尚 磊，仲啟龍，鄭永愛

（揚州大學(xué)信息工程學(xué)院，江蘇揚州225127）

節(jié)點含時滯的輸出耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)脈沖同步

尚 磊，仲啟龍，鄭永愛＊

（揚州大學(xué)信息工程學(xué)院，江蘇揚州225127）

針對節(jié)點含時滯的輸出耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和時滯脈沖微分方程理論，設(shè)計了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步自適應(yīng)脈沖控制器，給出網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件，保證動態(tài)網(wǎng)絡(luò)漸近同步于任意指定的網(wǎng)絡(luò)中單獨節(jié)點的狀態(tài)，進而實現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)的同步.理論推導(dǎo)和數(shù)值結(jié)果均表明該同步方法的有效性及可行性.

復(fù)雜時滯網(wǎng)絡(luò)；自適應(yīng)脈沖控制；同步；輸出耦合

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的一個重要分支，備受科學(xué)研究和工程應(yīng)用各個領(lǐng)域的關(guān)注，并且已經(jīng)取得豐碩的研究成果.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的耦合方式主要分為兩種：節(jié)點狀態(tài)耦合和節(jié)點輸出耦合.ZHOU［1］，GUO［2］等主要針對節(jié)點狀態(tài)耦合進行了研究，但很少探討節(jié)點輸出耦合的情況.此外，時滯作為網(wǎng)絡(luò)中的常見現(xiàn)象，用于描述系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)變化率依賴過去狀態(tài)的特性，往往導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)在運行中出現(xiàn)振蕩和不穩(wěn)定現(xiàn)象.正是由于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中時滯現(xiàn)象的普遍存在且對網(wǎng)絡(luò)同步的影響不可忽略，因此開展對節(jié)點含時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究具有重要的現(xiàn)實意義.研究時滯網(wǎng)絡(luò)同步的控制方法常見的有自適應(yīng)控制［3－6］、牽制控制［7］、脈沖控制［8－13］等.本文擬將自適應(yīng)控制和脈沖控制相結(jié)合，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和脈沖微分方程理論，針對節(jié)點含時滯的輸出耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提出新的同步準(zhǔn)則.

1 問題描述

考慮包含N個相同節(jié)點的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程為

式中1≤i≤N，第i個節(jié)點的狀態(tài)向量為xi＝（xi1，xi2，…，xin）T∈Rn，時滯狀態(tài)向量為xi（tτ）＝（x1（t－τ），x2（t－τ），…，xn（t－τ））∈Rn；非線性光滑函數(shù)f：Rn→Rn；每個節(jié)點的輸出矩陣H∈Rm×n；內(nèi)部耦合矩陣L∈Rn×m.外部耦合矩陣C＝（cij）N×N∈RN×N，若從節(jié)點i到j(luò)（i≠j）有連接，則cij≠0；否則cij＝0，假設(shè)矩陣C滿足耗散耦合條件：＝＝－cii.若limt→∞x1（t）＝limt→∞x2（t）＝…＝limt→∞xN（t），則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）達到同步.

設(shè)網(wǎng)絡(luò)的同步流形為

式中s（t）∈Rn為狀態(tài)向量，y∈Rm為輸出變量.

假設(shè)1 LH≠0且‖LH‖2＞0，ρmax表示矩陣（LH＋HTLT）／2的最大特征值.

假設(shè)2 外部耦合矩陣cij的每個元素都是有界的，即滿足｜cij｜≤C，i，j＝1，2，…，n，其中C為正常數(shù).

假設(shè)3 非線性函數(shù)f（x（t），x（t－τ））＝［f1（x（t），x（t－τ）），…，fn（x（t），x（t－τ））］T是Lipschitz連續(xù)的，即對于x∈［x1（t），…，xn（t）］T∈Rn，y∈［y1（t），…，yn（t）］T∈Rn，存在一個常數(shù)kij，滿足不等式｜fi（x（t），x（t－τ））－fi（y（t），y（t－τ））｜≤（｜xj（t）－yj（t）｜＋｜xj（t－τ）－yj（t－τ）｜），i，j＝1，2，…，n.

引理1 對于任意x，y∈Rn，ε＞0，有2xΤy≤εxΤ＋ε－1yΤy.

引理2 對于任意x∈Rn，若P∈Rn×n是正定矩陣，Q∈Rn×n是對稱矩陣，則下列不等式λmin（P－1Q）xTPx≤xTQx≤λmax（P－1Q）xTPx成立，式中λmin（P－1Q），λmax（P－1Q）分別是矩陣P－1Q的最小特征值和最大特征值.

