梁 升，王新晴，王 東，夏 天，錢淑華

(1.解放軍理工大學(xué)，南京 210007;2.海軍工程研究設(shè)計(jì)局，北京 100841)

1 Hilbert-Huang變換的局限性

與小波等方法相比，雖然Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)是一種非先驗(yàn)的方法，但仍然假定信號由本征模態(tài)分量(Intrinsic Mode Function，IMF)和普通趨勢項(xiàng)構(gòu)成[1]。IMF滿足兩個(gè)條件:① 整個(gè)信號長度上極值點(diǎn)和過零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或只差一個(gè);② 在任意時(shí)刻，由極大值定義的上包絡(luò)線和由極小值定義的下包絡(luò)線的平均值為0。這兩個(gè)條件實(shí)際上表示了一種波動(dòng)的模式。如果被分析的信號僅僅由多個(gè)IMF分量與普通趨勢項(xiàng)組成，那么，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)所得到的IMF分量大都具備明確的物理意義，HHT能取得較好的分析效果。而工程實(shí)際中，信號是由多種分量組合而成的，不是單純的IMF分量與普通趨勢項(xiàng)的結(jié)合，因而當(dāng)信號中存在非普通趨勢、非IMF分量時(shí)HHT分析的效果并不理想。圖1所示方波信號是一種典型的、可能具有特定的物理意義的非趨勢、非IMF分量。

圖1 方波信號Fig.1 Square wave signal

2 廣義趨勢項(xiàng)

針對HHT方法存在的上述局限，提出改進(jìn)思路:當(dāng)原始信號中可能存在非IMF分量時(shí)，先將非IMF分量分離出來，再對剩余信號進(jìn)行HHT分析。

EMD分解得到的趨勢項(xiàng)一般為常數(shù)或單調(diào)函數(shù)。而工程實(shí)際中，系統(tǒng)在受到強(qiáng)大外力作用或內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生巨大變化的情況下，相關(guān)的信號幅值或其他特征會發(fā)生急劇變化，從而使信號趨勢產(chǎn)生漸變甚至突變，當(dāng)外力作用或系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化具有周期性時(shí)，相應(yīng)的信號趨勢也可能具有周期性。本文將信號中反映這種趨勢的分量稱為廣義趨勢項(xiàng)。廣義趨勢項(xiàng)與傳統(tǒng)意義上的趨勢項(xiàng)不同。在早期對時(shí)間序列的研究中，趨勢項(xiàng)一直被看作時(shí)間序列長時(shí)間的動(dòng)向，但是迄今為止，趨勢項(xiàng)在數(shù)學(xué)上并沒有一個(gè)準(zhǔn)確的定義，一般認(rèn)為，趨勢項(xiàng)是測試信號中周期遠(yuǎn)大于信號記錄時(shí)間長度的成分[3]。而廣義趨勢項(xiàng)主要反映了待測系統(tǒng)在外力、內(nèi)力的綜合作用下相應(yīng)信號的主要變化動(dòng)向，它既包括了傳統(tǒng)意義上的趨勢(長期趨勢)，也包括了部分短期趨勢。廣義趨勢項(xiàng)不一定是IMF分量。

圖2 實(shí)測夾緊缸工作過程中夾緊腔油壓波動(dòng)波形Fig.2 The oil pressure fluctuation signal under the periodic excitation

圖3 原信號基于EMD分解重組后得到的三個(gè)分量Fig.3 The three components of the pressure signal based on EMD

與一般的機(jī)械振動(dòng)加速度信號、地震加速度信號不同，液壓系統(tǒng)內(nèi)部的壓力信號不是以零軸為中心的上下波動(dòng)，而是隨著系統(tǒng)狀態(tài)、外部負(fù)載等因素的改變而逐漸變化，如果出現(xiàn)波動(dòng)，也是以一定趨勢為中心的上下波動(dòng)。油壓信號的廣義趨勢項(xiàng)就是由這些不同時(shí)段的相應(yīng)趨勢所構(gòu)成的，它由系統(tǒng)狀態(tài)、外部負(fù)載等因素決定，一般情況下不滿足IMF分量的條件。以周期激勵(lì)下的夾緊缸內(nèi)油壓波動(dòng)信號(圖2)為例，文獻(xiàn)[2]運(yùn)用傳統(tǒng)HHT方法將其分解為受迫振動(dòng)、自由振動(dòng)的組合(圖3)，其受迫振動(dòng)分量就是該信號的廣義趨勢項(xiàng)，而自由振動(dòng)分量可以看作是以相應(yīng)時(shí)刻受迫振動(dòng)分量為中心的上下波動(dòng)。以上自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)分量都是通過EMD分解重組得到的。由前文知，EMD對于本身帶有非IMF分量的信號，其分析效果會受到“IMF假設(shè)”的影響，如果先用某種方法分離出原始信號中不屬于IMF分量的廣義趨勢項(xiàng)，再對剩余信號進(jìn)行HHT分析，可能得到更好的分析效果。

