郭 忠

(浙江廣播電視大學 海鹽學院, 浙江 海鹽 314300)

一個平均不等式的反向及其類似

郭 忠

(浙江廣播電視大學 海鹽學院, 浙江 海鹽 314300)

在最近的幾百年中, 關于多個正數的算術平均和幾何平均的差的估計, 是平均不等式研究中的一個持續(xù)熱點.本文利用最值壓縮定理, 給出了算術平均和幾何平均的差的兩個新的估計, 部分地回答了J. M. Aldaz一個公開問題.

算術平均; 幾何平均; 不等式; 最值壓縮定理

引言與引理

在數學、統(tǒng)計學和經濟生活中, 多個正數的算術平均和幾何平均至關重要. 關于它們的差的估計, 也是不等式理論研究中最基礎的一部分, 具體可見文獻[1～7]. 如無特殊說明, 本文恒設

在其注中, 作者問: 不等式(1)式的反向不等式是什么？我們將在本文中研究此問題, 并給出另一個類似不等式. 為此, 先介紹一下所謂的最值壓縮定理, 即下面的引理1至引理3.

引理1[7,P.217～221]設是有內點的對稱凸集,連續(xù)且存在連續(xù)偏導數, 對記

引理2[7,P.217～221]設是有內點的對稱凸集,為連續(xù)的對稱函數, 且存在連續(xù)偏導數, 若不等式上恒成立, 則對于任意的等式成立當且僅當

引理2顯然是引理1的直接推論.

若對引理1進行函數變換, 可得引理3.

引理3[7,P.236～241]設區(qū)間為對稱函數, 且有連續(xù)偏導數, 若不等式上恒成立, 則對于任意的

關于最值壓縮定理的應用, 可參考文獻[7]的第六章.

1 一個不等式的反向不等式

不等式(1)的非加權型反向不等式是

定理1 設的算術平均和幾何平均, 則有

這樣, 在非加權的情況下, 我們回答了J. M. Aldaz提出的一個公開問題[8].

2 一個類似不等式

本節(jié)將繼續(xù)運用最值壓縮定理來證明一個類似不等式, 它是算術平均與幾何平均的差的新上界.

定理2 設則有

故(4)式得證.

[1] 楊克昌. 平均值不等式的一個證明與加強[J]. 湖南數學通訊, 1986(4): 19～20

[2] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 第3版．濟南: 山東科學技術出版社, 2004: 35

[3] D.S.密特利諾維奇．解析不等式[M]. 張小萍, 王 龍, 譯．北京: 科學出版社, 1987: 107～110

[4] Cartwright D. I., Field M. J..A refinement of the arithmetic mean-geometric mean inequality[J]. Proc. Amer. Math.Soc.,1978(71): 36～38

[5] P.S.bullen.Handbook of Means and Their Inequalities[M]. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2003:156

[6] Mercer A Mcd.Improved upper and lower bounds for the difference ofAn-Gn[J]. Rocky Mountain J.Math., 2001(31): 553～560

[7] 張小明, 褚玉明. 解析不等式新論[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學出版社, 2009: 229～230, 233～234

[8] J. M. Aldaz.Self–improvement of the inequality between arithmetic and geometric means[J]. Journal of Mathematical Inequalities, 2009(3): 213～216

Reversion and Analogy of a Mean Inequality

GUO Zhong
(College of Haiyan, Zhejiang Radio & TV University, Zhejiang 314300, China)

In mean inequalities research, the estimation involving the difference between arithmetic mean and geometric mean in variables is continuous for hundreds of years. By means of compressed independent variables theorem, this paper gives the new upper bound of the difference between arithmetic mean and geometric mean, and partly solves an open problem put forward by J. M. Aldaz.

arithmetic mean; geometric mean; inequality; compressed independent variables theorem

O178

A

1672-5298(2012)02-0011-03

2011-12-12

郭 忠(1960- ), 男, 浙江海寧人, 浙江廣播電視大學海鹽學院講師. 主要研究方向: 數學教育, 解析不等式