◆馬廷強(qiáng) 曾憲祖 丁九桃 辛桂鳳

(云南經(jīng)濟(jì)管理職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部)

新編經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程教學(xué)定位改革探索

◆馬廷強(qiáng) 曾憲祖 丁九桃 辛桂鳳

(云南經(jīng)濟(jì)管理職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部)

一、課程教學(xué)原則

課程教學(xué)原則是“定位高職、注重直觀、弱化抽象、淡化技巧、強(qiáng)化應(yīng)用”;不僅強(qiáng)調(diào)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的職業(yè)性特點(diǎn)，而且關(guān)注經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的育人功能，有效解決課程學(xué)時(shí)少與學(xué)生生源多樣的問題。教學(xué)內(nèi)容的先進(jìn)性和教學(xué)方法的先進(jìn)性并行，探索和解決以下數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要矛盾:

1.課程學(xué)時(shí)少而教學(xué)內(nèi)容多。教師可根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)和生源的差異靈活組織教學(xué)。例如，布置課堂作業(yè)不必統(tǒng)一要求，可分為全班學(xué)生都要完成基本題和要求部分學(xué)有余力的同學(xué)完成的提高題，堅(jiān)持分層次教學(xué)。

2.注重教學(xué)方法而忽視學(xué)習(xí)方法。教師要靈活運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法、歸納法、啟發(fā)式等直觀的教學(xué)方法，特別注意發(fā)揮學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生的示范作用。對較難理解的內(nèi)容采用直觀易懂的講法，讓學(xué)生了解本質(zhì)、強(qiáng)化分類、簡單高效的掌握基本的計(jì)算方法(極限運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算、積分運(yùn)算)。

3.強(qiáng)調(diào)應(yīng)用價(jià)值而忽視育人功能。教師要展示數(shù)學(xué)知識(shí)的形成背景和對現(xiàn)實(shí)世界的影響，有利于發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的育人功能，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提升數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力。

二、數(shù)學(xué)文化教育素材和教學(xué)定位

數(shù)學(xué)的人文精神表現(xiàn)在:通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，培養(yǎng)堅(jiān)韌的意志和品質(zhì);樹立正確的人生觀，培養(yǎng)愛國情懷;理論聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)責(zé)任感;實(shí)踐獲真知，倡導(dǎo)追求真理的實(shí)踐精神。受過高等數(shù)學(xué)教育的人和沒有經(jīng)過這種教育的人的區(qū)別，在于前者在分析定量問題時(shí)，總是用一些數(shù)學(xué)理論作為參考系，從而保證了分析定量問題時(shí)的科學(xué)性、系統(tǒng)性和一致性;表達(dá)有條有理，簡明干練。既有人文素質(zhì)又有科學(xué)素質(zhì)的人，做什么工作都讓人覺得像模像樣。

1.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型——經(jīng)濟(jì)函數(shù)

函數(shù)(function)一詞最初由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲1692年開始使用，1859年清代李善蘭(浙江海寧人，近代著名的數(shù)學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)和植物學(xué)家，中國進(jìn)行微積分運(yùn)算第一人，稱他為中國近代科學(xué)的奠基人可謂名至實(shí)歸)第一次將“function”翻譯成“函數(shù)”。最常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其模型有:需求函數(shù)、供給函數(shù)、收益函數(shù)、總成本函數(shù)、平均成本函數(shù)、利潤函數(shù)、復(fù)利問題和貼現(xiàn)問題等。

學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)時(shí)，要注意它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。例如，類似于力學(xué)的均衡概念，分析通過市場讓需求函數(shù)和供給函數(shù)之間達(dá)到平衡，則得到市場均衡價(jià)格。價(jià)格函數(shù)是需求函數(shù)的反函數(shù)。收益函數(shù)主要由價(jià)格的變化而確定。利潤函數(shù)有三種情況，盈利、虧損和盈虧平衡(保本)。關(guān)于函數(shù)概念的理解，特別要認(rèn)識(shí)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確從外向內(nèi)的復(fù)合過程，并把復(fù)合函數(shù)分解為簡單函數(shù)的過程進(jìn)行到底。

2.無限變化的函數(shù)模型——極限與經(jīng)濟(jì)函數(shù)

