宋傳靜，吳健榮

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215011）

兩族非自映射的不動(dòng)點(diǎn)收斂定理

宋傳靜，吳健榮＊

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215011）

研究一致凸Banach空間中兩映射族的公共不動(dòng)點(diǎn)逼近問(wèn)題.構(gòu)造關(guān)于非擴(kuò)張非自映射族和漸近非擴(kuò)張非自映射族的有限步迭代序列，并在適當(dāng)條件下證明該序列收斂到公共不動(dòng)點(diǎn)的一些強(qiáng)弱收斂定理，改進(jìn)和推廣了一些相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.

一致凸Banach空間；非擴(kuò)張非自映射；漸近非擴(kuò)張非自映射；有限步迭代序列；公共不動(dòng)點(diǎn)

設(shè)D是實(shí)賦范線性空間E的非空閉凸子集，如果對(duì)任意的x，y∈D都有‖Tx－Ty‖≤‖xy‖，則稱(chēng)映射T：D→D為非擴(kuò)張的；如果存在數(shù)列｛hn｝滿足｛hn｝［1，＋∞），limn→∞hn＝1，使得‖Tnx－Tny‖≤hn‖x－y‖，x，y∈D，n≥1，則稱(chēng)映射T：D→D為漸近非擴(kuò)張的.非擴(kuò)張及漸近非擴(kuò)張自映射的不動(dòng)點(diǎn)定理已有諸多研究報(bào)道［1－7］，一些作者對(duì)非擴(kuò)張非自映射在Banach空間中的收斂定理也有所探討［8］.如果對(duì)任意的x，y∈D有‖Tx－Ty‖≤‖x－y‖，則稱(chēng)映射T：D→E為非擴(kuò)張非自映射，顯然非擴(kuò)張自映射是它的一個(gè)特例.最近，SITTHIKUL和SAEJUNG［3］研究了非擴(kuò)張映射族和漸近非擴(kuò)張映射族的有限步迭代序列，并在一致凸Banach空間中給出該序列的強(qiáng)弱收斂定理.作為漸近非擴(kuò)張映射的一種推廣，漸近非擴(kuò)張非自映射是2003年由CHIDUME等［9］引進(jìn)的，他們通過(guò)研究迭代序列x1∈D，xn＋1＝P（（1－αn）xn＋αnT（PT）n－1xn），得到關(guān)于漸近非擴(kuò)張非自映射的強(qiáng)弱收斂定理.2006年，WANG［10］又將該序列進(jìn)行了推廣.受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，在本文中，筆者引進(jìn)并研究了一個(gè)不同的迭代序列，其定義如下.設(shè)D是凸Banach空間E的非空凸子集，P：E→D是E到D上的非擴(kuò)張收縮映射，Si：D→E，Ti：D→E（i＝1，2，…，N）是給定的映射，那么迭代序列｛xn｝定義為

1 預(yù)備知識(shí)

除非特別說(shuō)明，本文中E總是表示實(shí)Banach空間，D是E的非空子集，T：D→E是一個(gè)非自映射，F(xiàn)（T）是T的不動(dòng)點(diǎn)集合；E＊是E的對(duì)偶空間，J：E→2E＊稱(chēng)為正規(guī)對(duì)偶映射且定義為J（x）＝｛f∈E＊：〈x，f〉＝‖x‖‖f‖，‖f‖＝‖x‖｝，x∈E，其中〈·，·〉表示E和E＊之間的對(duì)偶對(duì)，j表示單值的正規(guī)對(duì)偶映射.

如果對(duì)所有的x∈U＝｛x∈E：‖x‖＝1｝，limt→0t－1（‖x＋ty‖－‖x‖）存在且對(duì)y∈U一致成立，則Banach空間稱(chēng)為具有Fréchet可微范數(shù).［2］434此時(shí)，存在一增函數(shù)b：［0，∞）→［0，∞）滿足limt→0＋b（t）／t＝0，使得‖x‖2／2＋〈h，j（x）〉≤‖x＋h‖2／2≤‖x‖2／2＋〈h，j（x）〉＋b（‖h‖），x，h∈E.

