)適用于彈載雷達(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)探測(cè)的濾波模型，用以估計(jì)俯仰和方位失調(diào)角、彈目相對(duì)速度和距離信號(hào)等信息，并對(duì)目標(biāo)加速度及彈目視線角速率進(jìn)行解算。

1 狀態(tài)方程建模

1.1 角偏差模型

由于雷達(dá)僅能測(cè)出方位失調(diào)角ε和俯仰失調(diào)角η，不能測(cè)出空間扭角γa，為了推導(dǎo)出測(cè)量值的動(dòng)力學(xué)方程，這里先不考慮空間扭角，在失調(diào)角ε和η都為小量時(shí)，角誤差方程如式(1)表示：

(1)

1.2 角速度模型

根據(jù)目標(biāo)和導(dǎo)彈在地面坐標(biāo)系中的關(guān)系(圖1)，并近似認(rèn)為目標(biāo)視線相對(duì)于慣性空間旋轉(zhuǎn)角速度和天線光軸相對(duì)于慣性空間角速度相等，可得到角速度動(dòng)態(tài)方程為(由于狀態(tài)量耦合，為方便起見(jiàn)，彈目相對(duì)距離在此一并表示)：

(2)

RTM為彈目距離，nT為目標(biāo)加速度，nM為導(dǎo)彈加速度，上標(biāo)“r”和“a”分別表示視線坐標(biāo)系和天線坐標(biāo)系，下標(biāo)“x、y、z”分別表示其在坐標(biāo)系上的3個(gè)分量。

圖1 地面坐標(biāo)系中的目標(biāo)和導(dǎo)彈

1.3 目標(biāo)加速度模型

(3)

(4)

wi是零均值白噪聲，τi是加速度相關(guān)時(shí)間常數(shù)。對(duì)(3)式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：

(5)

(6)

(7)

(8)

即：

(9)

如前所述，r′系下慢變狀態(tài)的目標(biāo)加速度可以看作式(7)所示的非零均值隨機(jī)過(guò)程，則有：

整理后可得：

(10)

由于2個(gè)失調(diào)角皆為小量可知：

(11)

最后得到：

(12)

(13)

至此，由式(1)、式(2)、式(12)和式(13)就得到了機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的系統(tǒng)狀態(tài)方程。

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波

考慮離散時(shí)間非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和量測(cè)方程分別為[10]：

(14)

(15)

(16)

3)將式(16)代入式(15)得近似線性模型為：

(17)

4)狀態(tài)濾波以及增益矩陣和誤差協(xié)方差矩陣的更新為：

(18)

(19)

Pk/k=(I-KH)Pk/k-1(I-KH)T+KRKT

(20)

由于量測(cè)矩陣被雅克比陣H代替，根據(jù)式(18)計(jì)算出的增益K已不是最優(yōu)的，因此不能利用常規(guī)的P陣計(jì)算式來(lái)更新協(xié)方差陣，而必須采用式(20)以保證P的正定和對(duì)稱(chēng)，防止濾波發(fā)散。

3 濾波器設(shè)計(jì)

在雷達(dá)沒(méi)有四維信息觀測(cè)輸出前，濾波器要為雷達(dá)提供目標(biāo)初始四維信息參考。按照PD雷達(dá)的典型工作過(guò)程，在雷達(dá)開(kāi)機(jī)后一般經(jīng)過(guò)一定時(shí)間搜索鎖定才能獲得角度觀測(cè)，此時(shí)雷達(dá)工作模式導(dǎo)致發(fā)射波和回波有重疊，即“周期性”遮擋現(xiàn)象，目標(biāo)的角度觀測(cè)信息可信度也呈周期性變化，可能會(huì)沒(méi)有觀測(cè)信息。在角度穩(wěn)定捕獲后，滿足速度鎖定條件時(shí)，可以獲得角度和彈目相對(duì)速度的觀測(cè)條件，最后當(dāng)距離捕獲條件滿足時(shí)，雷達(dá)測(cè)距模式開(kāi)啟，此時(shí)遮擋效應(yīng)解除，直到彈目相對(duì)距離接近到雷達(dá)能測(cè)量的最小距離。

由此可知，濾波器會(huì)交替性的處于僅角度觀測(cè)、無(wú)觀測(cè)、角度速度觀測(cè)、四維信息完全觀測(cè)等條件下。觀測(cè)條件不同意味著濾波觀測(cè)方程不同，因此需要針對(duì)每一種可能出現(xiàn)的觀測(cè)模式單獨(dú)推導(dǎo)濾波方程和設(shè)計(jì)濾波器。

3.1 四維狀態(tài)可測(cè)

狀態(tài)方程為非線性，量測(cè)方程為線性的系統(tǒng)方程可表述為：

(21)

(22)

(23)

將式(23)寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的線性狀態(tài)方程：

(24)

