鄒 飛，李海波，周青春，朱小明，莫振澤，何恩光，趙 羽,

(1. 中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071；2. 貴州省質(zhì)安交通工程監(jiān)控檢測中心有限責(zé)任公司，貴陽 550000；3. 北方重工盾構(gòu)機(jī)公司，沈陽 110041；4. 浙江大學(xué) 現(xiàn)代制造工程研究所，杭州 310027)

1 引 言

巖石的損傷和破壞是一個(gè)漸進(jìn)的過程，往往表現(xiàn)為微裂紋的萌生、擴(kuò)展和貫通，通過微觀測量來定量刻畫巖石損傷演化所導(dǎo)致的力學(xué)性質(zhì)的劣化是十分必要的。數(shù)字散斑相關(guān)方法作為一種全場非接觸式測量手段，其關(guān)鍵在于所選擇基準(zhǔn)圖像與變形后圖像的相關(guān)性分析。該方法也被眾多研究者[1－7]用于巖石類材料損傷、破壞機(jī)制的研究中。馬少鵬等[1]采用數(shù)字圖像灰度相關(guān)性分布的標(biāo)準(zhǔn)差為統(tǒng)計(jì)指標(biāo)表征巖石變形和破裂的發(fā)展，并通過試驗(yàn)證明灰度性的分布演化與結(jié)構(gòu)的變形局部化演化在空間和時(shí)間上都存在對應(yīng)關(guān)系，該方法介于定性描述與定量分析之間。趙永紅等[4]采用數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)研究了含微裂紋巖石的變形，用相關(guān)技術(shù)處理灰度分布圖獲得位移場，對加載和卸載試件表面的灰度分布圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，獲得位移分布與裂紋分布的關(guān)系。朱珍德等[5]通過對紅砂巖試樣應(yīng)變響應(yīng)和表面裂紋圖像的同步觀測試驗(yàn)以及試樣表面細(xì)觀裂紋萌生、擴(kuò)展圖像信息的采集和量化，提出了用數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)處理不同含水狀態(tài)下紅砂巖試樣動態(tài)變形過程中的灰度分布圖，探討了紅砂巖動態(tài)損傷狀態(tài)與其宏觀力學(xué)之間的關(guān)聯(lián)。在對細(xì)觀結(jié)構(gòu)劣化的描述中，很多學(xué)者采用簡單分形維和多重分形譜來進(jìn)行刻畫[8－13]。彭瑞東[8]通過灰?guī)r拉伸過程中表面細(xì)觀形貌的SEM數(shù)字圖像，采用分形維數(shù)描述損傷的發(fā)展過程。曹茂森[9,13]采用多重分形譜理論研究了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂紋的分形特征，通過分形特征量來衡量結(jié)構(gòu)損傷的程度。

本文以石膏試件的單軸壓縮試驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過試件表面數(shù)字圖像灰度相關(guān)系數(shù)的變化來表征試件表面損傷狀態(tài)的演化過程。對不同時(shí)刻的灰度相關(guān)系數(shù)圖進(jìn)行圖像處理，采用分形維數(shù)和多重分形譜定量描述材料表面細(xì)觀損傷狀態(tài)在時(shí)間和空間上的演化過程。

2 數(shù)字圖像原理

2.1 數(shù)字圖像灰度的相關(guān)性

圖像可以定義為一個(gè)二維函數(shù)f(x, y)，其中x和y是平面坐標(biāo)，f是圖像在該點(diǎn)的振幅，也稱為該點(diǎn)處的亮度。將圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)字形式的結(jié)果是獲得一個(gè)實(shí)數(shù)矩陣。對一幅圖像f(x, y)進(jìn)行取樣后，得到m行n列的數(shù)組，這幅圖像大小即為m×n，數(shù)組的每一個(gè)元素稱為像素。灰度則是指黑白圖像中點(diǎn)的顏色深度，范圍為0～255，白色為255，黑色為0。

數(shù)字圖像的灰度分布 f(x, y)和g(x′, y′)，分別為初始點(diǎn)F(x, y)和移動點(diǎn)G(x′, y′)處的灰度值，在兩幅圖上的兩點(diǎn)間的水平、垂直位移分量u(x, y)和v(x, y)可以由下式[4]給出：

在荷載作用下，變形前后相關(guān)點(diǎn)的灰度強(qiáng)度具有如下映射關(guān)系：

在基準(zhǔn)圖像中取一個(gè)包含點(diǎn)F(x, y)的具有m×n像素的子集f(m, n)。在變形圖像中同樣劃分m×n的小區(qū)域g(m, n)。這兩個(gè)圖像子集的灰度相關(guān)性按下式[6]進(jìn)行計(jì)算：