Banach空間稱(chēng)為具有Kadec－Klee性質(zhì)［8］1033，是指對(duì)于E中的每一個(gè)序列｛xn｝，xn弱收斂到x且‖xn‖→‖x‖，則可得xn強(qiáng)收斂到x.如果存在連續(xù)映射P：E→D使得對(duì)所有的x∈D，都有Px＝x，則E的子集D稱(chēng)為收縮核.一致凸Banach空間的每一個(gè)閉凸子集都是一個(gè)收縮核.如果P2＝P，則映射P：E→D稱(chēng)為收縮映射；因此，如果P是一個(gè)收縮映射，則對(duì)P值域中的每一點(diǎn)z∈R（P），都有Pz＝z.

命題1.1 設(shè)D是實(shí)凸Banach空間E的非空凸子集，Ti：D→E（i＝1，2，…，N）是N個(gè)漸近非擴(kuò)張非自映射，則存在數(shù)列｛hn｝［1，＋∞），＝1，使得對(duì)所有的i＝1，2，…，N，n≥1，x，y∈D，‖x－y‖≤hn‖x－y‖.

引理1.1［4］235設(shè)｛，｛un｝n∞＝1是非負(fù)實(shí)數(shù)列，滿足an＋1≤（1＋un）an，n≥1.如果＜∞，則limn→∞an存在；如果lim infn→∞an＝0，則limn→∞an＝0.

引理1.2［3］141設(shè)E是一致凸Banach空間，｛xn｝E，｛yn｝E，tn∈［δ，1－δ］（n≥1），δ∈（0，1）.如果條件lim supn→∞‖xn‖≤a，lim supn→∞‖yn‖≤a，limn→∞‖tnxn＋（1－tn）yn‖＝a成立，則limn→∞‖xn－yn‖＝0，limn→∞‖xn‖＝limn→∞‖yn‖＝a，其中a≥0為常數(shù).

引理1.3［9］368設(shè)D是一致凸Banach空間E的非空閉凸子集，T：D→E是滿足F（T）≠的漸近非擴(kuò)張非自映射，則I－T在零點(diǎn)是半閉的.

引理1.4［3］142設(shè)E是使得其對(duì)偶空間E＊具有Kadec－Klee性質(zhì)的實(shí)自反Banach空間，｛xn｝是E中的有界序列，p，q∈Ww（xn）（其中Ww（xn）表示｛xn｝的子序列的弱收斂點(diǎn)集合），如果對(duì)所有的t∈［0，1］，limn→∞‖txn＋（1－t）p－q‖都存在，則p＝q.

2 強(qiáng)收斂定理

故limn→∞‖－p‖＝d.

再在（2.1）式中取i＝N－1，如上可得limn→∞‖SN－1xn－TN－1（PTN－1‖＝0.如此下去，有

引理2.3 在引理2.2的假設(shè)下，如果對(duì)所有的x，y∈D和i∈｛1，2，…，N｝，都有‖x－Tiy‖≤‖Six－Tiy‖，則limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝.

證明 由假設(shè)可得0≤‖xn－Ti（PTi）‖≤‖Sixn－Ti（PTi）‖.再由（2.2）式可得

因?yàn)椤瑇n－Sixn‖≤‖xn－Ti（PTi）‖＋‖Ti（P－Sixn‖，故由（2.2）和（2.3）式可得

當(dāng)i＝1時(shí)，limn→∞‖－xn‖＝0顯然成立；于是，

所以由（2.3），（2.5），（2.6）式和‖xn－Ti（PTi）n－1xn‖≤‖xn－Ti（PTi‖＋hn‖－xn‖，‖xn－Tixn‖≤‖xn－xn＋1‖＋‖xn＋1－Ti（PTi）‖＋hn＋1‖xn－xn＋1‖＋h1·‖Ti（PTi）n－1xn－xn‖，可得limn→∞‖xn－Tixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝.

定理2.1 在引理2.1的假設(shè)下，序列｛xn｝收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)lim infn→∞d（xn，F(xiàn)）＝0，其中d（xn，F(xiàn)）＝inf｛‖xn－p‖：p∈F｝.

證明 必要性顯然，只須證明充分性.由引理2.1的證明知‖xn＋1－p‖≤（1＋αn）‖xn－p‖，兩邊對(duì)所有的p∈F取下確界可得d（xn＋1，F(xiàn)）≤（1＋αn）d（xn，F(xiàn)）；又由題設(shè)知lim infn→∞d（xn，F(xiàn)）＝0，故由引理1.1可得limn→∞d（xn，F(xiàn)）＝0.其余證明參考文獻(xiàn)［5］1316中定理2.1的證明.

