鄧東平，李 亮

（中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075）

1 引 言

在邊坡穩(wěn)定性分析方法中，極限平衡法作為一種非常有效的分析方法被廣泛應(yīng)用[1]。目前，極限平衡法多為豎直條分法[2－10]，且在安全系數(shù)求解時(shí)對(duì)條間力所建立的假設(shè)條件也是針對(duì)豎直條分法[11－14]。然而，豎直條分法盡管有其優(yōu)勢(shì)，但當(dāng)邊坡成層巖土體時(shí)，豎向條分體內(nèi)部受巖土體性質(zhì)變化影響較大，這樣會(huì)給計(jì)算帶來(lái)極大的不便[15]，因此，這時(shí)水平條分法更具有適用性。

文獻(xiàn)[16]在一般條分時(shí)通過(guò)借用豎直條分法的條間力假設(shè)條件進(jìn)行了安全系數(shù)的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)條分不再為豎直條分時(shí)，計(jì)算得的安全系數(shù)與豎直條分法相差較大。同時(shí)，在針對(duì)水平條分法研究中，國(guó)內(nèi)外大多數(shù)文獻(xiàn)關(guān)注于有加固措施的邊坡穩(wěn)定性，如加筋土[17－19]、錨桿（索）[20]等。文獻(xiàn)[1, 15]指出，這些研究沒(méi)有針對(duì)普通邊坡的穩(wěn)定性分析，而且要么有些計(jì)算假定過(guò)于復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用，要么有些過(guò)于簡(jiǎn)單，使計(jì)算結(jié)果誤差較大。另外，目前針對(duì)一般邊坡穩(wěn)定性的水平條分法，所涉及到的算例分析一般是認(rèn)為滑動(dòng)面比較適合水平條分劃分，而對(duì)于一般型式下的滑動(dòng)面，如存在一段弓形體時(shí)，水平條分則表現(xiàn)出條分界限不明，弓形體以下水平條分出現(xiàn)兩個(gè)滑動(dòng)底面的缺點(diǎn)。

綜上所述可知，在邊坡穩(wěn)定性水平條分法極限平衡分析中，存在如下不足：①過(guò)少對(duì)水平條分的條間力進(jìn)行分析；②沒(méi)有將豎直條分法與水平條分法的條間力假設(shè)條件相對(duì)應(yīng)；③沒(méi)有在滑動(dòng)面為一般型式的條件下，對(duì)水平條分法如何進(jìn)行穩(wěn)定性分析采取相應(yīng)處理方法。

本文通過(guò)對(duì)水平條分和豎直條分中條間力的關(guān)系進(jìn)行分析，建立起水平條分法與豎直條分法相對(duì)應(yīng)的條間力假設(shè)條件，并對(duì)滑動(dòng)面存在弓形體的一般情況，將水平條分法采用斜條分與水平條分相結(jié)合的模式進(jìn)行處理。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了一些方法在水平條分時(shí)的安全系數(shù)計(jì)算公式。當(dāng)使用圓弧滑動(dòng)面和任意曲線滑動(dòng)面兩種型式時(shí)，通過(guò)算例分析，并與豎直條分法和以往研究成果相對(duì)比，驗(yàn)證了本文針對(duì)水平條分研究的可行性。

2 水平條分存在的問(wèn)題及處理方法

在水平條分法中，以往研究成果對(duì)如下問(wèn)題研究不足：①條間力的分析，如圖 1(a)所示；②滑動(dòng)面型式?jīng)]有針對(duì)更為普遍的情況，如圖1(b)、(c)、(d)所示滑動(dòng)面存在一段弓形體。

圖1 水平條分條間力和存在弓形體的滑動(dòng)面Fig.1 Inter-slice forces of horizontal slice and sliding surface with presence of toxoplasma

2.1 水平條分條間力分析

當(dāng)水平條分法直接使用豎直條分法對(duì)條間力的假定時(shí)需研究其可行性。如圖2所示，abcd為水平土條為豎直土條分別為水平土條 i上下底面的條間法向力和剪切力，分別為豎直土條i左右側(cè)面的條間法向力和剪切力，分別為水平土條i和豎直土條 i共有滑動(dòng)底面的法向力和剪切力，分別為水平土條i和豎直土條i的重力。

圖2 水平條分條間力與豎直條分條間力關(guān)系Fig.2 Relation of inter-slice forces between horizontal slice and vertical slice

圖3 水平條分條間力假設(shè)條件分析Fig.3 Assumption analysis of inter-slice forces of horizontal slice

（2）對(duì)于簡(jiǎn)化Bishop法和簡(jiǎn)化Janbu法，豎直條分：

（3）對(duì)于M-P法，

2.2 一般滑動(dòng)面情況下的處理方法

從圖1（b）、（c）、（d）中的3種滑動(dòng)面情況可知：當(dāng)滑動(dòng)面存在一段弓形體時(shí)，若使用水平條分，則會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)滑動(dòng)底面，因而對(duì)該處土條的受力求解帶來(lái)麻煩，并造成水平條分界限不清的缺點(diǎn)。為此，本文采用如圖4（a）所示的條分法，在下滑點(diǎn)A及其水平延長(zhǎng)線以下的弓形體采用水平間距為且過(guò)A點(diǎn)的斜條分（條分?jǐn)?shù)為n2），下滑點(diǎn)A及其水平延長(zhǎng)線以上仍然采用水平條分（條分?jǐn)?shù)為n1）。