2.2 灰度相關(guān)性和損傷的關(guān)系

由式（4）可知，相關(guān)系數(shù) C是變形前后圖像小區(qū)域的灰度分布函數(shù) f(m, n)和g(m, n)的函數(shù)。在荷載作用下，由于材料的不均一性、原始微裂紋的擴(kuò)展，局部應(yīng)力集中產(chǎn)生的顆粒剝離等導(dǎo)致試件拍攝面的圖像灰度在時(shí)間和空間上發(fā)生很大的變化，導(dǎo)致g改變增大，C值減小。文獻(xiàn)[1]通過相關(guān)性與變形的關(guān)系模擬試驗(yàn)證明，大變形與低相關(guān)度是對應(yīng)的，因此，灰度相關(guān)性在一定程度上反映了試件表面的變形程度。0

圖1 散斑圖及其相關(guān)系數(shù)等值線圖Fig.1 Speckle images and contours of correlation coefficient

按相關(guān)性公式（4），在基準(zhǔn)圖像（見圖 1(a)）中間區(qū)域選擇一個(gè)20×20像素點(diǎn)的方格區(qū)域，在圖1(a)、圖 1(b)中進(jìn)行匹配。在對兩幅散斑圖進(jìn)行灰度相關(guān)性計(jì)算后，由圖 1(c)可知，在圖像中心區(qū)域有很好的單峰性，即在該區(qū)域有最佳匹配點(diǎn)，其灰度相關(guān)系數(shù)峰值為 1，說明采用的相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式有很高的精度。圖1(b)是在圖1(a)基礎(chǔ)上添加隨機(jī)噪聲獲得的。采用該方法來模擬荷載作用下材料的劣化引起的灰度變化，由圖1(d)可知，峰值明顯降低，但單峰性依然明顯，其峰值為0.7?？梢娛剑?）對荷載作用下由于材料的劣化所引起灰度變化在空間上仍然有很好的匹配定位性。從而使得基于灰度相關(guān)系數(shù)峰值改變量和描述巖石空間損傷的損傷狀態(tài)之間建立起對應(yīng)關(guān)系成為可能。

3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 試件、試驗(yàn)裝置

為了獲得材料力學(xué)性質(zhì)相對均一的試樣，采用高強(qiáng)度石膏在鋼模中澆注試件（保證試件表面較高的平整度），試件尺寸為5 cm×5 cm×10 cm的立方柱。為了使整個(gè)拍攝面的灰度反差較大有利于空間匹配，在試件表面用黑色玻璃微珠漆進(jìn)行噴涂，形成隨機(jī)人工散斑場。采用RMT-150型巖石力學(xué)試驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行單軸壓縮加載，加載速率為0.005 mm/s。在整個(gè)試件加載過程中用 CCD相機(jī)實(shí)時(shí)記錄試件表面散斑場的變化，采集分析軟件為DSCM觀測系統(tǒng)[1－3]，該系統(tǒng)的核心是圖像灰度相關(guān)性分析，對整個(gè)圖像先進(jìn)行像素搜索，后進(jìn)行亞像素搜索，獲得最佳匹配點(diǎn)，并獲得拍攝面的位移場和應(yīng)變場。圖像采集系統(tǒng)的采集速率可控，最高為17幀/s，整個(gè)試驗(yàn)過程共記錄約450幅圖像。

3.2 相關(guān)性分布演化與荷載對應(yīng)關(guān)系

單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示，整個(gè)曲線階段性明顯，將曲線分為以下5個(gè)階段：

圖2 加載過程中應(yīng)力-應(yīng)變曲線及St演化曲線Fig.2 Evolution curve of Stand stress-strain curve during loading process

（1）OA：彈性階段，試件變形符合彈性變形，此段近似直線，符合線彈性本構(gòu)關(guān)系；

（2）AB：硬化階段，A點(diǎn)為屈服極限，從該點(diǎn)開始試件產(chǎn)生塑性變形；

（3）BC：快速軟化階段，應(yīng)變迅速增加，而應(yīng)力不斷減??；

（4）CD：近似理想塑性階段，其特點(diǎn)是應(yīng)力無明顯變化，應(yīng)變不斷增加，該階段應(yīng)力-應(yīng)變呈理想塑性本構(gòu)關(guān)系；

（5）DE：破壞階段，應(yīng)力迅速跌落，試件壓碎破壞，僅保持一定的殘余強(qiáng)度。

在采集圖像中截取感興趣的代表性區(qū)域（ROI）進(jìn)行計(jì)算，截取過程中盡量靠近試件的中間部位，又必須包含盡可能多的物面信息，減小加載過程中端部效應(yīng)的影響。

