李彥蒼，恒北北，彭雙紅，程秋月，伴晨光

(河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院，河北邯鄲056038)

可靠度在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用始于20世紀(jì)40年代，其核心內(nèi)容是結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算。工程中常用的可靠指標(biāo)計(jì)算方法主要有一次二階矩法、JC法、梯度優(yōu)化法以及響應(yīng)面法、蒙特卡羅法及隨機(jī)有限元等［1－7]。使用這些方法常會(huì)遇到很多復(fù)雜問題難以解決，如極限狀態(tài)曲面難以解析描述，仿真計(jì)算量大，難以做到有效搜索解空間來找到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間原點(diǎn)至極限狀態(tài)曲面的最短距離［8]以及最弱失效路徑［9]等問題。近幾年來，計(jì)算群體智能算法［10]迅猛發(fā)展，其中粒子群算法(Particle Swarm Optimization PSO)和蟻群算法(Ant Colony Optimization ACO)可用在系統(tǒng)設(shè)計(jì)、多目標(biāo)優(yōu)化、模式識(shí)別、信號(hào)處理、決策制定、工件排序、車輛調(diào)度、建設(shè)工程等領(lǐng)域［11－17]，并表現(xiàn)出在求解組合優(yōu)化問題上所具有的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

本文通過引入信息熵，優(yōu)化參數(shù)τ，對(duì)ACO算法進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)而確定結(jié)構(gòu)失效路徑;再使用PSO算法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠指標(biāo)的求解。并以十桿桁架為例，分別采用響應(yīng)面法、改進(jìn)遺傳算法與本算法對(duì)其可靠度指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析。

1 基于改進(jìn)后的ACO的失效路徑的尋找

1.1 ACO 簡(jiǎn)介

ACO由一系列模擬現(xiàn)實(shí)中蟻群覓食過程的算法組成。以TSP問題為例，設(shè)m是蟻群中螞蟻的個(gè)數(shù)，n為城市數(shù)，τij表示t時(shí)刻在 i j連線上的信息量，ηij為螞蟻由城市i轉(zhuǎn)移到城市j的期望信息。初始時(shí)刻，各條路徑上的信息量相等。Pkij(t)表示在t時(shí)刻螞蟻由位置i轉(zhuǎn)移到位置j的概率，則

信息素的更新公式為

1.2 ACO 改進(jìn)

為了解決基本蟻群算法的過早收斂問題，采用文獻(xiàn)［18] 方法，即通過引入信息熵H，控制信息熵的值，來改進(jìn)參數(shù)τ，進(jìn)而對(duì)蟻群算法進(jìn)行改進(jìn)。開始時(shí)每條路徑都會(huì)有等量的信息素，信息熵取最大值，隨著信息素的增加，信息熵值逐漸變小，繼續(xù)進(jìn)行容易出現(xiàn)早熟以使算法出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，所以此時(shí)通過控制與信息熵有關(guān)的α(t)和β'(t)的值來控制此時(shí)最優(yōu)路徑出現(xiàn)的區(qū)域和信息素更新的范圍，進(jìn)而避免了早熟和停滯現(xiàn)象的發(fā)生，找到最優(yōu)路徑。

1.3 改進(jìn)后的ACO尋找最短失效路徑

所謂失效路徑就是由初始結(jié)構(gòu)所處的狀態(tài)到結(jié)構(gòu)失效狀態(tài)之間的任一條路徑。對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)來說會(huì)有多條失效路徑，每條失效路徑又包括多個(gè)結(jié)構(gòu)單元。其中最弱失效路徑就是結(jié)構(gòu)單元依次按可靠指標(biāo)最小失效，直至整個(gè)結(jié)構(gòu)體系失效的一條路徑［9]。

對(duì)于ACO求解 TSP問題［19]，啟發(fā)式信息 ηij(d為城市i到城市j的距離)，所以當(dāng)通過改ij進(jìn)后的蟻群算法尋找結(jié)構(gòu)失效路徑時(shí)，可以假設(shè)啟發(fā)式信息(β為結(jié)構(gòu)單元的可靠指標(biāo))，螞蟻數(shù)為m，結(jié)構(gòu)單元數(shù)為n

使用ACO尋找失效路徑的操作步驟如下:

1.初始化參數(shù)，τij(0)=0。

2.將m只螞蟻放在n個(gè)結(jié)構(gòu)單元上。

3.按公式(1)計(jì)算每只螞蟻移動(dòng)到下一個(gè)結(jié)構(gòu)單元的概率，根據(jù)概率選擇螞蟻的移動(dòng)方向。

4.m只螞蟻遍歷n個(gè)結(jié)構(gòu)單元后，路徑上的信息素增加。

5.所有路徑信息素按公式(2)(3)更新，進(jìn)行局部尋優(yōu)。

6.多次重復(fù)(3)－(5)步，進(jìn)行全局尋優(yōu)，找出最優(yōu)路徑。

2 基于PSO的可靠指標(biāo)計(jì)算模型

2.1 PSO 簡(jiǎn)介

PSO將每個(gè)個(gè)體看成搜索空間中的一個(gè)沒有體積的粒子，在空間中以一定的速度飛行。對(duì)于第i個(gè)粒子，它經(jīng)歷的最好位置為Pbest，記為Pi，在群體中所有粒子經(jīng)歷過的最好位置為gbest，記為Pg。粒子根據(jù)如下公式來更新自己的位置和速度

式中，ω－慣性權(quán)重;c1和c2－加速度常數(shù);rand1和rand2－兩個(gè)在［0，1] 范圍內(nèi)的隨機(jī)函數(shù);－第k次迭代粒子i的飛行速度－第k次迭代粒子i的位置。

2.2 模型建立

在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β的幾何意義是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離。

x1，x2，…，xn是結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量，由這些隨機(jī)變量組成的極限狀態(tài)方為z=g(x1，x2，…，xn)=0。

把β看成極限狀態(tài)曲面上點(diǎn)P(x1，x2，…，xn)的函數(shù)，通過優(yōu)化求解，找到β最小值。

約束優(yōu)化模型:

式中，μxi，σxi－隨機(jī)變量 xi的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。

采用罰函數(shù)法將式(6)變成相應(yīng)的無約束優(yōu)化問題:

式中，M－相應(yīng)的罰因子(足夠大的正數(shù))，相應(yīng)的項(xiàng)為罰項(xiàng)。

粒子群算法的流程如圖1所示。

3 實(shí)例分析

10桿桁架結(jié)構(gòu)如圖2所示，各桿的橫截面積為正態(tài)分布的基本變量，均值為6.452×10－3m2，變異系數(shù)為 0.05，楊氏模量為 6.895 ×1010pa，施加的荷載為p1=p2=4.45×105N，結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)取為桁架的最大位移不超過最大允許位移為0.101 6m，求此時(shí)的可靠度。

首先采用改進(jìn)的ACO確定結(jié)構(gòu)的失效路徑，進(jìn)而通過PSO算法對(duì)可靠指標(biāo)進(jìn)行求解。在求解過程中，每代產(chǎn)生20個(gè)粒子數(shù)。粒子群算法的迭代收斂過程如圖3所示。圖中表示最優(yōu)粒子的迭代收斂過程圖，可以看出在第十次迭代過程中最優(yōu)粒子已經(jīng)收斂達(dá)到最好的精度，隨著進(jìn)一步迭代全部粒子收斂到最優(yōu)值。此算法經(jīng)過十次迭代，得到的可靠指標(biāo)為0.682 37，相應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)坐標(biāo)為(6.311 0，6.436 6，6.315 0，6.443 6，6.452 6，6.443 6，6.384 5，6.389 0，6.428 4，6.409 5)，從文獻(xiàn)［21] 中可以得到響應(yīng)面法與遺傳算法在計(jì)算本結(jié)構(gòu)時(shí)的可靠指標(biāo)及相應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)坐標(biāo)。三種算法計(jì)算結(jié)果比較見表1。

與響應(yīng)面法［20]的迭代過程相比，PSO采用較少的粒子數(shù)，就能達(dá)到較好的計(jì)算精度。與遺傳算法［21]相比，PSO算法由于具有強(qiáng)大的全局尋優(yōu)能力，迭代收斂速度快，對(duì)于處理復(fù)雜的極限狀態(tài)方程問題，具有良好的適用性。

表1 三種算法計(jì)算結(jié)果比較Tab1.Three algorithms comparison of results

4 結(jié)論

1)引入信息熵，對(duì)參數(shù) 進(jìn)行調(diào)整，避免了ACO的早熟和停滯現(xiàn)象發(fā)生，快速的找到最優(yōu)路徑。

2)在ACO找到最優(yōu)路徑的情況下，PSO能夠通過較少的粒子數(shù)，快速收斂，求出更準(zhǔn)確的目標(biāo)函數(shù)值。

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