呂 寧，李 晶，孟祥雪，張轉(zhuǎn)周

(蘭州交通大學(xué)，蘭州 730070)

1 動(dòng)力學(xué)模型

碰摩是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子與定子之間接觸而產(chǎn)生的一種故障現(xiàn)象。碰摩能讓靜子的間隙增大，葉片斷裂，軸承支撐磨損，甚至整個(gè)機(jī)器破壞癱瘓。近年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障導(dǎo)致的分岔與混沌現(xiàn)象進(jìn)行了開(kāi)拓性的研究［4－7］，其研究結(jié)果對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷具有很大的參考價(jià)值。圖1為電磁軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩力模型。

圖1 電磁軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩力模型

首先，假定以下條件成立:

1)由于碰摩時(shí)間間隙非常短，因此，摩擦?xí)r轉(zhuǎn)子、軸承、機(jī)匣的摩擦符合庫(kù)侖定律，即摩擦力與接觸面的法向作用力成正比。

2)忽略回轉(zhuǎn)效應(yīng)。在考慮到電磁輔助軸承接觸力、重力的情況下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可記為:

其中:m是轉(zhuǎn)子一半的質(zhì)量;u是偏心量;ω是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。引入無(wú)量綱變換后得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

2 數(shù)值模擬與分析

用標(biāo)準(zhǔn)的Runge-kutta算法對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值積分，可求得該系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，繪制出不同的偏心量比率U下的分岔圖以及特定轉(zhuǎn)速和偏心量下的時(shí)間響應(yīng)圖和相圖曲線，最后通過(guò)分析這些結(jié)果，得到關(guān)于電磁軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的一些結(jié)論。

圖2是以偏心量比率U的變化為基礎(chǔ)，通過(guò)數(shù)值模擬描述的該動(dòng)力學(xué)模型的分岔圖，其中參數(shù) Ua=0.05，Ub=0.15，Uc=0.25，Ud=0.35。可以發(fā)現(xiàn)隨著偏心量比率U的微小變化，系統(tǒng)將呈現(xiàn)出由周期、概周期、混沌等豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

下面以圖2(d)Ud=0.35為研究對(duì)象，通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)說(shuō)明隨速度參數(shù)ω的變化該系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為的變化。

圖3、圖4 分別取速度參數(shù) ωa=1.400，ωb=1.340，ωc=1.280，ωd=1.120 時(shí)，系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)圖和相圖。可以明顯地看到:系統(tǒng)在ωa=1.400時(shí)，其時(shí)間響應(yīng)(圖3(a))呈現(xiàn)一周期態(tài)，該時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相圖(圖4(a))則表現(xiàn)為一條密封的曲線，可見(jiàn)此時(shí)該系統(tǒng)表現(xiàn)為一周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)ωb=1.340時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)(圖3(b))表現(xiàn)為二周期態(tài)，相圖(圖4(b))表現(xiàn)為2條封閉的曲線，可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為二周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)ωc=1.280時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)(圖3(c))表現(xiàn)為四周期態(tài)，相圖(圖4(c))表現(xiàn)為4條封閉的曲線，可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為四周期運(yùn)動(dòng);當(dāng) ωd=1.120時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)(圖3(d))表現(xiàn)為無(wú)規(guī)律波狀，相圖(圖4(d))表現(xiàn)為無(wú)數(shù)多條曲線相互疊加，可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌態(tài)。

圖2 不同偏心量比率下系統(tǒng)的分岔圖

圖3 不同速度參數(shù)ω下系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)圖

圖4 不同速度參數(shù)ω下系統(tǒng)的相圖

3 結(jié)束語(yǔ)

在本文所研究的電磁軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，通過(guò)數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)對(duì)初值變化的敏感度很強(qiáng)，而且很多參數(shù)的變化都會(huì)影響到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，比如偏心量比率、剛度比率、動(dòng)摩擦因數(shù)等。通過(guò)數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)、倍周期分岔、陣發(fā)性分岔、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為都是系統(tǒng)的主要運(yùn)動(dòng)形式，而且混沌運(yùn)動(dòng)存在于一個(gè)很大的參數(shù)空間內(nèi)。

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