巴合提古麗·阿斯里別克，王 穎，孫迎春

（1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；2.新疆伊犁師范學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，新疆 伊犁 135000；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012）

Simulink是用來(lái)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)建模、進(jìn)行仿真和分析的一個(gè)軟件包.它是MATLAB的一個(gè)重要的組成部分.利用Simulink可以建立更趨于真實(shí)的非線(xiàn)性模型，如考慮空氣阻力和摩擦中的各個(gè)干擾因素等.另外，Simulink系統(tǒng)建造的自定義用戶(hù)模塊對(duì)設(shè)計(jì)系統(tǒng)及分析結(jié)論的正確性都具有非常重要的意義.因此，Simulink軟件的功能已經(jīng)成為專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員必須掌握的一項(xiàng)技能.

在系統(tǒng)所受的非線(xiàn)性阻尼作用所引起的非線(xiàn)性中范德玻爾（Van der Pol）方程是最簡(jiǎn)單而最典型的非線(xiàn)性方程［1］.其數(shù)學(xué)方程式為

在范德玻爾方程中，增加外力Vcosωt項(xiàng)，其變成強(qiáng)迫范德玻爾方程，其數(shù)學(xué)方程式為

其中：V為外力的振幅；ω為角頻率.其描述的系統(tǒng)叫自激振蕩系統(tǒng).

1 范德玻爾方程的Simulink仿真

自激系統(tǒng)是一種在非線(xiàn)性阻尼作用下振動(dòng)的系統(tǒng)，對(duì)范德玻爾方程而言，從機(jī)械振動(dòng)的角度來(lái)看，－α－x2）是可變的阻尼系數(shù).其中當(dāng)｜x｜＞｜x0｜時(shí)阻尼系數(shù)為正數(shù)，則系統(tǒng)會(huì)受阻尼作用，能量將逐漸減少；但當(dāng)｜x｜＜｜x0｜時(shí)阻尼系數(shù)為負(fù)數(shù)，這樣系統(tǒng)的能量不僅不降低反而增加.結(jié)果系統(tǒng)在自動(dòng)反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)的作用下做穩(wěn)定的周期振蕩，系統(tǒng)在一個(gè)振蕩過(guò)程中消耗的能量正好等于補(bǔ)充的能量.

強(qiáng)迫范德波爾方程在不同的參數(shù)條件下顯示不同的吸引子，即1周期吸引子、2周期吸引子、不變環(huán)吸引子和奇怪吸引子［1－3］.本文采用Simulink仿真通過(guò)時(shí)間歷程圖和相圖顯示系統(tǒng)取不同參數(shù)下的振蕩行為和相應(yīng)的吸引子形狀.

1.1 建立Simulink仿真模型

相加點(diǎn)（Sum）模塊：此模塊的對(duì)話(huà)框中符號(hào)“l(fā)ist of signs”設(shè)置為“－，＋，－”，“Icon shape”選為rectangular.

增益（Gain）模塊：在模塊參數(shù)設(shè)置對(duì)話(huà)框中2個(gè)增益模塊的“Gain”參數(shù)分別設(shè)置為a和w.

積分（Integrator和Integrator1）模塊：可以完成初值設(shè)定，采用對(duì)參數(shù)對(duì)話(huà)框中“Initial condition”的設(shè)置，在Integrator模塊中設(shè)置˙x的初值為4，Ingegrator1模塊中設(shè)置x的初值為4.

點(diǎn)乘（Product）模塊：對(duì)話(huà)框的“Number of inputs”設(shè)置為2（表示有2個(gè)輸入端）.

函數(shù)功能（Fcn）模塊：對(duì)話(huà)框的“Expression”設(shè)置為“1－u＊u”（等于公式中的1－x2）.

函數(shù)（Trigonometric Function）模塊：對(duì)話(huà)框的“Function”設(shè)置為cos.