3 基于MM-EMD的HHT改進(jìn)算法

前人主要在以下兩個(gè)方面對數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(Mathematical Morphology，MM)與HHT的結(jié)合進(jìn)行了研究:用數(shù)學(xué)形態(tài)濾波器對信號進(jìn)行濾波降噪預(yù)處理，然后再進(jìn)行HHT分析[4－5];先對信號進(jìn)行 EMD 分解，再對篩選出的IMF分量進(jìn)行基于數(shù)學(xué)形態(tài)濾波器的降噪處理[6]。

MM－EMD不同于以上方法，其基本思想是運(yùn)用數(shù)學(xué)形態(tài)濾波器提取出不利于EMD分解的廣義趨勢項(xiàng)等低頻非IMF分量，再對剩余信號分量進(jìn)行EMD分解。具體步驟如下:

(1)對原信號 x(t)={x1，x2，…，xN}進(jìn)行傅里葉變換，估計(jì)出自由振動(dòng)信號最大頻率fq。

(2)運(yùn)用開－閉和閉－開組合形態(tài)濾波器處理信號[7－8]，分離出廣義趨勢項(xiàng) Xq(t)及余項(xiàng) Xr(t)。數(shù)學(xué)形態(tài)濾波器的結(jié)構(gòu)元素選用方形結(jié)構(gòu)元素。根據(jù)fq與原信號的采樣頻率fs確定方形結(jié)構(gòu)元素長度M=fsfq，當(dāng)廣義趨勢項(xiàng)并不明顯時(shí)，可令M=N/4。根據(jù)原信號x(t)自身特點(diǎn)，可以選取原始信號相鄰數(shù)據(jù)之間差額絕對值中的非零最小值K作為結(jié)構(gòu)元素的高度，即且 K≠0。

(3)對余項(xiàng)Xr(t)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，得到若干IMF分量和一殘量rn;

(4)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)法、互信息、頻域特征等方法對IMF分量進(jìn)行篩選，對篩選出來的IMF分量進(jìn)行Hilbert譜分析。

需要說明四點(diǎn):① 大量仿真與實(shí)測信號處理結(jié)果表明，與三角形、半圓形結(jié)構(gòu)元素相比，方形結(jié)構(gòu)元素提取信號突變特征特別是突變趨勢的效果較好，因而以上過程選用方形結(jié)構(gòu)元素;② 噪聲與突變引起的信號相鄰數(shù)據(jù)差值的絕對值遠(yuǎn)大于信號按自身規(guī)律變化時(shí)相鄰數(shù)據(jù)差值的絕對值，原始信號相鄰數(shù)據(jù)之間差值絕對值中的非零最小值K接近于信號按自身規(guī)律變化時(shí)相鄰數(shù)據(jù)的最小差值，大量仿真試驗(yàn)表明，當(dāng)平結(jié)構(gòu)元素的高度選擇為K時(shí)，可以有效提取出包含準(zhǔn)確突變信息的趨勢項(xiàng)，同時(shí)濾除一定程度的噪聲特別是脈沖噪聲;③ 自由振動(dòng)信號最大頻率fq可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行修正;④ 如果其他方法也可以有效分離出廣義趨勢項(xiàng)，即可將以上步驟中的(1)、(2)改為采用其他方法，步驟(3)、步驟(4)不變。

4 實(shí)例

分別用傳統(tǒng)HHT方法與基于MM－EMD的改進(jìn)HHT方法對仿真信號與實(shí)測信號進(jìn)行處理，檢驗(yàn)新方法的分析效果。

4.1 仿真信號

仿真信號由頻率為4 Hz的方波信號與間斷產(chǎn)生的頻率為50 Hz的正弦信號疊加而成，如圖4所示，采樣頻率fs=2 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=2 000。對該信號進(jìn)行EMD處理后得到六個(gè)IMF分量和一個(gè)殘量。分別對各個(gè)分量進(jìn)行Hilbert譜分析，最終得到與原始信號自相關(guān)系數(shù)最高的 c1分量的 Hilbert-Huang譜，如圖5所示。

圖4 仿真信號時(shí)域圖Fig.4 Simulated signal

圖5 仿真信號的傳統(tǒng)HHT方法分析結(jié)果Fig.5 The analysis result of the simulated signal based on traditional HHT