微積分學(xué)的研究對象是變動(dòng)的量，注重變量的本質(zhì)和規(guī)律，這一點(diǎn)對研究經(jīng)濟(jì)變量非常重要。我們應(yīng)關(guān)注變量的變化過程，更應(yīng)從變量的變化過程中判斷它的變化趨勢。而要把握這兩個(gè)方面都需要借助極限的方法。極限的方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無限、從近似中認(rèn)識(shí)精確、從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的辯證思想和數(shù)學(xué)方法?！耙怀咧?，日取其半，萬世不竭”，出自于《莊子·天下篇》。這十二個(gè)子看似簡單，其中卻包含了豐富的內(nèi)容，它說明兩千多年前的莊子已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)到以0為極限的過程!當(dāng)然，它還說明古代中國已經(jīng)有了長度的度量單位和對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西提出了關(guān)于敘述極限的ε方法，用不等式刻畫整個(gè)極限過程，使無窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推導(dǎo)?？挛鞅蝗藗兎Q為近代微積分的奠基者。在此基礎(chǔ)上，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(1815～1897)完成了ε－δ方法，擺脫了對極限單純的運(yùn)動(dòng)和直觀的解釋。而微積分中的導(dǎo)數(shù)、定積分和級(jí)數(shù)等概念都是用極限來定義的。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的極限問題有連續(xù)復(fù)利、人口增長等。

學(xué)習(xí)極限首先要理解關(guān)于自變量變化趨勢的有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語精確與簡約的優(yōu)越性，沒有含糊不清或產(chǎn)生歧義的缺陷并清除了傳遞過程中的冗長信息;記住兩個(gè)重要極限公式;靈活掌握求極限的方法;注意判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性。

3.經(jīng)濟(jì)分析的基本工具——導(dǎo)數(shù)、微分

導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，它在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用。微分則指自變量有微小改變時(shí)，函數(shù)增量的主部是多少。17世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立地研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。牛頓從變速直線運(yùn)動(dòng)研究微積分(但嚴(yán)格的說，自然萬物都偏離了直線而以螺旋的形式旋轉(zhuǎn)，遺傳基因中DNA、攀援植物的卷須、河水的旋渦、龍卷風(fēng)、漩渦星云……世界就是一個(gè)漩渦，這是大自然醉人的腳步)。萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念，得出運(yùn)算法則(最漂亮的數(shù)學(xué)積分符號(hào)“∫”也是萊布尼茲發(fā)明的)，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。

微積分是繼歐幾里得幾何學(xué)之后，整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的最偉大的創(chuàng)造。正如馮·諾伊曼所言，“微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就，對它的重要性怎樣的估計(jì)都不過分”。特別是微積分基本定理，把微分和積分這兩個(gè)貌似無關(guān)的問題聯(lián)系在一起給微積分以特有的魅力，使得微分和積分成為一個(gè)整體，促進(jìn)一門嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科——微積分的形成。

微積分的奇妙使數(shù)學(xué)家產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心。好奇心是科學(xué)之母。沒有一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家不是對浩瀚的宇宙懷著極端的好奇心的人。但好奇心需要有支撐它的淵博的基礎(chǔ)科學(xué)修養(yǎng)和睿智高雅的判斷能力，需要有專心致志于一件有意味的研究的堅(jiān)韌毅力;不為偽科學(xué)和贗科學(xué)所迷惑，而沉浸于一種內(nèi)心寧靜和愉悅的思考之中。矢志不渝，積以年月，登上科學(xué)的崇高殿堂。

4.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用問題——邊際、彈性、最值

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際是與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)概念。邊際分析源于數(shù)學(xué)中的增量分析，它反映了經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的自變量發(fā)生微小變動(dòng)時(shí)，函數(shù)如何隨之變動(dòng)。邊際分析把導(dǎo)數(shù)引入了經(jīng)濟(jì)學(xué)，從此，許多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象開始由定性分析轉(zhuǎn)入了定量分析。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家非常重視“邊際分析方法”，把邊際分析方法的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用看成是一場“邊際革命”，自19世紀(jì)70年代“邊際革命”興起后，邊際概念(邊際成本、邊際收益、邊際利潤)和邊際分析法立刻廣泛傳播，并構(gòu)成西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要組成部分。

邊際分析中考慮的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)的絕對增量和絕對變化率，但在研究實(shí)際問題時(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。我們還有必要研究函數(shù)的相對增量和相對變化率，即需求彈性和收益彈性。彈性函數(shù)實(shí)質(zhì)上是邊際函數(shù)除以平均函數(shù)。