當(dāng)目標(biāo)在目標(biāo)視線坐標(biāo)系中直線渡越時(shí)，方位角速度和俯仰角速度的最大值出現(xiàn)在渡越點(diǎn)上，且角度的峰值反比于距離。一般來(lái)說(shuō)，除渡越點(diǎn)外，角速度是不會(huì)超過(guò)這個(gè)峰值的，因此A12(t)中非零元素的數(shù)值都反比于相對(duì)距離的平方，所以當(dāng)距離略大時(shí)，A12(t)近似為0。經(jīng)簡(jiǎn)化后，X1(t)和X2(t)之間的耦合作用減弱了，系統(tǒng)可以解耦為角跟蹤系統(tǒng)和距離跟蹤系統(tǒng)2個(gè)分系統(tǒng)，增強(qiáng)了系統(tǒng)濾波的實(shí)時(shí)能力。

同樣可以得到角跟蹤和距離跟蹤的量測(cè)方程：

Z1=H1X1+V1

(25)

Z2=H2X2+V2

(26)

將上述各動(dòng)態(tài)模型子系統(tǒng)寫(xiě)成統(tǒng)一的形式進(jìn)行離散化。離散化時(shí)，設(shè)為均勻采樣。采樣周期為T(mén)，則可得到相應(yīng)的離散時(shí)間模型。

1)角跟蹤系統(tǒng)

(27)

(28)

其中：

2)距離速度跟蹤系統(tǒng)

(29)

(30)

線性濾波算法如式(31)～式(35)所示，分別為狀態(tài)一步預(yù)測(cè)，狀態(tài)估計(jì)，濾波增益，一步預(yù)測(cè)均方誤差和估計(jì)均方誤差:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

3.2 距離觀測(cè)缺失

在雷達(dá)距離門(mén)鎖定前或者彈目距離小于測(cè)量最低限時(shí)，觀測(cè)方程中將沒(méi)有距離信息，但與四維觀測(cè)皆有的情況類(lèi)似，其測(cè)量過(guò)程仍然可以分為角跟蹤回路和距離速度回路，相應(yīng)的角跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程和距離速度跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程與3.1相同，量測(cè)方程如下所示：

Z1=H1X1+V1

Z2=H2X2+V2

(36)

3.3 僅失調(diào)角可觀

當(dāng)僅有角度觀測(cè)時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)觀測(cè)方程沒(méi)有距離和速度信息，距離和速度回路的信息完全依靠濾波器的狀態(tài)估計(jì)產(chǎn)生，因此不能將系統(tǒng)繼續(xù)解耦，而需要用到9×9的狀態(tài)陣，將角度信息與距離速度信息耦合起來(lái)，通過(guò)角度信息修正距離和速度的估值。此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測(cè)方程如下所示：

(37)

Z=HX+V

(38)

濾波算法公式與3.1相同。

3.4 無(wú)觀測(cè)(遮擋)

系統(tǒng)無(wú)觀測(cè)信息時(shí)，要求濾波器能在短時(shí)間內(nèi)依據(jù)系統(tǒng)前期狀態(tài)實(shí)現(xiàn)向外遞推，得到合理的四維觀測(cè)信息估計(jì)值，用于在遮擋消除后重新捕獲目標(biāo)。此時(shí)濾波問(wèn)題轉(zhuǎn)化為預(yù)測(cè)問(wèn)題，系統(tǒng)中沒(méi)有了觀測(cè)方程組，依據(jù)卡爾曼濾波原理得到系統(tǒng)遞推公式如下：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

需要說(shuō)明：由于該公式是在前一次估計(jì)值基礎(chǔ)上進(jìn)行遞推，如果時(shí)間太長(zhǎng)會(huì)由于誤差積累導(dǎo)致濾波發(fā)散，即濾波值與真值出現(xiàn)較大偏差，數(shù)值仿真驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在大約4s后發(fā)生發(fā)散。

在各種觀測(cè)條件下濾波器都得到后，需要設(shè)計(jì)一套協(xié)調(diào)邏輯和數(shù)值的方法，保證各種模式下濾波器的光滑切換，本文采用了各種濾波模式共用狀態(tài)變量的方式實(shí)現(xiàn)濾波器切換。

4 仿真結(jié)果

實(shí)際交戰(zhàn)過(guò)程中由彈載計(jì)算機(jī)發(fā)出雷達(dá)開(kāi)機(jī)指令，雷達(dá)截獲目標(biāo)后，再向彈載計(jì)算機(jī)發(fā)送角度、速度和距離的可信標(biāo)志，并由此判斷采用哪種濾波模式。在測(cè)距模式啟動(dòng)之前，由于發(fā)射脈沖與回波脈沖之間的重疊問(wèn)題，可能導(dǎo)致雷達(dá)測(cè)量信息出現(xiàn)周期性遮擋，為了檢驗(yàn)濾波器在“真實(shí)”交戰(zhàn)過(guò)程中的表現(xiàn)，對(duì)標(biāo)稱(chēng)彈道以及極限彈道都進(jìn)行了雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)仿真測(cè)試。