原始信號中最高頻率成分為50 Hz，因而取fq=50 Hz。方形結(jié)構(gòu)元素長度M=fs/fq=40。根據(jù)原始信號可以計(jì)算出方形結(jié)構(gòu)元素高度采用由此形態(tài)結(jié)構(gòu)元素構(gòu)成的開－閉和閉－開組合形態(tài)濾波器對原始信號進(jìn)行形態(tài)濾波處理，得到廣義趨勢項(xiàng)Xq(t)與余項(xiàng)Xr(t)，如圖6(a)，圖6(b)所示。

圖6 仿真信號的數(shù)學(xué)形態(tài)濾波結(jié)果Fig.6 The filtered result of simulated signal based on MM

對余項(xiàng)Xr(t)進(jìn)行EMD處理，得到六個(gè)IMF分量和一個(gè)殘量。分別對各個(gè)分量進(jìn)行Hilbert譜分析，最終得到余項(xiàng)Xr(t)中與原始信號自相關(guān)系數(shù)最高的c1分量的Hilbert-Huang譜，如圖7所示。

圖7 仿真信號基于MM－EMD的改進(jìn)HHT分析結(jié)果Fig.7 The analysis result of the simulated signal based on improved HHT by MM-EMD

對比圖5與圖7，可以明顯看出經(jīng)過MM-EMD方法改進(jìn)后的Hilbert-Huang譜更能清晰準(zhǔn)確地反映50 Hz信號分量出現(xiàn)的時(shí)間－該分量的時(shí)頻分布主要集中于50 Hz附近且較少發(fā)散。仿真信號處理結(jié)果一方面表明，傳統(tǒng)HHT方法在處理含非IMF分量的信號時(shí)存在局限－信號中的非IMF分量會降低HHT分析效果，另一方面展示了基于MM-EMD的改進(jìn)HHT方法的有效性。

4.2 實(shí)測信號

運(yùn)用基于MM－EMD的改進(jìn)HHT方法來分析實(shí)測油壓信號，一方面檢驗(yàn)新方法的效果，另一方面將新方法應(yīng)用于油壓信號分析，以提取、識別油壓信號中蘊(yùn)含的液壓系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。

該信號的時(shí)域圖如圖2所示。文獻(xiàn)[2]指出，周期激勵(lì)下的夾緊缸油壓信號由受迫振動(dòng)、自由振動(dòng)、噪聲等三種分量組成，并通過EMD分解、重組得到了該信號的三個(gè)分量(圖3)。本節(jié)運(yùn)用基于MM-EMD的改進(jìn)HHT方法對該信號進(jìn)行再分析。具體步驟如下:

(1)信號采樣頻率fs=1 000 Hz。根據(jù)文獻(xiàn)[2]中模型計(jì)算出的自由振動(dòng)頻率估計(jì)值(224 Hz)，取fq=400 Hz。方形結(jié)構(gòu)元素長度M=fs/fq=25。

(3)對余項(xiàng)Xr(t)進(jìn)行EMD處理，得到12個(gè)IMF分量和一個(gè)殘量。

圖8 液壓缸油壓信號的數(shù)學(xué)形態(tài)濾波結(jié)果Fig.8 The filtered result of pressure signal based on MM

(4)運(yùn)用文獻(xiàn)[2]中介紹的方法，根據(jù)各IMF分量的頻率分布情況，將各IMF分量分類:c1主要為高頻噪聲;自由振動(dòng)分量主要集中于 c2，c3，c4，c5，c6，c7 等頻率分布在100～500 Hz的分量;其余分量則包含了受迫振動(dòng)分量。在此基礎(chǔ)上對信號進(jìn)行重構(gòu):自由振動(dòng)分量由 c2，c3，c4，c5，c6，c7 等分量疊加而成，而受迫振動(dòng)分量由 c8，c9，c10，c11，c12、r等分量與廣義趨勢項(xiàng)Xq(t)疊加而成。重組可得最終結(jié)果，如圖9所示。

與文獻(xiàn)[2]中傳統(tǒng)HHT方法相比，基于MM-EMD的改進(jìn)HHT方法可以得到更好的分析效果:

(1)新方法在一定程度上抑制了模態(tài)混疊現(xiàn)象。對比圖3(a)和圖9(a)可以發(fā)現(xiàn)，由于模態(tài)混疊，傳統(tǒng)EMD方法得到的高頻噪聲分量中出現(xiàn)了0.08 s左右幅度大于0.12 MPa的波動(dòng)、0.2 s左右幅度大于 0.2 MPa的波動(dòng)(圖3(a)A、B處)，基于MM-EMD的方法得到的高頻噪聲分量雖然也具有一定的模態(tài)混疊現(xiàn)象，但波動(dòng)幅度都不大于0.1 MPa。