2 自適應(yīng)脈沖同步

設(shè)誤差ei＝xi－s（1≤i≤N），在自適應(yīng)脈沖控制下，系統(tǒng)（1）可以表示為

式中i＝1，2，…，N，xi）和xi（t－k）分別表示xi（tk）在t＝tk時的左、右極限，其中｛tk｝滿足0≤t1≤t2≤…≤tk≤…，Bik是一個n×n的常數(shù)矩陣.筆者對系統(tǒng)（1）設(shè)計了2個控制器：自適應(yīng)控制器ui，脈沖控制器Uik.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)完全同步時，耦合項消失.自適應(yīng)控制器ui和自適應(yīng)律di設(shè)計如下：ui＝－diei，i＝1，2，…，N；di＝e＝ki‖ei‖2，i＝1，2，…，N，ki為大于零的任意常數(shù).

系統(tǒng)（1）在自適應(yīng)脈沖控制器作用下的同步誤差為

式中ui是須設(shè)計的自適應(yīng)控制器.若控制系統(tǒng)（4）在原點漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)（1）漸近同步.

設(shè)Sρ＝｛x∈Rn：‖x‖＜ρ，0＜ρ1≤ρ｝，K＝｛φ∈C（R＋，R＋）：φ（t）是嚴(yán)格遞增的，且φ（0）＝0｝，K＊＝｛φ∈K：φ（t）＜t，t＞0｝，∑＝｛φ∈C（R＋，R＋）：φ（0）＝0，φ（t）＞0，t＞0｝，PC＝｛φ：［－τ，0］→R｝，φ（t）是除有限個點之外處處連續(xù)的，在珋t處，有φ（珋t＋）和φ（珋t－）存在，且φ（珋t＋）＝φ（珋t）.

系統(tǒng)（4）可以轉(zhuǎn)化為以下微分方程：

這里f：［0，∞］×PC→Rn.為確保方程（5）有一個零解，Jk（x）：Sρ→Rn且Jk（0）＝0，xt（s）＝x（t＋s），s∈［－τ，0］.

引理3［10］248假設(shè)存在V∈V0，ω1，ω2∈K，φ∈K＊和H∈Σ，并滿足以下條件，則方程（5）的零解一致漸近穩(wěn)定：

1）ω1（‖x‖）≤V（t，x（t））≤ω2（‖x‖），（t，x）∈［t0，∞）×Sρ；

2）對于所有的x∈Sρ1，0＜ρ1≤ρ和任意的k，V（tk，J（tk））≤φ（V（t－k，x））成立；

3）對于方程（4）的任意解x（t），若V（t＋s，x（t＋s））≤φ－1（V（t，x（t））），－τ≤s≤0，則D＋（V（t，x（t）））≤g（t）H（V（t，x（t））），這里g：［t0，∞）→R＋局部可積，φ－1是φ的逆函數(shù)；

4）H是非減的，A＞0和常數(shù)λ2≥λ1＞0，滿足任意的μ＞0，λ1≤tk－tk－1≤λ2和（s）ds≥A成立.

3 同步化準(zhǔn)則

定理1 假設(shè)1，2，3和引理1，2均成立，如果存在α和bik，對于i＝1，2，…，N和k∈Z＋＝｛1，2，…，＋∞｝都滿足如下條件，則自適應(yīng)脈沖控制下節(jié)點含時滯的輸出耦合網(wǎng)絡(luò)（1）漸近同步：

1）－2＜bik＜0；

2）p＋q／max1≤i≤N｛（1＋bik）2｝≤α，其中p＝max1≤i≤N，1≤j≤N2（kij＋CNρmax－di），q＝max1≤i≤N，1≤j≤N2kij；

3）α（tk－tk－1）＋ln［max1≤i≤N（1＋bik］2）＜0.

其余證明類似于文獻［14］定理1的證明，從而得出自適應(yīng)脈沖控制下節(jié)點含時滯輸出耦合網(wǎng)絡(luò)（1）是漸近同步的.

4 數(shù)值仿真

1）對3個時滯Logistic系統(tǒng)為節(jié)點組成的網(wǎng)絡(luò)進行數(shù)值仿真，該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為xi＝－λxi＋rxi（t－τ）（1－xi（t－τ）），1≤i≤3；系統(tǒng)有2個平衡點：s1＝0，s2＝1－λ／r；當(dāng)λ＝26，r＝104，τ＝0.5時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；耦合函數(shù)為LHxj.選取系統(tǒng)的s2＝1－λ／r＝1－26／104＝0.75作為同步目標(biāo)，由于系統(tǒng)中m＝n＝1，所以矩陣H和L是兩個數(shù)值，取H＝3，L＝4，則ρmax＝12；選擇kij＝1＞0，di＝50＞0，C＝（cij）3×3取滿足耗散耦合條件的，由定理1可得bik＝－0.9，α≥198，Δt＜0.023.仿真中取α＝200，Δt＝0.01，仿真結(jié)果如圖1～2所示.圖1表明在自適應(yīng)脈沖控制下網(wǎng)絡(luò)節(jié)點很快同步，圖2表明當(dāng)誤差趨于零后自適應(yīng)律趨于一個穩(wěn)定的常數(shù)值.