圖1 范德波爾方程的仿真模型

1.2 查看Simulink仿真結(jié)果

仿真操作時(shí)對(duì)增益模塊給出不同的參數(shù)值，可以得到不同的結(jié)果，直到找到理想的結(jié)果為止，通過(guò)Scope和XY Graph模塊查看.

（1）在a＝0.79，w＝0.44條件下，出現(xiàn)1周期吸引子，此時(shí)系統(tǒng)的周期等于外驅(qū)動(dòng)力的周期，系統(tǒng)做主諧波運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.

圖2 強(qiáng)迫范德玻爾方程中a＝0.79和w＝0.44時(shí)的相圖和位移曲線(xiàn)圖

（2）在a＝0.99，w＝0.44條件下，系統(tǒng)的周期等于外驅(qū)動(dòng)力的整數(shù)倍，出現(xiàn)2周期吸引子，系統(tǒng)做次諧波運(yùn)動(dòng)，如圖3所示.

圖3 強(qiáng)迫范德玻爾方程中a＝0.99和w＝0.44時(shí)的相圖和位移曲線(xiàn)圖

（3）在a＝0.66，w＝0.44條件下，出現(xiàn)不變環(huán)吸引子，系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，如圖4所示.

（4）在a＝1.08，w＝0.44條件下，出現(xiàn)奇怪吸引子，表示系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)，如圖5所示.

圖4 強(qiáng)迫范德玻爾方程中a＝0.66和w＝0.44時(shí)的相圖和位移曲線(xiàn)圖

圖5 強(qiáng)迫范德玻爾方程中a＝1.08和w＝0.44時(shí)的相圖和位移曲線(xiàn)圖

2 系統(tǒng)的封裝

以上仿真系統(tǒng)的模塊數(shù)量比較多，系統(tǒng)規(guī)模比較大，系統(tǒng)的操作也比較復(fù)雜.我們每次設(shè)置參數(shù)時(shí)都要打開(kāi)2個(gè)增益模塊輸入?yún)?shù)值，如果對(duì)這個(gè)系統(tǒng)采用封裝子系統(tǒng)技術(shù)，系統(tǒng)的操作就變得更方便，規(guī)模也變得更簡(jiǎn)單.所謂的封裝子系統(tǒng)技術(shù)就是把系統(tǒng)的相關(guān)的模塊集合在一起變成一個(gè)模塊，把各模塊的參數(shù)設(shè)置對(duì)話(huà)框合成一個(gè)參數(shù)對(duì)話(huà)框［8］，生成的子系統(tǒng)模塊功能等效于原系統(tǒng)模塊群的功能.

2.1 封裝步驟

（1）創(chuàng)建一個(gè)子系統(tǒng)：模型中選擇要建立的子系統(tǒng)除了輸入端和出口端以外的所有模塊，單擊Edit菜單中Create Subsystem命令即可，可用一個(gè)模塊代替所選中的所有模塊.

（2）創(chuàng)建封裝系統(tǒng)：選中生成的Subsystem模塊（子模塊），單擊Edit菜單中Mask Subsystem命令，這時(shí)會(huì)彈出封裝編輯器（Mask editor）對(duì)話(huà)框.

（3）對(duì)封裝系統(tǒng)進(jìn)行編輯：通過(guò)（Mask editor）對(duì)話(huà)框上面的4個(gè)選項(xiàng)卡（分別為設(shè)置封裝模塊圖標(biāo)、設(shè)置封裝子系統(tǒng)參數(shù)和初始化命令、設(shè)置模塊幫助和說(shuō)明）進(jìn)行編輯，完成封裝子系統(tǒng).

2.2 具體操作步驟

（1）創(chuàng)建子系統(tǒng)模型：選中除了Scope模塊和XY Graph模塊以外的全部模塊→單擊Edit菜單中的Create Subsystem命令（也可右擊選中部位），即可創(chuàng)建一個(gè)子系統(tǒng)（如圖6所示）.