4.1 標(biāo)稱(chēng)彈道測(cè)試

仿真條件：彈目相對(duì)而飛，彈目高度差約為2km。圖2給出了濾波器對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)值。在視線方向上的加速度由于有目標(biāo)相對(duì)速度修正，得到很好的估計(jì)，而垂直于目標(biāo)視線的加速度由于相對(duì)距離在分母中的影響，且是二次估計(jì)，其收斂速度相對(duì)較慢。圖3～圖5分別為失調(diào)角、相對(duì)距離、相對(duì)速度和視線角速率的仿真結(jié)果。在標(biāo)稱(chēng)交戰(zhàn)條件下濾波器能夠準(zhǔn)確的估計(jì)失調(diào)角信號(hào)，在角度回路實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤后，速度回路鎖定前，濾波器對(duì)目標(biāo)位置和速度的估計(jì)在可以接受范圍內(nèi)，速度并未發(fā)散，為速度通道截獲提供了參考信息。在速度通道截獲后，距離估計(jì)值進(jìn)一步收斂，直至距離截獲，遮擋效應(yīng)消失。

圖2 目標(biāo)加速度在地面坐標(biāo)系中的投影

圖3 失調(diào)角

圖4 相對(duì)距離與相對(duì)速度

圖5 視線角速率

4.2 極限彈道測(cè)試

為進(jìn)一步測(cè)試濾波器的適應(yīng)能力，以及分析遮擋對(duì)于濾波系統(tǒng)的影響，這里選取了一條極限彈道進(jìn)行跟蹤。仿真條件：彈目距離約50km，等高飛行，目標(biāo)速度約1Ma，目標(biāo)做加速度5g的盤(pán)旋。圖6～圖9是仿真結(jié)果。可以看到遮擋現(xiàn)象的出現(xiàn)，增加了目標(biāo)加速度估計(jì)的超調(diào)，增加了速度和距離的收斂時(shí)間，而對(duì)于整體的收斂性仍然可以保證，對(duì)于失調(diào)角的影響相對(duì)較小。

圖6 目標(biāo)加速度在地面坐標(biāo)系中的投影

圖7 失調(diào)角

圖8 相對(duì)距離與相對(duì)速度

圖9 視線角速率

4 結(jié)論

基于彈目運(yùn)動(dòng)學(xué)原理和目標(biāo)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，針對(duì)雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)建立了高機(jī)動(dòng)目標(biāo)探測(cè)的非線性系統(tǒng)模型，推導(dǎo)了彈載PD雷達(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)探測(cè)的濾波模型，對(duì)彈載PD雷達(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)探測(cè)的擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行了研究。所提出的方案：

1)能夠處理真實(shí)飛行中存在的部分信息缺失問(wèn)題，對(duì)于極端情況下的遮擋問(wèn)題也能在一定時(shí)間內(nèi)保證較高的跟蹤精度；

2)有利于彈載雷達(dá)根據(jù)估計(jì)信息驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)及生成距離門(mén)、速度門(mén)等，最終實(shí)現(xiàn)精確跟蹤鎖定目標(biāo)，產(chǎn)生合理的制導(dǎo)指令,并具有較高的可靠性和魯棒性。

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Tracking of Maneuvering Target Based on Extended Kalman Filter

ZHANG Rui SHI Linan

School of Astronautics, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China

Anon-linearsystemmodelisdevelopedforhighmaneuveringtargetdetection.TheextendedKalmanfilteralgorithmisintroducedforPulse Doppler (PD)radartoestimatetheoffsetanglesofpitchandazimuth,therelativevelocityofmissileandtarget,anddistanceinformationwhiledetectingmaneuveringtarget.Theaccelerationoftargetandangleofsightareobtainedbysystemmathematicmodel.Thetrackingsimulationsofnominaltrajectoryandextremetrajectoryshowthattheproposedsystemmodelandfilterdesignapproachcandealwithpartialinformationmissingproblemsintherealflightconditionandmaintaingoodtrackingprecisionforcertaintimeeveninextremeblockingsituation.

ExtendedKalmanfilter;Currentstatisticalmodel;Maneuveringtargettracking; Pulse Dopplerradar

*國(guó)家自然科學(xué)基金(61174221)

2011-11-23

張 蕊(1981-)，女，河南南陽(yáng)人，助理實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向?yàn)轱w行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制；史麗楠(1985-)，女，西安人，博士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器導(dǎo)航與控制。

TN953

A

1006-3242(2012)03-0012-07