圖1 仿真1中的自適應(yīng)脈沖同步誤差Fig.1 The synchronization errors of adaptive－impulsive control in simulation 1

圖2 仿真1中的自適應(yīng)律Fig.2 Adaptive law in simulation 1

2）考慮10個節(jié)點組成的時滯網(wǎng)絡(luò)模型，其中每個節(jié)點的狀態(tài)方程為

式中1≤i≤10，其耦合函數(shù)為∑Nj＝1cijLHxj.仿真中取τ＝2，H＝diag（4，3，2），L＝diag（1，2，3），則ρmax＝6，kij＝1＞0，di＝500＞0，C＝（cij）10×10取滿足耗散耦合條件的，由定理1可得bik＝－0.95，α≥362，Δt≤0.014 98.仿真中取α＝400，Δt＝0.01，仿真結(jié)果如圖3～4所示.圖3表明在自適應(yīng)脈沖控制下網(wǎng)絡(luò)節(jié)點很快同步，圖4表明當(dāng)誤差趨于零后自適應(yīng)律趨于一個穩(wěn)定的常數(shù)值.

圖3 仿真2中的自適應(yīng)脈沖同步誤差Fig.3 The synchronization errors of adaptive－impulsive control in simulation 2

圖4 仿真2中的自適應(yīng)律Fig.4 Adaptive law in simulation 2

［1］ ZHOU Jin，CAI Shui－ming，XIANG Lan.Robust impulsive sychronization of uncertain delayed dynamical networks［C］／／7th World Congress on Intelligent Control and Automation（WCICA）.Chongqing：［s.n.］，2008：1901－1906.

［2］ GUO Wan－li，AUSTIN F，CHEN Shi－h(huán)ua.Global synchronization of nonlinearly coupled complex networks with non－delayed and delayed coupling［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul，2010，15（6）：1631－1639.

［3］ 羅群，吳薇，李麗香，等.節(jié)點含時滯的不確定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步研究［J］.物理學(xué)報，2008，57（3）：1529－1534.

［4］ 楊彥清.時變耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的自適應(yīng)控制［J］.微計算機信息，2010，26（2／1）：205－206.

［5］ ZHOU Jin，LU Jun－an，LV Jin－h(huán)u.Adaptive synchronization of an uncertain complex dynamical network［J］.IEEE Trans Autom Control，2006，51（4）：652－656.

［6］ 趙磊，胡馮儀，鄭永愛，等.不同混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)混合投影同步［J］.揚州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，11（3）：45－48.

［7］ 樊春霞，蔣國平.輸出耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)牽制同步［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報，2010，28（2）：203－208.

［8］ CAI Shui－ming，ZHOU Jin，XIANG Lan，et al.Robust impulsive synchronization of complex delayed dynamical networks［J］.Phys Lett A，2008，372（30）：4990－4995.

［9］ 樊春霞，蔣國平，程艷云.耦合時延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無源脈沖同步［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報，2007，25（6）：594－597.

［10］ YAN Ju－rang，SHEN Jian－h(huán)ua.Impulsive stabilization of functional differential equations by Lyapunov－Razumikhin functions［J］.Nonlinear Anal：Theory Methods Appl，1999，37（2）：245－255.

［11］ ZHOU Jin，WU Quan－jun，XIANG Lan，et al.Impulsive synchronization seeking in general complex delayed dynamical networks［J］.Nonlinear Anal：Hybird Syst，2011，5（3）：513－524.

［12］ ZHAO Yan－h(huán)ong，YANG Yong－qing.The impulsive control synchronization of the drive－response complex system［J］.Phys Lett A，2008，372（48）：7165－7171.

［13］ WAN Xiao－jun，SUN Ji－tao.Adaptive－impulsive synchronization of chaotic systems［J］.Math Comput Simul，2011，81（8）：1609－1617.

［14］ LI Ping，CAO Jin－de，WANG Zi－dong.Robust impulsive synchronization of coupled delayed neural networks with uncertainties［J］.Phys A：Stat Mech Appl，2007，373（1）：261－272.

Abstract：This paper mainly studies a complex delayed network coupled with the outputs.Based on Lyapunov stability theory and the theory of impulsive delayed differential equation，it designs an adaptive－impulsive controller of the network realizing synchronization.Then it gives the sufficient conditions of synchronization on networks，guarantees that the dynamical network asymptotically synchronizes at the individual node state in arbitrary specified network，and realizes the synchronization of networks.Furthermore，both the theoretical analysis and the results of numerical simulations illuminate the validity and feasibility of the synchronized method.

Keywords：complex delayed networks；adaptive－impulsive control；synchronization；the output coupled

（責(zé)任編輯 林 子）

Adaptive－impulsive synchronization of complex delayed networks coupled with the outputs

SHANG Lei，ZHONG Qi－long，ZHENG Yong－ai＊
（Sch of Inf Engin，Yangzhou Univ，Yangzhou 225127，China）

TP 273.2；O 175.26

A

1007－824X（2012）02－0060－05

2012－01－10

國家自然科學(xué)基金資助項目（61074129）

＊聯(lián)系人，E－mail：zhengyongai＠163.com