采用文獻(xiàn)[1]的方法，通過不同時(shí)刻圖像與基準(zhǔn)圖像對比計(jì)算，以獲得的灰度相關(guān)性系數(shù)的標(biāo)?準(zhǔn)差St為統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，其定義為

式中：Ckl為t時(shí)刻變形圖像中第k個(gè)小區(qū)域的相關(guān)系數(shù)值為t時(shí)刻變形圖像中m×n個(gè)小區(qū)域的相關(guān)系數(shù)值的均值。

從圖2中可知，在加載初期由于試件原始裂隙的壓實(shí)導(dǎo)致試件表面灰度調(diào)整，使St值有輕微擾動。在 OA、AB段標(biāo)準(zhǔn)差值變化不是很明顯；BC段中期由于微裂紋的出現(xiàn)，St值有明顯的陡增；CD段由于微裂紋的大量產(chǎn)生和擴(kuò)展，St值迅速增加；DE段，試件變形急劇增大，表面宏觀裂紋產(chǎn)生和貫通，導(dǎo)致C值大幅度降低，St值以更大的速率增加?？梢娫摻y(tǒng)計(jì)指標(biāo)能有效反映試件損傷變形的各個(gè)階段的特征。

3.3 損傷閾值的選取

假定OA階段為完全彈性階段，以AB段起點(diǎn)時(shí)刻A點(diǎn)（彈性應(yīng)力上限）的試件表面灰度圖相關(guān)系數(shù)圖為閾值選取的基準(zhǔn)圖，如圖3(a)所示（以O(shè)點(diǎn)時(shí)刻的灰度圖為基準(zhǔn)圖像計(jì)算獲得）。為了獲得該時(shí)刻灰度相關(guān)系數(shù)的概率分布密度，采用核密度估計(jì)法。

一元連續(xù)的總體樣本在任意點(diǎn)x處的總體密度函數(shù)f(x)的核函數(shù)密度估計(jì)定義為

式中：K()稱為核函數(shù)；h稱為窗寬。

具體方法為：將通過DSCM系統(tǒng)計(jì)算獲得的灰度相關(guān)系數(shù)圖由二維矩陣轉(zhuǎn)換為一維矩陣。將該一維矩陣作為總體樣本，采用 Gaussian核函數(shù)，h=0.0011，求得核密度估計(jì)曲線如圖3(b)所示。核密度估計(jì)曲線與灰度相關(guān)系數(shù)的頻率直方圖符合的很好，為了進(jìn)行對比，另外采用正態(tài)分布估計(jì)進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)灰度相關(guān)系數(shù)的頻率直方圖與均值為0.9793，標(biāo)準(zhǔn)差為0.0101的正態(tài)分布曲線也非常的接近。

圖3 相關(guān)系數(shù)等值線圖及頻率直方圖、密度分布圖Fig.3 Contour, frequency histogram, density distribution of correlation coefficient

為了建立損傷和灰度相關(guān)系數(shù)改變量之間的關(guān)系，依據(jù)灰度相關(guān)系數(shù)的密度分布圖（見圖3(b)），并認(rèn)為占總數(shù)0.05的最小值部分為初始損傷和采集過程中噪聲污染之和，該部分對應(yīng)的最大 C值為0.9605。以0.9605為二值化轉(zhuǎn)換閾值對整個(gè)灰度相關(guān)系數(shù)圖進(jìn)行圖像處理，C＜0.9605則認(rèn)為該點(diǎn)發(fā)生大的變形，處于損傷或破壞狀態(tài)，在圖像矩陣中將其賦值為1；C＞0.9605則認(rèn)為未損傷，將其賦值為 0。建立以時(shí)間為序列的損傷演化二值圖（二值圖中1代表白色像素，0代表黑色像素）。從AB、BC、CD、DE段中間時(shí)刻各選取一幅具有代表性的圖，如圖4所示。

圖4 損傷演化二值圖Fig.4 Binary images of damage evolution

這里將發(fā)生損傷或破壞的微元數(shù)Nd（白色像素總數(shù)）與微元總數(shù)N（像素總數(shù)）的比值定義為損傷變量 Dd，其范圍為 0～1。則試件表面的損傷演化如圖5所示，在加載初期，處于彈性階段，試件無明顯損傷，隨著應(yīng)變的增加，損傷也隨之明顯增加，在破壞時(shí)有明顯的急速上升。

圖5 加載過程中應(yīng)力-應(yīng)變曲線及Dd演化曲線Fig.5 Evolution curve of Ddand stress-strain curve during loading process