圖4 一般滑動(dòng)面情況下水平條分法的處理Fig.4 Treatment of horizontal slice method undergeneral situation of sliding surface

按照2.1節(jié)所述，在斜條分中，為了建立起與豎直條分相等效的合理?xiàng)l間力假設(shè)條件，本文以式（2）為基礎(chǔ)，得到了如下相應(yīng)計(jì)算方法的斜條條間力假設(shè)條件。

（1）對(duì)于瑞典法：

（2）對(duì)于簡(jiǎn)化Bishop法和簡(jiǎn)化Janbu法：

（3）對(duì)于M-P法：

3 安全系數(shù)計(jì)算方法

如圖5所示，水平條分的土條i上各力對(duì)滑動(dòng)底面法向、切向的力平衡和對(duì)滑動(dòng)底面中心點(diǎn)的力矩平衡如式（3），斜條分的土條j上各力對(duì)滑動(dòng)底面法向、切向的力平衡和對(duì)滑動(dòng)底面中心點(diǎn)的力矩平衡如式（4）。

圖5 水平條分和斜條分受力分析Fig.5 Stress analysis of horizontal slice and oblique slice

（1）瑞典法

由單個(gè)土條體的x軸和y軸平衡，以及滑動(dòng)土體對(duì)滑動(dòng)圓弧圓心的力矩和滿足或土條底面下滑力和抗滑力的總和滿足分別得到安全系數(shù)的計(jì)算式（5）、（6）。

（2）簡(jiǎn)化Bishop法

由單個(gè)土條體的y軸平衡，以及滑動(dòng)土體對(duì)滑動(dòng)圓弧圓心的力矩和滿足得到安全系數(shù)的計(jì)算公式如式（7）。

（3）簡(jiǎn)化Janbu法

由單個(gè)土條體的x軸和y軸平衡，得到安全系數(shù)的計(jì)算公式如式（9）。

同時(shí)，有些文獻(xiàn)[21－22]對(duì)豎直條分法中簡(jiǎn)化Janbu法進(jìn)行了改進(jìn)，即將式（9）分子中的直接乘入到分母，本文也對(duì)式（9）進(jìn)行同樣改進(jìn)，得到安全系數(shù)的計(jì)算公式如式（10）。

（4）M-P法

由單個(gè)土條體的滑動(dòng)底面法向和切向力平衡，以及對(duì)土條滑動(dòng)底面中心點(diǎn)的力矩平衡，得到安全系數(shù)的計(jì)算公式如式（11），及式中水平條分和斜條分時(shí)的各參數(shù)量的計(jì)算如式（12）～（21）。

水平條分時(shí)：

斜條分時(shí)：

水平條分時(shí)

斜條分時(shí)

4 計(jì)算對(duì)比分析

4.1 均質(zhì)邊坡

[23]，選擇 3個(gè)算例進(jìn)行對(duì)比分析，如圖6～8所示。其中，對(duì)于任意曲線滑動(dòng)面，采取文獻(xiàn)[21]方法。算例參見(jiàn)表1。

算例1～3計(jì)算得的最小安全系數(shù)見(jiàn)表2，得到的臨界滑動(dòng)面如圖6～8所示。

從表2可知：本文各方法在水平條分時(shí)，計(jì)算得的安全系數(shù)與豎直條分法和文獻(xiàn)[23]方法較接近，說(shuō)明本文對(duì)水平條分不足所采取的處理方法可行；水平條分法時(shí)，兩種瑞典法計(jì)算的安全系數(shù)基本一致；水平和豎直條分法下的一般簡(jiǎn)化Janbu法（即簡(jiǎn)化Janbu法式（9））計(jì)算得的安全系數(shù)偏小，改進(jìn)的簡(jiǎn)化Janbu法（即簡(jiǎn)化Janbu法式（10））計(jì)算得的安全系數(shù)與簡(jiǎn)化Bishop法和M-P法頗為接近，說(shuō)明改進(jìn)簡(jiǎn)化Janbu法對(duì)邊坡的穩(wěn)定性評(píng)判更準(zhǔn)確些。

從圖6～8可知：水平條分法和豎直條分法下，本文各方法得到的臨界任意曲線滑動(dòng)面和臨界圓弧滑動(dòng)面與文獻(xiàn)[23]得到的臨界滑動(dòng)面較接近；臨界任意曲線滑動(dòng)面近似于圓弧滑動(dòng)面，但表現(xiàn)為非圓弧型；水平條分下的兩種瑞典法得到的臨界圓弧滑動(dòng)面基本相同；一般簡(jiǎn)化Janbu法得到的臨界滑動(dòng)面的范圍較其他方法要大。

