■袁慶祿

改進(jìn)GM-Markov模型的仿真研究：以中國(guó)財(cái)政存款為例

■袁慶祿

一、引言

近幾年我國(guó)財(cái)政存款增長(zhǎng)勢(shì)頭強(qiáng)勁，2011年 10月末猛增到 3.88萬(wàn)億元，在10年內(nèi)增長(zhǎng)7倍。近4萬(wàn)億的中央財(cái)政存款體現(xiàn)中國(guó)財(cái)政體制改革的成果，同時(shí)帶來(lái)一系列現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：巨量庫(kù)底資金的存而不放反襯出財(cái)政存款投資效率極低，與每年的國(guó)債高位發(fā)行形成明顯反差，給貨幣政策甚至宏觀經(jīng)濟(jì)帶來(lái)不容忽視的影響。如何有效提高對(duì)財(cái)政存款的管理能力，其中一個(gè)重要問(wèn)題就是對(duì)未來(lái)中國(guó)財(cái)政存款的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。關(guān)于各種預(yù)測(cè)方法仿真能力的高低，許多學(xué)者較為認(rèn)同統(tǒng)計(jì)計(jì)量方法：Watts(1972)、Lew(1983) 以及 Lorek 和Willinger(1996)曾分別建立低階自回歸模型和多元回歸模型實(shí)施資金流預(yù)測(cè)，國(guó)內(nèi)的陳建奇、李金珊(2007)運(yùn)用ARIMA(1,1,1)模型擬合了政府資金運(yùn)動(dòng)。但是，不同特征的數(shù)據(jù)需要選用合適的仿真方法，例如牛潤(rùn)盛、劉瓊(2010)建立GM(1,1)模型，對(duì)地方財(cái)政存款做過(guò)嘗試性預(yù)測(cè)。本文針對(duì)中國(guó)財(cái)政存款數(shù)據(jù)量少及其波動(dòng)性大的特點(diǎn)，建立改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型 (GM-Markov Model)，通過(guò)2010年中國(guó)政府存款檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)，然后計(jì)算出2011年和2012年中國(guó)政府存款預(yù)測(cè)值。

二、建立GM-Markov模型

中國(guó)財(cái)政存款受眾多因素影響，其中包含著隨機(jī)因素，可將其變化發(fā)展過(guò)程視為隨機(jī)過(guò)程。本文基于中國(guó)財(cái)政存款灰色系統(tǒng)方法，引入Markov鏈預(yù)測(cè)理論，建立中國(guó)財(cái)政存款的GMMarkov模型。

灰色系統(tǒng)理論對(duì)于灰色量的處理，并不尋求其統(tǒng)計(jì)規(guī)律和概率分布，而是從原始數(shù)據(jù)中尋找規(guī)律，即對(duì)數(shù)據(jù)通過(guò)算例規(guī)則處理之后，再建立模型?；疑到y(tǒng)理論中的GM(1,1)模型，主要用于時(shí)間短、數(shù)據(jù)資料少隨機(jī)波動(dòng)不大的系統(tǒng)現(xiàn)象，對(duì)隨機(jī)波動(dòng)較大的序列數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)值偏差就會(huì)變大，擬合程度變低，預(yù)測(cè)精度也不理想。

Markov鏈根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來(lái)推測(cè)一個(gè)系統(tǒng)未來(lái)的變化，描繪出一個(gè)隨機(jī)變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。通過(guò)轉(zhuǎn)移概率能夠反映出各隨機(jī)因素的影響程度，因此Markov鏈適合描述和解決隨機(jī)波動(dòng)較大的預(yù)測(cè)問(wèn)題。GM-Markov模型兼有灰色預(yù)測(cè)和Markov轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)，把兩者結(jié)合起來(lái)，充分利用原始數(shù)據(jù)內(nèi)含的信息，就可以大大提高隨機(jī)波動(dòng)性數(shù)據(jù)列的預(yù)測(cè)精度。