定理2.2 在引理2.3的假設(shè)下，如果有一個(gè)Ti或Si（1≤i≤N）和s＞0使得‖（I－Ti）x‖≥sd（x，F(xiàn)）或‖（I－Si）x‖≥sd（x，F(xiàn)），x∈D，則序列｛xn｝強(qiáng)收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 由引理2.3知當(dāng)n→∞時(shí)，i∈｛1，2，…，N｝，‖（I－Ti）xn‖→0，‖（I－Si）xn‖→0，則對(duì)某個(gè)常數(shù)s＞0，有l(wèi)imn→∞sd（xn，F(xiàn)）＝0，故由定理2.1可知此定理得證.

如果存在不減函數(shù)f：［0，＋∞）→［0，＋∞）滿足f（0）＝0，對(duì)所有的r∈（0，＋∞），f（r）＞0，使得對(duì)所有的x∈D，max1≤l≤N｛‖x－Tlx‖｝≥f（d（x，F(xiàn)）），則｛Tl：l＝1，2，…，N｝：D→D，其中F＝F（Tl）≠，被稱(chēng)為滿足條件（B）.［6］1153

定理2.3 在引理2.3的假設(shè)下，如果｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝滿足條件（B），則｛xn｝強(qiáng)收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝；因此，max1≤l≤N｛‖xn－Tixn‖，‖xn－Sixn‖｝→0（n→∞）.又由引理2.1知limn→∞d（xn，F(xiàn)）存在，故limn→∞d（xn，F(xiàn)）＝0，于是由定理2.1知此定理得證.

映射T：D→D是半緊的［7］380，是指對(duì)任意滿足‖xn－Txn‖→0（n→∞）的有界序列｛xn｝D，都存在一子序列｛｝｛xn｝，使得→x＊∈D.

定理2.4 在引理2.3的假設(shè)下，如果存在一個(gè)Ti或Si（1≤i≤N）是半緊的，則｛xn｝強(qiáng)收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 不妨設(shè)T1是半緊的.由引理2.1知｛xn｝是有界的，由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝；因此，存在子序列｛｝｛xn｝使得→x＊∈D；故i∈｛1，2，…，N｝，有‖x＊－Tix＊‖＝limj→∞‖－‖＝0，‖x＊－Six＊‖＝limj→∞‖xnj－‖＝0；于是，x＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））；所以，lim infn→∞d（xn，F(xiàn)）≤lim infj→∞d（，F(xiàn)）≤limj→∞‖－x＊‖＝0.由定理2.1知此定理得證.

定理2.5 在引理2.3的假設(shè)下，如果存在一個(gè)Ti或Si（1≤i≤N）是全連續(xù)的，則｛xn｝強(qiáng)收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 不妨設(shè)T1是全連續(xù)的.由引理2.1知｛xn｝是有界的，故存在｛T1xn｝的子序列｛｝使得→p＊（k→∞）.又由引理2.3知limk→∞‖xnk－Tixnk‖＝limk→∞‖xnk－Sixnk‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝；因此，‖－p＊‖≤‖xnk－‖＋‖－p＊‖→0（k→∞），且i∈｛1，2，…，N｝，有‖－p＊‖＝limk→∞‖Tixnk－xnk‖＝0，‖Sip＊－p＊‖＝limk→∞‖Sixnk－xnk‖＝0，所以p＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.又由引理2.1知limn→∞‖xn－p＊‖存在，故limn→∞‖xnp＊‖＝0.定理證畢.

3 弱收斂定理

Banach空間滿足Opial’s條件［5］1312，是指對(duì)任意序列｛xn｝E，如果xn弱收斂到x，則對(duì)所有的y∈E，y≠x都有l(wèi)im supn→∞‖xn－x‖＜lim supn→∞‖xn－y‖.

定理3.1 在引理2.3的假設(shè)下，如果E滿足Opial’s條件，則｛xn｝弱收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 因?yàn)镋是實(shí)一致凸Banach空間，｛xn｝有界，故存在子序列｛｝｛xn｝使得｛xnk｝弱收斂到p∈D.由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝，所以由引理1.3可得I－Ti，I－Si（i∈｛1，2，…，N｝）在零點(diǎn)是半閉的，于是p∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.再設(shè)｛xn｝有另一子序列｛｝且收斂到p＊∈D，則同理可得p＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.如果p≠p＊，則由Opial’s條件可得limn→∞‖xn－p‖＝lim supk→∞‖xnk－p‖＜lim supk→∞‖xnk－p＊‖＜lim supj→∞‖xnj－p‖＝limn→∞‖xn－p‖.矛盾！因此p＝p＊.定理證畢.