4 損傷分形特征

分形幾何是研究自然界不規(guī)則現(xiàn)象及其內(nèi)在規(guī)律的學(xué)科。巖石材料損傷和破壞過程是其內(nèi)部缺陷不斷萌生發(fā)育、擴(kuò)展、聚集和貫通的最終結(jié)果，這個(gè)從細(xì)觀損傷發(fā)展到宏觀破碎的過程具有分形性質(zhì)[8]。但整個(gè)發(fā)展過程并不嚴(yán)格滿足自相似性的分形，往往只具有統(tǒng)計(jì)自相似性。對于上節(jié)損傷演化二值圖中損傷微元的分布，本文從統(tǒng)計(jì)自相似性出發(fā)，用分維數(shù)定量描述試件表面的損傷程度。

4.1 分形測定方法及特征

分維數(shù)的測定采用基于圖像處理的盒維數(shù)法[9]，具體方法如下：將相關(guān)系數(shù)分布圖進(jìn)行閾值處理以后，獲得二值圖（本文中圖像像素為177×399），用邊長為l的方格（在圖像中為l個(gè)像素點(diǎn)），計(jì)算圖像被邊長為l的方格覆蓋占有的方格數(shù)N(l)，不斷改變方格邊長l的大小，并計(jì)算其相應(yīng)的N(l)，可得到一組N(l)和l數(shù)據(jù)。根據(jù)盒維數(shù)的基本定義，損傷分維數(shù)D可由下式計(jì)算：

lgN(l)-lg(1/l)的曲線如圖 6所示，兩者呈線性關(guān)系，相關(guān)系數(shù) R=0.9865，表明損傷微元分布具有自相似性，可以用分形進(jìn)行表述。

為獲得圖2中各個(gè)階段的損傷與應(yīng)變的對應(yīng)關(guān)系，從塑性變形開始往后各階段的中間部分（避免轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的突變）以5 s為時(shí)間間隔，獲得各個(gè)階段損傷演化二值圖。AB段選擇7幅圖，BC階段9幅圖，CD階段9幅圖，DE階段6幅圖。分別計(jì)算各階段在不同應(yīng)變條件下的分形維數(shù)。

在對不同階段下相應(yīng)損傷演化二值圖進(jìn)行分形分析后，提取各個(gè)所選二值圖的分形維數(shù)。其維數(shù)的變化如圖7所示，隨著應(yīng)變增加，各階段分形維數(shù)的范圍為 1.011～1.055、1.092～1.208、1.210～1.362、1.365～1.469，最小值為 1.011，最大值為1.469?？梢婋S著應(yīng)變的增大，材料表面細(xì)觀結(jié)構(gòu)的損傷程度增加，其對應(yīng)的損傷演化二值圖上的損傷微元越來越多，分形維數(shù)也隨之增大；損傷微元由整體隨機(jī)分布，向局部集中發(fā)展。宏觀上表現(xiàn)為微裂紋的萌生、擴(kuò)展，宏觀裂紋的出現(xiàn)。盒維數(shù)的大小反應(yīng)了損傷的集中程度。不同階段分形維數(shù)和應(yīng)變的一元線性回歸擬合系數(shù)分別為 0.0305、0.0567、0.0738、0.0930，由此可知，在不同階段損傷的發(fā)展是一個(gè)逐漸加快的過程，也從另外一個(gè)方面反應(yīng)了試件加載作用下，力學(xué)性質(zhì)加速劣化直到破壞的過程。

圖7 損傷分形維數(shù)與應(yīng)變關(guān)系圖Fig.7 Relationships between fractal dimension and strain

4.2 多重分形測定方法

簡單的分形維數(shù)對試件表面損傷的演化只能作整體性、平均性的描述與表征。多重分形是定義在分形結(jié)構(gòu)上的由無窮多個(gè)標(biāo)度指數(shù)所組成的集合，是通過一個(gè)譜函數(shù)來描述分形結(jié)構(gòu)上不同的局域條件或分形結(jié)構(gòu)在演化過程中不同層次所導(dǎo)致的特殊結(jié)構(gòu)行為與特征，是從系統(tǒng)的局部出發(fā)來研究其整體的特征，并借助統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的方法來討論特征參量概率測度的分布規(guī)律[10]。

本文采用Ghhabra和Jensen[11]于1989年提出的計(jì)算多重分形譜的方法，首先用邊長為l的方格對圖像進(jìn)行分網(wǎng)，損傷分布的總像素點(diǎn)為N，第i個(gè)方格所包括的損傷區(qū)域（白色像素點(diǎn)）為Ni，從而得到每個(gè)尺度為l的方格中分形圖像的概率測度：