學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用時(shí)，要著重理解其經(jīng)濟(jì)涵義。例如，邊際利潤為零時(shí)，達(dá)到最大利潤。需求彈性表示需求量對價(jià)格變化的敏感程度。舉一個(gè)實(shí)例，生活必需品的價(jià)格變化對需求量影響較小，缺乏彈性。適當(dāng)提價(jià)后，需求量不會(huì)有太大的下降。學(xué)習(xí)最優(yōu)化問題時(shí)，要明確目標(biāo)函數(shù)，確定決策變量，這是解題的前提，往往不易掌握。

5.微分的逆運(yùn)算問題——不定積分

積分學(xué)的起源要比微分學(xué)早很多。自古以來，面積和體積的計(jì)算一直是數(shù)學(xué)家們所感興趣的問題。萊布尼茲將曲邊形看成無窮多個(gè)底邊為無窮小的矩形之和，從而導(dǎo)致了積分的產(chǎn)生。牛頓則從面積的變化率(即導(dǎo)數(shù))入手，通過求變化率的逆過程來計(jì)算面積，倆人都得到了積分計(jì)算法，又幾乎同時(shí)得出了不定積分與微分的互逆關(guān)系，提供了計(jì)算定積分的一般方法，由此創(chuàng)立了積分學(xué)。但是，他們的定積分概念缺少邏輯基礎(chǔ)，嚴(yán)格的定積分定義則是由19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家柯西和德國數(shù)學(xué)家黎曼建立的。

6.求總量或變化量的問題——定積分及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

不定積分是微分法運(yùn)算的一個(gè)側(cè)面，而定積分(和式的極限)則是它的另一個(gè)側(cè)面。不定積分和定積分既有區(qū)別，又有聯(lián)系。微積分的基本定理提供了計(jì)算定積分的一般方法，自此，定積分成為解決實(shí)際問題的有力工具。而原本各自獨(dú)立的微分學(xué)和積分學(xué)則緊密地聯(lián)系在一起，構(gòu)成了理論體系完整的微積分學(xué)。

定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用表現(xiàn)為邊際函數(shù)和經(jīng)濟(jì)函數(shù)之間的關(guān)系。例如，從邊際成本函數(shù)求出總成本函數(shù);從邊際收益函數(shù)求出收益函數(shù);從邊際利潤函數(shù)求出利潤函數(shù);資金流在連續(xù)復(fù)利計(jì)息下的現(xiàn)值與將來值;消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余;洛倫茲曲線與基尼系數(shù)等。

計(jì)算定積分的著眼點(diǎn)是算出數(shù)值。因此，除了利用牛頓－萊布尼茲公式計(jì)算定積分外，還要盡量利用定積分的幾何意義、求對稱區(qū)間上定積分時(shí)考慮被積函數(shù)的奇偶性。

7.偶然中的必然——隨機(jī)事件與概率

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯是這樣描述概率論的:“一門開始于研究賭博機(jī)會(huì)的科學(xué)，居然成了人類知識(shí)中最重要的學(xué)科，這無疑是令人驚訝的事情”。三四百年前，在歐洲許多國家盛行賭博之風(fēng)。參賭者將他們遇到的問題請教當(dāng)時(shí)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，但他沒有立即回答，而轉(zhuǎn)交給另一位法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問題開始了深入細(xì)致的研究。這些問題后來被來的巴黎的荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯獲悉?；氐胶商m后，他獨(dú)立地進(jìn)行研究。帕斯卡和費(fèi)馬一邊親自做賭博實(shí)驗(yàn)，一邊仔細(xì)分析計(jì)算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于建立了概率論的一個(gè)基本概念——數(shù)學(xué)期望。而惠更斯經(jīng)過多年潛心研究，寫成了《論擲骰子游戲中的計(jì)算》，迄今為止，這本書被認(rèn)為是概率論最早的專著?？梢哉f，早期概率論的創(chuàng)立者是帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯。這一時(shí)期主要研究各種古典概率。例如，購買彩票中獎(jiǎng)的可能性有多大?以某地體育彩票為例，經(jīng)計(jì)算，買一注彩票的中獎(jiǎng)概率為:

特等獎(jiǎng)——0.000001323，一等獎(jiǎng)——0.000006614，二等獎(jiǎng)——0.00006614，三等獎(jiǎng)——0.0005952，四等獎(jiǎng)——0.0041667，五等獎(jiǎng)——0.05556。

這就是說，每1000注彩票，約有55注中獎(jiǎng)(包括特等獎(jiǎng)到五等獎(jiǎng))。結(jié)論是，買彩票中大獎(jiǎng)的概率幾乎為零!