圖9 夾緊缸壓力信號基于MM-EMD分解重組結(jié)果Fig.9 The three components of the pressure signal based on MM-EMD

(2)新方法得到的自由振動(dòng)分量與受迫振動(dòng)分量體現(xiàn)的物理意義更為明顯。圖9(b)中油壓基本上是以0軸為中心上下波動(dòng)，而圖3(b)中部分時(shí)間段(圖3(b)C、E處)的油壓在0軸以上波動(dòng)。受迫振動(dòng)分量與凸輪撞擊液壓缸的過程更為吻合:凸輪撞擊瞬間，油壓迅速上升，圖9(c)中A處上升段的斜率大于圖3(c)中F處的斜率，油壓上升后一段時(shí)間內(nèi)在1.3 MPa保持平穩(wěn)，圖3(c)沒有這一階段(圖3(c)中H處)，而圖9(c)中B處較好地反映了這一過程。傳統(tǒng)HHT方法得到的受迫振動(dòng)的壓力上升沿與下降沿的斜率小于原始信號(圖2)的原因可能是:傳統(tǒng)HHT方法把屬于趨勢項(xiàng)(受迫振動(dòng))的信號分量錯(cuò)誤地分解到自由振動(dòng)分量中。

以上兩點(diǎn)表明，與傳統(tǒng)HHT方法相比，基于MMEMD的改進(jìn)HHT方法得到的自由振動(dòng)分量所反映的壓力波動(dòng)信息更為真實(shí)可信，在處理油壓信號時(shí)，新方法的分析效果更好。

5 結(jié)論

與傳統(tǒng)HHT方法相比，基于MM-EMD的HHT改進(jìn)方法增加了基于形態(tài)學(xué)的廣義趨勢項(xiàng)提取過程，雖然在一定程度上增加了信號處理的計(jì)算量，但由于形態(tài)變換的實(shí)現(xiàn)算法只包含布爾運(yùn)算、加減法運(yùn)算而不需要做乘法，因而提取過程消耗的時(shí)間較少。在相同的硬件條件下運(yùn)用兩種方法處理文中仿真信號時(shí)，傳統(tǒng)方法消耗時(shí)間為3.35 s，而新方法消耗時(shí)間為4.39 s，其中廣義趨勢項(xiàng)提取過程只消耗了0.39 s，趨勢項(xiàng)提取后的EMD與Hilbert譜分析消耗了4.00 s。雖然新方法在一定程度上增加了計(jì)算時(shí)間，但仿真與實(shí)測油壓信號的處理結(jié)果表明，對于部分含有非IMF分量、非普通趨勢項(xiàng)成分的信號，新方法能取得比傳統(tǒng)HHT方法更好的分析效果。

[1]Huang N E，Shen Z，Long S R，et al.The empirical mode decomposition and hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis[J].Proc.Roy.Soc.Lond，1998，454:903 －995.

[2]王新晴，梁 升，夏 天，等.基于HHT的液壓缸動(dòng)態(tài)特性分析新方法[J].振動(dòng)與沖擊，2011，30(7):82 －86，159.WANG Xin-qing，LIANG Sheng，XIA Tian，et al.A new method based on HHT for analyzing dynamic characteristics of a hydraulic cylinder[J].Journal of Vibration and Shock，2011，30(7):82 －86，159.

[3]Bendat J S， Piersol A G. Random data:analysis and measurement procedures[M].New York:John Wiley and Sons，1986.396－398.

[4]胡愛軍.Hilbert-Huang變換在旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號分析中的應(yīng)用研究[D].保定:華北電力大學(xué)，2008.

[5]胡愛軍，唐貴基，安連鎖.基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號降噪方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(4):127－130.HU Ai-jun，TANG Gui-ji，AN Lian-suo.De-noising technique for vibration signals of rotating machinery based on mathematical morphology filter[J].Chinese Journalof Mechanical Engineering，2006，42(4):127 －130.

[6]沈 路，楊富春，周曉軍，等.基于改進(jìn)EMD與形態(tài)濾波的齒輪故障特征提取[J].振動(dòng)與沖擊，2010，29(3):154－157，211.SHEN Lu，YANG Fu-chun，ZHOU Xiao-jun，et al.Gear fault feature extraction based on improved EMD and morphological filter[J].Journal of Vibration and Shock，2010，29(3):154－157，211.

[7]趙春暉.數(shù)學(xué)形態(tài)濾波器理論及其算法研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，1998.

[8]Maragos P，Schafer R W.Morphological filters-partⅠ:their set theoretic analysis and relation to linear shift invariant filters[J].IEEE Trans on ASSP，1987，35(8):1153 －1169.