表1 算例1～3邊坡參數(shù)Table 1 Slope parameters of examples 1-3

表2 均質(zhì)邊坡算例中最小安全安全系數(shù)對(duì)比Table 2 Contrast of the minimum FOS in homogeneous slope examples

圖6 算例1中的臨界滑動(dòng)面Fig.6 Critical sliding surfaces in example 1

圖7 算例2中的臨界滑動(dòng)面Fig.7 Critical sliding surfaces in example 2

圖8 算例3中的臨界滑動(dòng)面Fig.8 Critical sliding surfaces in example 3

4.2 分層邊坡

分別參考文獻(xiàn)[1, 24－25]，選擇3個(gè)算例進(jìn)行對(duì)比分析，如圖9～11所示。其中，對(duì)于任意曲線滑動(dòng)面，采取文獻(xiàn)[21]方法。

算例4：本邊坡由3層水平土層組成，其下層為基巖。計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表3。在文獻(xiàn)[1]中，假定滑動(dòng)面為圓弧滑動(dòng)面時(shí)，瑞典法計(jì)算得的最小安全系數(shù)為1.321，Bishop法為1.355，Chen-M法為1.357，文獻(xiàn)[1]法為1.367。

算例5：本邊坡由2層土層組成，計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表3。在文獻(xiàn)[24]中，假定滑動(dòng)面為螺旋線時(shí)，由剛體單元上限法得出的最小安全系數(shù)為1.01。

算例6：該邊坡由2層水平土層組成，其計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表3。在文獻(xiàn)[25]中，假定滑動(dòng)面為分段螺旋線時(shí)，通過(guò)極限上限分析法計(jì)算得的最小安全系數(shù)為1.000。

算例4～6計(jì)算得的最小安全系數(shù)見(jiàn)表4，得到的臨界滑動(dòng)面如圖9～11所示。

表3 算例4～6邊坡參數(shù)Table 3 Slope parameters of examples 4-6

表4 分層邊坡算例中最小安全系數(shù)對(duì)比Table 4 Contrast of the minimum FOS in layered slope examples

從表4可知：在分層土坡中，本文水平條分法下的各方法計(jì)算得的安全系數(shù)與豎直條分法和文獻(xiàn)方法相也非常接近，兩種瑞典法計(jì)算得的安全系數(shù)也基本一致；改進(jìn)的簡(jiǎn)化 Janbu法（即簡(jiǎn)化 Janbu法式（10））計(jì)算得的安全系數(shù)仍較一般簡(jiǎn)化Janbu法（即簡(jiǎn)化Janbu法式（9））優(yōu)。

從圖9～11可知：本文水平條分法和豎直條分法下各方法得到的臨界滑動(dòng)面（包括任意曲線滑動(dòng)面和圓弧滑動(dòng)面）與文獻(xiàn)得到的臨界滑動(dòng)面相接近，臨界任意曲線滑動(dòng)面相似于圓弧滑動(dòng)面，但表現(xiàn)為非圓弧型；水平條分法下兩種瑞典法得到的臨界圓弧滑動(dòng)面仍基本相同。

圖9 算例4中的臨界滑動(dòng)面Fig.9 Critical sliding surfaces in example 4

圖10 算例5中的臨界滑動(dòng)面Fig.10 Critical sliding surfaces in example 5

圖11 算例6中的臨界滑動(dòng)面Fig.11 Critical sliding surfaces in example 6

5 結(jié) 論

（1）本文對(duì)水平條分和豎直條分中條間力的關(guān)系進(jìn)行了分析，建立起水平條分法與豎直條分法相對(duì)應(yīng)的條間力假設(shè)條件，并對(duì)水平條分遇到滑動(dòng)面存在一段弓形體時(shí)，采用取斜條分與水平條分相結(jié)合模式，通過(guò)算例對(duì)比分析可知，文中各方法在水平條分時(shí)計(jì)算得的安全系數(shù)與豎直條分法和以往研究成果相接近，得到的臨界滑動(dòng)面也頗為相似，說(shuō)明本文針對(duì)水平條分不足所采取的處理方法可行；

（2）任意曲線滑動(dòng)面方法與圓弧滑動(dòng)面方法計(jì)算得的安全系數(shù)接近，但較圓弧滑動(dòng)面方法整體上偏小，且得到的臨界滑動(dòng)面與圓弧滑動(dòng)面相似，但表現(xiàn)為非圓弧型；

（3）水平條分法中兩種瑞典法計(jì)算得的安全系數(shù)和臨界滑動(dòng)面基本一致，豎直和水平條分法中一般Janbu法計(jì)算得的安全系數(shù)偏小，改進(jìn)簡(jiǎn)化Janbu法計(jì)算得的安全系數(shù)與簡(jiǎn)化Bishop法和M-P法頗為接近，且改進(jìn)簡(jiǎn)化Janbu法較一般Janbu法得到的臨界滑動(dòng)面與其他方法更接近一些。

參 考 文 獻(xiàn)

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