概率論有鮮明的直觀，懂得這一點(diǎn)，有利于理解與想象，為理論的理解和證明提供思路、模型和方法。例如，排列組合實(shí)際上是建立在加法原理和乘法原理之上，由此引發(fā)出貝努利大數(shù)定理(保證事件發(fā)生頻率的穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率)、中心極限定理(正態(tài)分布在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在，如一個(gè)地區(qū)的成年男子的身高、學(xué)生期末考試成績、測量誤差、海洋波浪的高度、半導(dǎo)體器件的熱噪聲電流或電壓等)。

8.隨機(jī)現(xiàn)象的函數(shù)化——隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)事件可以數(shù)量化，即產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念。引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)事件的研究便轉(zhuǎn)化為對隨機(jī)變量的研究，其本質(zhì)是為了借助微積分及測度來處理隨機(jī)現(xiàn)象。由此隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量的數(shù)值來表示，同時(shí)把隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，用隨機(jī)變量取某個(gè)值或取某個(gè)確定范圍內(nèi)的值的概率來確定。在概率論中借助變量的思想，引入隨機(jī)變量及其相關(guān)概念，使之逐漸成為描述隨機(jī)現(xiàn)象的主要工具?？梢哉f，隨機(jī)變量是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)變量以一定的概率取各種可能值，按其可能取值全體的性質(zhì)，可將隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩大類。常用離散型隨機(jī)變量的分布有伯努利分布、二項(xiàng)分布、泊松分布。常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布有均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。

隨機(jī)變量主要有兩個(gè)數(shù)字特征:一個(gè)是數(shù)學(xué)期望。引入隨機(jī)變量后，數(shù)學(xué)期望是概率加權(quán)平均，它反映隨機(jī)變量取值的“平均大小”;另一個(gè)是方差，它描述隨機(jī)變量取值的“分散”程度。

把樣本看成隨機(jī)變量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)基本觀點(diǎn)，由部分推斷總體是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)實(shí)際上是事件{ξ≦X}發(fā)生的頻率。實(shí)際推斷原理(小概率事件原理)貫穿于假設(shè)檢驗(yàn)的始終。未知參數(shù)的極大似然估計(jì)，就是使要在參數(shù)的可能取值中找出對試驗(yàn)結(jié)果最有利(出現(xiàn)的概率最大)的那個(gè)參數(shù)的取值。線性回歸中求回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)，其思想也是要使擬合直線最靠近試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)(擬合的偏差平方和達(dá)到最小)。

概率統(tǒng)計(jì)的理論與方法的應(yīng)用是很廣泛的，幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門中。直觀的說，衛(wèi)星上天、導(dǎo)彈巡航、飛機(jī)制造、人口普查、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞。例如，氣象預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品抽樣驗(yàn)收、機(jī)場跑道修建、在新產(chǎn)品研制中試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理、電子技術(shù)發(fā)展、在可靠性工程中元件或系統(tǒng)平均壽命估計(jì)、在自動(dòng)控制中數(shù)學(xué)模型建立、在通信工程中信號(hào)抗干擾性和分辨率的提高、通貨膨脹率估計(jì)、金融(保險(xiǎn)、證券)業(yè)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測與防范等等都是跟概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)密不可分的。

9.矩陣和線性方程組的內(nèi)容可用“線性方程組為體，矩陣?yán)碚摓橛谩眮砀爬ā＜匆跃仃嚍楣ぞ哐芯烤€性方程組，把線性方程組的問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題，再用矩陣運(yùn)算和理論加以解決，最后得出線性方程組的結(jié)果。矩陣的性質(zhì)是在行列式的發(fā)展中建立起來的。矩陣和行列式的緊湊表達(dá)式和簡化記法是深?yuàn)W理論的源泉，充分體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)好的數(shù)學(xué)語言的優(yōu)越性!

本章在教法上不僅要將知識(shí)灌輸給學(xué)生，更要引導(dǎo)學(xué)生重新經(jīng)歷一次發(fā)現(xiàn)利用這些知識(shí)用來解決問題的過程。例如以線性方程組方程的個(gè)數(shù)與解集之間的關(guān)系為線索，引出相關(guān)的知識(shí)，體會(huì)前人探究這些知識(shí)的原創(chuàng)性的想法和實(shí)質(zhì)。

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