（一）建立 GM(1,1)模型

首先，將原始序列數(shù)據(jù)(例如中國(guó)財(cái)政存款余額)表示成如下形式：

的緊鄰均值生成序列：

于是，GM(1,1)模型的基本形式為：

其中：-α為發(fā)展灰數(shù)；μ為內(nèi)生控制灰數(shù)。對(duì)應(yīng)的白化方程為：利用最小二乘法求解可得：

求解白化方程，即可得其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

相應(yīng)地，GM(1,1)模型基本形式的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

求導(dǎo)還原后可得到：

（二）GM-Markov 模型

Markov鏈?zhǔn)菂?shù)集和狀態(tài)空間都離散的Markov過(guò)程，其特點(diǎn)是無(wú)后效性，即在已知過(guò)程“現(xiàn)在”的條件下，其“將來(lái)”的條件分布不依賴于過(guò)去。因此Markov鏈預(yù)測(cè)模型實(shí)際上是將一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移定量表示的數(shù)學(xué)模型。其轉(zhuǎn)移概率為：

表示系統(tǒng)在n-1時(shí)刻處于i狀態(tài)的情況下，在n時(shí)刻系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到j(luò)狀態(tài)的條件概率。用矩陣形式表示為：

三、GM-Markov模型的應(yīng)用

本文選取中國(guó)財(cái)政存款1997-2009年的年度數(shù)據(jù)，進(jìn)行GM-Markov預(yù)測(cè)。文中的計(jì)算過(guò)程均在DPS7.55軟件上完成。

首先，建立GM(1,1)模型，對(duì)其殘差序列進(jìn)行分析可得：

C=0.1789，p=1.0000，表明該模型是擬合較好。GM(1,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果如表1所示：

表1 GM(1,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果(單位:億元)

根據(jù)相對(duì)誤差的變化范圍，將其劃分為4個(gè)狀態(tài)，如表2所示：

表2 GM-Markov 鏈預(yù)測(cè)的狀態(tài)劃分

依照該狀態(tài)劃分，得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

根據(jù)(13)式，筆者預(yù)測(cè)出下一步即將發(fā)生的結(jié)果是狀態(tài)S2，即2010年中國(guó)財(cái)政存款預(yù)測(cè)值在區(qū)間 (-20%,0)內(nèi)波動(dòng)，可以用區(qū)間均值對(duì)未來(lái)時(shí)刻的預(yù)測(cè)值進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整力度為：

運(yùn)用GM(1,1)模型對(duì)2010年中國(guó)財(cái)政存款余額進(jìn)行了預(yù)測(cè)，將其與運(yùn)用GM-Markov模型的預(yù)測(cè)結(jié)果分別與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示：

表3 2010年中國(guó)財(cái)政存款余額預(yù)測(cè)比較

四、結(jié)論

從結(jié)果來(lái)看，GM-Markov模型對(duì)2010年中國(guó)財(cái)政存款的預(yù)測(cè)值高估了實(shí)際值，相對(duì)誤差為-5.31%，其預(yù)測(cè)精度要遠(yuǎn)高于單純GM(1,1)模型。可見，用GM(1,1)模型可以捕捉中國(guó)財(cái)政存款的變動(dòng)趨勢(shì)，用Markov模型來(lái)模擬隨機(jī)波動(dòng)性，而用二者形成的組合模型有效吸收了二者優(yōu)點(diǎn)，能夠較好地描述中國(guó)財(cái)政存款的走勢(shì)，有很強(qiáng)的適用性。最后，運(yùn)用改進(jìn)的GM-Markov模型，對(duì)2011年和2012年進(jìn)行預(yù)測(cè)。一般來(lái)說(shuō)，在預(yù)測(cè)未來(lái)的中國(guó)財(cái)政存款余額時(shí)，最早年份的資金數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)的影響力度會(huì)逐漸減小，最近年份的資金數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)的影響力度較大。本文采用移動(dòng)轉(zhuǎn)移概率矩陣的方法，即去掉最早年份的原始數(shù)據(jù)并補(bǔ)充新的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，滾動(dòng)向前展開預(yù)測(cè)。結(jié)果為：2011年底中國(guó)財(cái)政存款余額預(yù)計(jì)達(dá)到31086.61億元，2012年底中國(guó)財(cái)政存款余額反而有所下降，為27889.02億元。

（本文系河南省教育廳人文社科項(xiàng)目【2011-ZX-099】）

信陽(yáng)師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院）