☉吳東武

等差數(shù)列項數(shù)N的計算

☉吳東武

吳東武 男，廣東省五華縣人.1966年畢業(yè)于華南工學院化工系無機物工學專業(yè).廣州石油化工總廠退休高級工程師，曾從事化工工藝及化工設備技術工作.

前言

等差數(shù)列n項和公式Sn，是德國數(shù)學家C.F.高斯少年時發(fā)現(xiàn)的，此公式人們已經(jīng)學習了200多年.直至今日，全世界中學數(shù)學只教C.F.高斯的等差數(shù)列n項和Sn，學生只會計算整數(shù)的項數(shù)n，而不會計算帶小數(shù)的項數(shù)N.我們的化工專家學者面對等差數(shù)列前N項和SN，同樣也不會計算帶小數(shù)的項數(shù)N，只好按自己的思維習慣，建立接近實際的計算公式，以解決設計、計算之需.

在上世紀30年代，傳熱工程出現(xiàn)了一種高效換熱設備——螺旋板換熱器（如右圖），它是由兩張厚度為δ的平行鋼板卷成，有兩條寬度（板間距）為b1和b2的螺旋通道，分別與中央直徑為d11與d21的空心半圓柱相通，d11=d21+b1－b2，冷熱介質在各自的通道中流動換熱，廣泛應用于化學工業(yè)、制藥和食品等領域.螺旋板由里往外各圈長度組成一個等差數(shù)列，在螺線長度即等差數(shù)列n項和Sn計算中，螺旋圈數(shù)即數(shù)列的項數(shù)

式中的n必須是整數(shù).但是，在設備設計和實際計算中，往往需要用螺旋通道的長度L準確計算帶小數(shù)的螺旋通道圈數(shù)N，準確計算公式是怎樣的？

等差數(shù)列N項和

在公式導出前，我們先來看看螺旋板長的等差數(shù)列是怎樣形成的.

螺旋板換熱器的卷板過程：當兩根不同直徑（d11和d21）的半圓柱狀的卷輥牢固夾住隔板時，啟動卷床，卷輥轉動，卷板過程開始.對螺旋板長度而言，長度是從零開始由小至大的過程，是一個程積分過程，也是等差數(shù)列的形成過程.首圈長度從0開始，慢慢增長至第一圈長度a1，又從0開始再慢慢增長至第二圈長度a2，…，如此增長至an，此時，由各圈長度構成的等差數(shù)列為

式中a1為等差數(shù)列首項，an為整數(shù)項，d為公差.

當螺旋板長度增至an后，又繼續(xù)從0慢慢增長至aN而未到a（n+1），卷床停止.此時，螺旋板圈數(shù)由第一圈，第二圈，…，第n圈直至第N圈而未到第（n+1）圈，各圈長度構成的等差數(shù)列為

等差數(shù)列N項和

式中n為正整數(shù)，0≤n0＜1，aN為帶小數(shù)項.aN在螺旋板換熱器中的幾何意義是不足一圈的螺線長度.

當n0≠0時，等差數(shù)列項數(shù)N通過下述方法計算：

式中n是整數(shù)，0≤n0di＜1.以式④中的整數(shù)n代入③式，計得n0，項數(shù)N=n+n0.

我們依據(jù)等差數(shù)列N項和公式③，可以找出螺旋板換熱器螺旋通道長度計算公式：

式中n是整數(shù)，0≤n0di＜1.以式⑥中的整數(shù)n代入⑤式，計得n0，項數(shù)N=n+n0.

公式⑤在特定條件n0=0，b=b1=b2，t=2（b+δ），d=d21下，變?yōu)?/p>

也有文獻［1］采用公式⑦計算螺旋通道圈數(shù)N.

當n0=0時，N=n，公式⑤的螺旋通道圈數(shù)

以前，多數(shù)文獻［2］［3］［4］［5］采用下列公式計算螺旋通道圈數(shù)N，其首先使用者是日本學者［6］.

同樣是不可取.

計算實例（選自參考文獻）

設計一臺將3000kg/h的煤油從140℃冷卻至40℃螺旋板換熱器，冷卻水入口溫度為30℃，冷卻水量為15m3/h.

由傳熱計算得到傳熱面積A=7.15m2，其中，螺旋板寬H=0.3m，螺旋板2初始內徑d21=0.110m，板厚δ=0.0023m，螺旋通道寬b1=0.0093m，b2=0.0042m.

計算螺旋通道圈數(shù)N.

解：因為二螺旋通道初始直徑df1相等，二通道長度L相等.螺旋通道長度

結論：通過對等差數(shù)列的形成過程分析和實例計算可以看出，等差數(shù)列n項和Sn是神圣的自然規(guī)律，不能更改.Sn是基礎，公式③④是由SN計算等差數(shù)列項數(shù)N的完整而準確的方法，公式⑤⑥是螺旋板換熱器由螺旋通道長度L計算螺旋通道圈數(shù)N實用、準確的方法，不論N是整數(shù)還是帶小數(shù).

1.王松漢.石油化工設計手冊.北京：化學工業(yè)出版社，2002.

2.尾花英朗(日).熱交換器設計手冊.徐中權.北京∶石油工業(yè)出版社，1982.

3.毛希瀾.換熱器設計.上海：上?？茖W技術出版社,1988.

4.時鈞，汪家鼎，余國琮，等.化學工程手冊.北京：化學工業(yè)出版社，1996.

5.余國琮.化工機械工程手冊.北京：化學工業(yè)出版社，2003.

6.化學裝置編輯部.螺旋板式熱交換器的設計［J］.化學裝置（日本），1966，8（7）：43－49.

7.錢頌文.換熱器設計手冊.北京：化學工業(yè)出版社，2002.

8.董其伍，張垚，等.換熱器.北京：化學工業(yè)出版社，2009.