引理3.1 設(shè)D，E，Si，Ti：D→E（i＝1，2，…，N），｛xn｝的意義同引理2.2，F(xiàn)＝（F（Ti）∩F（Si））≠，則對(duì)所有的p，q∈F和t∈［0，1］，limn→∞‖txn＋（1－t）p－q‖存在.

引理3.2 設(shè)E是具有Fréchet可微范數(shù)的實(shí)一致凸Banach空間，D，Si，Ti：D→E（i＝1，2，…，N），｛xn｝的意義同引理2.2，F(xiàn)＝（F（Ti）∩F（Si））≠，則對(duì)所有的p，q∈F，limn→∞〈xn，j（p－q）〉存在.進(jìn)一步地，如果Ww（xn）表示｛xn｝的子序列的弱收斂點(diǎn)集合，則對(duì)所有的p，q∈F，x＊，y＊∈Ww（xn）有〈x＊－y＊，j（p－q）〉＝0.

定理3.2 設(shè)E是使得E＊具有Kadec－Klee性質(zhì)的實(shí)一致凸Banach空間，D，Si，Ti：D→E（i＝1，2，…，N），｛xn｝的意義同引理2.2，F(xiàn)＝（F（Ti）∩F（Si））≠，如果對(duì)所有的x，y∈D，i∈｛1，2，…，N｝都有‖x－Tiy‖≤‖Six－Tiy‖，則｛xn｝弱收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 因?yàn)椋鹸n｝有界，E自反，所以存在｛xnk｝｛xn｝使得xnk弱收斂到珟p∈D.由引理2.3知limk→∞‖xnk－Tixnk‖＝limk→∞‖xnk－Sixnk‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝，所以由引理1.3可得珟p∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.再設(shè)｛xn｝有另一子序列｛xnj｝收斂到p＊∈D，同理可得p＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.因?yàn)閜＊，珟p∈F∩Ww（xn），所以由引理3.1知對(duì)所有的t∈［0，1］，limn→∞‖txn＋（1－t）p＊－珟p‖存在，并且由引理1.4可得p＊＝珟p，即｛xn｝弱收斂到珟p.定理證畢.

定理3.3 在引理3.2的假設(shè)下，如果對(duì)所有的x，y∈D和i∈｛1，2，…，N｝都有‖x－Tiy‖≤‖Six－Tiy‖成立，則｛xn｝弱收斂到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 因?yàn)镋是實(shí)一致凸Banach空間，｛xn｝有界，則存在｛｝｛xn｝使得弱收斂到珚p∈D.由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝，所以由引理1.4可得珚p∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.再設(shè)｛xn｝有另一子序列｛｝弱收斂到＾p∈D，則同理可得＾p∈F＝（F（Si）∩F（Ti）），因此珚p，＾p∈F∩Ww（xn）；于是由引理3.2可得‖珚p－＾p‖2＝〈珚p－＾p，j（珚p－＾p）〉＝0，因此珚p＝＾p.定理證畢.

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Abstract：In this paper，the common fixed points of two finite families of mappings are studied in real uniformly convex Banach spaces.A finite－step iteration process defined by a finite family of nonexpansive nonself－mappings and a finite family of asymptotically nonexpansive nonself－mappings is introduced，and the strong and weak convergence theorems for this scheme are proved.The results presented in this paper have improved and extended some recent relative results.

Keywords：uniformly convex Banach space；nonexpansive nonself－mapping；asymptotically nonexpansive nonself－mapping；finite－step iteration process；common fixed point

（責(zé)任編輯 時(shí) 光）

Convergence theorems for two finite families of nonself－mappings

SONG Chuan－jing，WU Jian－rong＊
（Sch of Math ＆Phys，Suzhou Univ of Sci ＆Technol，Suzhou 215011，China）

O 177.91

A

1007－824X（2012）02－0009－05

2011－10－12

江蘇省高校研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程資助項(xiàng)目（CXZZ11－0950）；蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（SKCX11S－054）

＊聯(lián)系人，E－mail：jrwu＠m(xù)ail.usts.edu.cn