操江濤，汪興上

（1.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000；2.安徽中醫(yī)藥高等專科學(xué)校學(xué)生處，安徽蕪湖241000）

關(guān)于四元射影空間中的全實(shí)偽臍子流形

操江濤1，2，汪興上1

（1.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000；2.安徽中醫(yī)藥高等?？茖W(xué)校學(xué)生處，安徽蕪湖241000）

研究了四元射影空間QPnc中全實(shí)偽臍子流形問題，利用活動標(biāo)架法獲得了這類子流形推廣的Simons型積分不等式及成為全測地子流形的剛性定理.

四元射影空間；偽臍子流形；全測地子流形

0 引 言

四元射影空間QPnc是四元截面曲率c＞0的空間形式，V是它的四元結(jié)構(gòu)，M是等距浸入到QPnc的m維黎曼流形.筆者用Ts（M）和T⊥s（M）分別表示M在x點(diǎn)的切空間和法空間，x∈M；如果對于任意的φ∈V和任意的x∈M，均有φTs（M）?T⊥s（M），則稱M是QPnc的全實(shí)子流形.

Shen Yibing和瞿成勤在文［1－2］中討論了四元射影空間QPnc中的全實(shí)極小子流形.B.Y.Chen和C.S.Houh在文［3］中討論了四元射影空間QPnc中的全實(shí)子流形.對于復(fù)射影空間中的全實(shí)偽臍子流形，已經(jīng)有許多結(jié)果［4－5］.筆者將外圍空間推廣到四元射影空間，利用活動標(biāo)架法對四元射影空間QPnc中全實(shí)偽臍子流形進(jìn)行了研究，得到如下定理：

定理1 設(shè)Mn是四元射影空間QPnc中n維緊致全實(shí)偽臍緊致子流形，S為Mn的第二基本形式模長的平方，則有如下積分不等式：

其中QPnc是具有四元截面曲率c＞0的4n維四元射影空間.

定理2 設(shè)Mn是四元射影空間QPnc中n維具有平行平均曲率向量緊致全實(shí)子流形，S為Mn的第二基本形式模長的平方，則有如下積分不等式：

其中QPnc是具有四元截面曲率c＞0的4n維四元射影空間.

注 因?yàn)镸n是QPnc中具有平行平均曲率向量全實(shí)子流形，則平均曲率H＝C為常數(shù).由此得如下推論：

推論1 設(shè)Mn是具有全純截面曲率c的四元射影空間QPnc中具有平行平均曲率向量緊致全實(shí)子流形，若其第二基本形式模長的平方S滿足則Mn為全實(shí)全測地子流形.

1 預(yù)備知識

設(shè)N是4n維的四元Kaehler流形，其殆四元數(shù)結(jié)構(gòu)I，J，K滿足

其中Id表示（1，1）型張量場.本文約定各類指標(biāo)的取值范圍如下：

并且不特別說明∑號是對重復(fù)指標(biāo)在相應(yīng)范圍內(nèi)的求和.選取QPnc中的局部正交標(biāo)架場e1，…，en，eI（1）＝Ie1，…，eI（n）＝Ien，eJ（1）＝Je1，…，eJ（n）＝Jen，eK（1）＝Ke1，…，eK（n）＝Ken，使得限制到Mn上時｛ei｝與Mn相切.在此標(biāo)架下，I，J，K有如下形式：

2 定理的證明

以下假設(shè)Mn是四元數(shù)射影空間QPnc中的偽臍全實(shí)子流形.

定理1的證明 顯然

參考文獻(xiàn)：

［1］Shen Yibing.Totally real minimal submanifolds in a quaternionic projective space［J］.Chin Ann Math，1993，14B（3）：297－306.

［2］瞿成勤.四元數(shù)射影空間QPnc中全實(shí)極小子流形［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，1997，14（2）：32－38.

［3］Chen B Y，Hough C S.Totally real submanifolds of quaternionic projective space［J］.Anna Math Pura ed Appl，1979，120（1）：185－199.

［4］Zhang Liang.On Totally real pseudo－umbilical submanifolds in a complex projective space［J］.Journal of Mathematical Research and Exposition，2008，28（2）：421－428.

［5］Liu Min，Song Weidong.On Complete totally real Pseudo－umbilical submanifolds in a complex projective space［J］.Journal of Mathematical Research and Exposition，2011，31（5）：946－950.

On Totally Real Pseudo－Umibilical Submanifolds in a Quaternionic Projective Space

CAO Jiang－tao1，2，WANG Xing－shang1
（1.School of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China；2.Student Affairs Office，Anhui College of Traditional Chinese Medicine，Wuhu 241000，China）

This paper researched on the totally real pseudo－umibilical submanifolds in a quaternionic projective space，obtained a promotion of Simons'type integral inequality of compact submanifolds as well as the rigidity theorem to be the totally geodesic submanifolds by means of moving frames.

quaternionic projective space；pseudo－umibilical submanifolds；totally g eodesic submanifold

O186.16 MSC2010：53C20

A

1674－232X（2012）03－0237－04

10.3969／j.issn.1674－232X.2012.03.009

2011－11－17

安徽省高等學(xué)校優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（2011SQRL021ZD）.

操江濤（1980—），男，碩士，主要從事微分幾何研究.E－mail：wxshangsd＠163.com