（2）創(chuàng)建封裝子系統(tǒng)模塊圖標(biāo)：選中子系統(tǒng)模塊→右擊彈出下拉菜單→單擊Mask Subsystem命令→彈出“Mask editor”對(duì)話(huà)框→在對(duì)話(huà)框中選Icon項(xiàng)→在Drawing commands框中可輸入disp（‘VDP’），并可設(shè)置Icon options各項(xiàng).

（3）封裝子系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置：選中“Mask editor”對(duì)話(huà)框中的Parameters項(xiàng)→添加自激系統(tǒng)的2個(gè)變量即2個(gè)參數(shù).在第一行的Prompt欄目中輸入該變量的提示信息，如“阻尼系數(shù)”，在Variable欄目中輸入相關(guān)聯(lián)的變量名a，注意該變量名必須和模型中的完全一致.Type欄目選擇為Popups，并在Popups欄目中填寫(xiě)a的4個(gè)值（每行填一個(gè)值）.填第2個(gè)參數(shù)時(shí)，提示信息是“角頻率”，變量名是w，Type欄目是默認(rèn)值為edit，表示用編輯框來(lái)接收數(shù)據(jù).

圖6 子系統(tǒng)模型

（4）初始化設(shè)置：在此可以用“Mask editor”對(duì)話(huà)框中的Initialization項(xiàng)定義封裝然后用子系統(tǒng)工作空間中的各種變量來(lái)設(shè)置初始化命令.

（5）設(shè)置模塊幫助和說(shuō)明：在模塊編輯器中選中編輯選項(xiàng)卡Domumentation項(xiàng)→在編輯框中可輸入模塊類(lèi)型、模塊描述、模塊幫助的說(shuō)明.如在 Mask description中可以這樣說(shuō)明，this is a VDP function example.

（6）通過(guò)單擊Ok命令來(lái)完成子系統(tǒng)的封裝設(shè)置，形成封裝系統(tǒng)，如圖7所示.

雙擊該子系統(tǒng)模塊，在彈出的參數(shù)設(shè)置對(duì)話(huà)框中可直接設(shè)置系統(tǒng)的2個(gè)變量a和w的值（如圖8所示）.

運(yùn)行仿真系統(tǒng)，通過(guò)Scope和XY Graph模塊即可查看跟以上一致的計(jì)算結(jié)果.

圖7 強(qiáng)迫范德玻爾方程的子系統(tǒng)模型

圖8 強(qiáng)迫范德玻爾方程的參數(shù)設(shè)置窗口

3 小結(jié)

本文通過(guò)對(duì)范德玻爾方程的數(shù)學(xué)模型的分析，建立了自激系統(tǒng)的Simulink仿真系統(tǒng)，即二階常微分方程的基本仿真模型，考慮了模型中二階常微分方程的初始條件，演示了二階常微分方程仿真模型的子系統(tǒng)封裝過(guò)程，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確性，從而使仿真過(guò)程變得更加簡(jiǎn)便，結(jié)果表明：在解決二階常微分方程中使用Matlab／Simulink仿真方法能提供一個(gè)良好的用戶(hù)使用界面，通過(guò)這個(gè)用戶(hù)使用界面，用戶(hù)可以客觀的操作系統(tǒng)的具體行為并能得到及時(shí)的結(jié)果.

［1］劉秉正，彭建華.非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2001：120－209.

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［3］劉秉正.非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)與混沌基礎(chǔ)［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，1994：1－407.

［4］李穎，朱伯立，張威.Simulink動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模與仿真基礎(chǔ)［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2004：129－278.

［5］高智中，韓新風(fēng)，章毛連.一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)及其電路仿真［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，44（1）：77－83.

［6］吳曉強(qiáng)，陳彩云，岳立娟.一類(lèi)參數(shù)不確定時(shí)滯混沌系統(tǒng)的反同步［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2011，49（5）：922－929.

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