☉江蘇省贛榆縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高 穩(wěn)

數(shù)學(xué)學(xué)科中如何靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法解題

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數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀事物的一種認(rèn)識(shí)，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，其認(rèn)識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程遵循實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐的認(rèn)識(shí)路線.但是，數(shù)學(xué)對(duì)象（量）的特殊性和抽象性，又產(chǎn)生與其他科學(xué)不同的、特有的認(rèn)識(shí)方法和理論形式.由此產(chǎn)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的特有問(wèn)題.數(shù)學(xué)知識(shí)由經(jīng)驗(yàn)知識(shí)形態(tài)上升為理論形態(tài)后，數(shù)學(xué)家又把它應(yīng)用于實(shí)踐，解決實(shí)踐中的問(wèn)題，在應(yīng)用中檢驗(yàn)理論自身的真理性，并且加以完善和發(fā)展.

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要能夠靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法，并且在學(xué)習(xí)和探究過(guò)程中，要善于歸納總結(jié)，并且還要有所創(chuàng)新.著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題.”數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過(guò)程.

一、轉(zhuǎn)化思想

我們?cè)诮忸}中的困難，一般來(lái)說(shuō)，都是或由于這個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜，或由于這個(gè)問(wèn)題不太熟悉.當(dāng)你遇到較復(fù)雜或者你從未見(jiàn)過(guò)的一些題目時(shí)，一定別害怕，仔細(xì)分析，往往能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成另一種你所熟知的問(wèn)題，變換其敘述的方式，或改變思考的角度，或把它轉(zhuǎn)化成另一種你所熟悉的問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決，這種思考方法，我們稱之為轉(zhuǎn)化思想.

分析：先解方程組求x、y（用含m的代數(shù)式表示），再根據(jù)－1＜x－y≤2建立關(guān)于m的不等式，求其解集.

點(diǎn)撥：解不等式（組）的依據(jù)是不等式的性質(zhì)1、2，另外，要注意不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化.

二、數(shù)形結(jié)合思想

就是通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.所謂“數(shù)”，就是指數(shù)或式，所謂“形”，就是指圖形或圖像.“數(shù)”與“形”之間互相依存，對(duì)應(yīng)：“數(shù)”是“形”的抽象和概括，“形”是“數(shù)”的幾何表現(xiàn).同時(shí)，在一定的條件下，它們又可以互相轉(zhuǎn)化：“數(shù)”借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念和數(shù)量關(guān)系直接化、形象化、簡(jiǎn)單化，而“形”的問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)量化處理，并借助于計(jì)算，可以使較深的問(wèn)題歸結(jié)為較容易處理的數(shù)量關(guān)系來(lái)研究.

例2 實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖1所示，則一定有（ ）.

圖1

答案：D.

點(diǎn)撥：正確地從數(shù)軸上獲取實(shí)數(shù)a、b的大小范圍是解題的關(guān)鍵.

三、類比思想

分析：可先求出不等式組的解集，再由x=1是不等式的解，利用不等式組的解的定義，列出關(guān)于a的不等式組求解.還可以根據(jù)不等式組解的意義，類比方程解的意義，直接將x=1代入不等式組中，直接求解關(guān)于a的不等式組.

因?yàn)閤=1是原不等式組的解，即不等式組有解，所以－6a－3＜x≤－2a+5.

點(diǎn)撥：通過(guò)類比不僅可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，還有助于利用已有知識(shí)去認(rèn)識(shí)并加深理解新知識(shí).

四、數(shù)學(xué)建模思想

近幾年來(lái)中考中常出現(xiàn)與“日常生活”有關(guān)的決策及最佳答案選擇性試題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，建立與其相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模型”——不等式（組）的相關(guān)知識(shí)，確定問(wèn)題的答案.

例4 某航空公司規(guī)定：旅客可隨身帶一定重量的行李，如果超過(guò)規(guī)定的重量，那么需要購(gòu)買行李票，行李票費(fèi)用y（元）是行李重量x（kg）的一次函數(shù)，其圖像如圖2所示.

圖2

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的重量.

（3）某旅游團(tuán)的旅客所買的行李票的費(fèi)用在4至15元之間，求旅客所帶行李重量的范圍.

分析：先觀察函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)哪些特殊的點(diǎn)，然后設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，聯(lián)立方程組求出k、b的值.

解：（1）觀察函數(shù)圖像可知，直線經(jīng)過(guò)（40，6）和（60，10）兩點(diǎn).

解得k=0.2，b=－2，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0.2x－2.

（2）由 y=0，得 x=10.

所以旅客最多可免費(fèi)攜帶行李10kg.

所以旅客所帶行李的重量范圍是30～85kg.

點(diǎn)撥：“三個(gè)一次”之間有著密切的聯(lián)系，由一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)列方程組可得到一次函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)構(gòu)建不等式組又可以求出所帶行李重量的范圍.總之，通過(guò)建立函數(shù)、方程、不等式（組）等數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題是非常重要的，在今后的學(xué)習(xí)中一定要掌握其要領(lǐng).