☉浙江寧波市北侖區(qū)梅山中學 王 浩

開放探究型問題具有較強的綜合性與創(chuàng)造性，既能考查同學們對基礎知識的掌握，又能反映同學們對知識內(nèi)容的拓展、聯(lián)想應用能力和開發(fā)創(chuàng)造能力，培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維能力和空間想象能力，同時體現(xiàn)了同學們學習的自主性，成為考試中的熱點內(nèi)容.筆者對開放性問題的幾種類型做了一個歸納，希望能給同學們的學習帶來幫助.

一、條件開放探究類型

條件開放類問題一般給出部分條件和結(jié)論，添加適當條件可以推論出結(jié)論.要求同學們能全面理解題目的知識背景，探究結(jié)論成立的條件，往往滿足的條件不唯一.

例1 如圖1，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D.下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有__________（多選、錯選不得分）.

點評：條件開放探究型問題一般難度不大，但有一定開放度，所以在探究結(jié)論成立的條件時，答案可能不唯一，思維的方向是多角度的.本題中是從直角三角形的定義、勾股定理的逆定理和相似三角形性質(zhì)三個角度來進行設計問題，這樣的問題可以培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維能力和綜合應用知識的能力.

二、結(jié)論開放探究類型

結(jié)論開放探究類型問題特點是題設中給出全部條件，要求同學們能分析條件并探究由所給條件猜想出可以得出哪些結(jié)論，并證明所猜想的結(jié)論是否正確.由于所要證明的目標不明確，要求同學們具有綜合分析判斷能力和科學的推斷論證能力.

例2 已知：如圖2，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF.

（1）求證：BE=DF.

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM、FM.判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論.

分析：問題（1）中，可通過Rt△ABE與Rt△ADF全等證明BE＝DF；在問題（2）中，根據(jù)條件和正方形的性質(zhì)，可以得到OE=OF，OA=OM，所以四邊形AEMF是平行四邊形.又AE=AF，可根據(jù)菱形的判定得出四邊形AEMF是菱形.

解：（1）因四邊形ABCD是正方形，則AB＝AD，∠B=∠D=90°.

因AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF，所以BE＝DF.

（2）因四邊形ABCD是正方形，

則∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC.

因BE＝DF，所以BC-BE=DC-DF，即CE=CF.則OE=OF.

因OM=OA，所以四邊形AEMF是平行四邊形.

因AE=AF，所以平行四邊形AEMF是菱形.

點評：結(jié)論開放類型問題探究問題的目標不具體，要求同學們能結(jié)合條件作出科學的猜想和論證.本題問題（2）中以正方形圖形為知識載體創(chuàng)設問題探究環(huán)境，猜想的過程中也是論證與推理的統(tǒng)一過程.從圖形中不難發(fā)現(xiàn)四邊形AEMF是菱形，接下來要聯(lián)系條件與第（1）問題結(jié)論進行論證.

三、條件與結(jié)論全開放探究類型

一個問題中條件與結(jié)論同時開放時，問題的開放度較大，對同學們能力水平要求較高，能從所給選項中組織條件，創(chuàng)設問題并能解決問題.

例3 如圖3，點D，E在△ABC的邊BC上，連接AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三個等式中的兩個作為命題的題設，另一個作為命題的結(jié)論，構(gòu)造三個命題，并回答下列問題：

（1）構(gòu)造的命題是（用序號表示）______；

（2）以上三個命題是真命題的為

（直接作答）__________；

（3）請選擇一個真命題進行證明

（先寫出所選命題，然后證明）.

分析：本題中有三個選項，由其中兩個作為條件.第三個作為結(jié)論，共有3種組合方法，即（1）①②?③；①③?②；②③?①；所組合的三個命題都是真命題.在命題（1）中，條件是AB=AC，AD=AE，說明△ABC，△ADE都是等腰三角形，可以通過證明△ABD，△ACE全等，得到BD=CE；在命題（2）中，條件是AB=AC，BD=CE，所以△ABC是等腰三角形，所以有∠B=∠C，可證明△ABD，△ACE全等得到AD=AE；在命題（3）中，條件是AD=AE，BD=CE，所以有∠ADB=∠AEC，所以△ADB≌△AEC，可證AB=AC.

解：（1）①②?③；①③?②；②③?①；

（2）（1）①②?③；①③?②；②③?①；

（3）證明命題（1）.

因AB=AC，則∠ABC=∠ACB.

因AD=AE，則∠ADC=∠AEB，則∠ADB=∠AEC.

在△ABD與△ACE中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，∠ADB=∠AEC，則△ABD≌△ACE，則BD=CE.

點評：條件與結(jié)論同時開放問題的開放度較大，要求同學們能對所有的選項進行組合，構(gòu)建問題并能推理認證.本問題中，主要依據(jù)三角形的全等來證明線段的相等，不同的構(gòu)造方法證明方法也不一致，所構(gòu)造的三個命題全是真命題.

開放探究型問題題型設計靈活，問題所涉及知識面廣，要求同學們具有較強的解題能力和思維能力，所以此類題目已成為近年來中考試題的熱點題.