楊留猛，俞建寧，安新磊，張文娟，宮興榮

(蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院，蘭州 730070)

在過去的幾十年，混沌系統(tǒng)的構造一直被人們所關注［1－8］。自從1990年Pecora和Carroll［9］首次采用驅(qū)動－響應的方案實現(xiàn)混沌同步，并在電子線路上觀察到混沌同步現(xiàn)象以來，混沌同步就成為人們研究的熱點。文獻［10］根據(jù)混沌同步理論從時間序列中構造出了混沌系統(tǒng)模型。文獻［11］研究了2個隨機耦合RBNS混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象。Miliou等［12］研究了一個滿足混沌同步通信的非線性電子振蕩器。Kuntanapreeda.s［13］根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI法構造了一個使2個相同混沌系統(tǒng)同步的控制器。文獻［14］利用混沌同步理論對Josephson結(jié)進行了有效的控制。

本文首先提出了一個具有復雜混沌吸引子的非線性混沌自治三維系統(tǒng)，采用線性反饋控制方法，通過混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)確定控制參數(shù)的取值范圍，避免了構造Lyapunov函數(shù)所帶來的困難，實現(xiàn)了新系統(tǒng)的同步控制。最后進行了電路實驗，驗證了混沌吸引子的存在性和同步現(xiàn)象。

1 數(shù)學模型

本文構造了一個三維自治混沌系統(tǒng):

其中:x=(x，y，z)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;a，b，c∈R為參數(shù)。系統(tǒng)(1)中只含有2個非線性項?？梢则炞C系統(tǒng)(1)和Lorenz系統(tǒng)族中的每一個系統(tǒng)都不具有拓撲等價性，是一個全新的三維自治混沌系統(tǒng)。當參數(shù)a=5，b=4，c=－4時，系統(tǒng)(1)存在一個混沌吸引子，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

2 線性反饋同步控制及數(shù)值仿真

2.1 線性反饋同步

考慮混沌系統(tǒng):

以系統(tǒng)(2)為主系統(tǒng)，構造從系統(tǒng):

采用線性反饋后得控制系統(tǒng):

令E=X－Y，則式(4)可寫為

其中:G=［g1，g2，…，gn］T為 N 維非線性函數(shù)向量;E=［e1，e2，…，en］T為 N 維誤差狀態(tài)向量;K=diag［k1，k2，…，kn］T為線性反饋控制參數(shù)。

定理1 設k=k1=k2=…=kn，系統(tǒng)(2)的最大Lyapunov指數(shù)為λmax，則當k＞λmax時‖E‖ =0。

本文定義▽V(X)為系統(tǒng)(2)的向量場散度。

由式(4)得

由式(5)得

又因為k=k1=k2=…=kn，所以k＞λmax，定理1得證。

2.2 新系統(tǒng)的數(shù)值仿真

下面構造受控系統(tǒng):

其中k為線性耦合系數(shù)。

定義狀態(tài)誤差信號

直接參照定理1來求取滿足同步條件的k值。當a=5，b=4，c=－4時，可以很容易地求出系統(tǒng)(1)的最大Lyapunov指數(shù)λmax=0.5888。當k＞0.5888時，可以實現(xiàn)系統(tǒng)(6)的同步控制。

圖2 k取不同值時系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線

3 電路實驗

混沌系統(tǒng)的最直接、最簡單的物理實現(xiàn)是通過電路來完成的，許多混沌系統(tǒng)的動力學行為都是通過電路得到的驗證［15］?；陔娮与娐吩O計原理，設計了混沌系統(tǒng)(2)在a=5，b=4，c=－4時的電路，如圖3所示。電路中的運算放大器型號為TL084CN，乘法器型號為AD633(增益為0.1)，電源電壓值為12 V，其余電路元件參數(shù)值見圖3。

系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時的電路方程為

圖3 系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時的電路

根據(jù)圖3所示的電路進行電路實驗，分別在輸出端口接入示波器，得Multisim10.0仿真相圖，如圖4所示，這與圖1的Matlab數(shù)值仿真結(jié)果一致。

圖4 系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時的電路實驗相圖

通過加入線性反饋電路也可以得到系統(tǒng)(6)的電路，如圖5所示。

圖5中:R1=R2=R14=R16=R19=R20=R30=R32=100 kΩ;R3=R8=R9=R13=R15=R21=R26=R27=R29=R31=10 kΩ;R4=R10=R22=R28=20 kΩ;R7=R25=25 kΩ;R5=R6=R11=R12=R17=R18=R23=R24=R33=R34=R35=R36=R37=R38=R39=R41=R42=R43=R45=R46=R47=1kΩ;C1=C2=C3=C4=C5=C6=1 μF。

當 R40=R44=877.19 kΩ，R48=175.44 kΩ 時，k=0.57;當 R40=R44=625 kΩ，R48=125 kΩ 時，k=0.8;當 R40=R44=500 kΩ，R48=100 kΩ 時，k=1;當R40=R44=333.33 kΩ，R48=66.67 kΩ 時，k=1.5。當k取不同值時，系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線如圖6所示。由此可見，電路實驗與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，系統(tǒng)(6)的同步電路是真實存在的。

圖5 系統(tǒng)(6)在a=5，b=4，c=－4時的電路

圖6 系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線

4 結(jié)束語

本文首先提出了一個非線性混沌自治三維系統(tǒng)以及線性反饋控制同步的思想，從理論和數(shù)值2方面對線性反饋同步控制進行了分析和仿真。結(jié)果表明，該控制方法具有普適性，可以應用于其他的混沌系統(tǒng)的同步控制當中。最后利用電路仿真軟件對新系統(tǒng)的一個吸引子及其同步進行了仿真，達到很好的效果。

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