Pi(l)的歸一化概率測度為

式中：q為權(quán)重因子，不同的q表示不同大小的概率測度 Pi(l)在配分函數(shù)pi(l)q中所具有的比重。

a(q)為描述概率測度局部奇異性強(qiáng)度的參數(shù)，表示多重分形集整體奇異性的平均值，其表達(dá)式為

f(a)為用奇異性標(biāo)度指數(shù)標(biāo)識的分形子集的Hausdorff維數(shù)，其表達(dá)式為

奇異譜 f[ a (q)]為 q∈(-∞,+∞)的單參數(shù)曲線,由于 f[ a (q)]與a(q)有惟一對應(yīng)性，不同的a(q)及其所對應(yīng)的 f[ a (q)]便構(gòu)成多重分形的維數(shù)譜。

多重分形譜繪制的具體步驟為：首先程序讀入損傷二值圖，統(tǒng)計(jì)損傷微元總數(shù)N（圖像中白色像素點(diǎn)總數(shù)），再對二值圖像進(jìn)行網(wǎng)格劃分（2n，n=1～8），程序?qū)D像中劃分的網(wǎng)格進(jìn)行逐個(gè)識別統(tǒng)計(jì)，獲得每一方格損傷微元數(shù)目Ni，建立概率測度Pi=Ni/N，讀入q值，通過式（9）建立 ui(q, l)，計(jì)算獲得 ∑ui(q, l) lg[ui(q, l)]和 ∑ui(q, l) lg[pi(l)]的數(shù)值，并分別與lgl建立數(shù)據(jù)對，對上述兩組數(shù)據(jù)對采用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸擬合，擬合出a(q)和 f[ a (q)]值，即可繪制多重分形譜圖?；谝陨纤悸罚肕atlab編制了基于數(shù)字圖像處理的多重分形譜計(jì)算程序。

4.3 損傷演化多重分形特征

圖8 ε=0.35%時(shí)多重分形譜Fig.8 Mutifractal spectrum with ε=0.35%

表1中僅列出應(yīng)變?yōu)?.35%、0.70%、0.88%時(shí)的多重分形譜值。實(shí)際計(jì)算中 q取值范圍為-10～10，步長為 0.1。多重分形譜中大的a(q)反映的是小概率測度區(qū)域的性質(zhì)，小的a(q)反映的是大概率測度區(qū)域的性質(zhì)。圖9為圖4中4個(gè)不同應(yīng)變條件下?lián)p傷演化二值圖的多重分形譜圖，其曲線由開始的對稱單峰形式，逐漸發(fā)展為左側(cè)相對集中，右側(cè)稀疏的鉤狀。 a(q)-f[ a(q)]曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)在左側(cè)逐漸相對集中，表明大概率分布逐漸占主導(dǎo)地位，損傷演化從整體隨機(jī)均勻分布，到局部集中的過程。

圖9 多重分形譜Fig.9 Multifractal spectrum

多重分形譜比簡單分形包含了更豐富的結(jié)構(gòu)信息，可以從分形譜中提取低維特征量來表征損傷的內(nèi)在分形機(jī)制。當(dāng)q=0、1、2時(shí)，D0為容量維，D1為信息維，D2為關(guān)聯(lián)維，其數(shù)值見表 2，三者的關(guān)系為D0>D1>D2。

表2 不同應(yīng)變下D0、D1和D2的值Table 2 Values of D0, D1and D2at different strains

多重分形譜的寬度Δa=a (q)max-a(q)min的大小則反映了整個(gè)分形結(jié)構(gòu)上概率測度分布的不均勻性的程度。Δa越大，表示損傷分布越不均勻，Δa越小，則表示損傷分布相對集中。ε=0.35%時(shí)，譜寬為0.381， a(q)-f(q)曲線呈對稱分布；ε=1.00%時(shí)，譜寬為 0.345，a(q)-f[ a (q)]曲線相對集中，其多重分形性相對減弱，損傷演化的奇異性也減小（見表3）。

表3 不同應(yīng)變下Δα的值Table 3 Values of Δα at different strains

5 結(jié) 論

（1）荷載作用下，試件表面的數(shù)字圖像灰度相關(guān)性和試件表面的損傷演化在時(shí)間和空間上存在對應(yīng)關(guān)系，并可以用灰度相關(guān)系數(shù)C值的變化來對損傷狀態(tài)進(jìn)行表述。

（2）通過簡單分形維數(shù)對由灰度相關(guān)系數(shù)建立的損傷演化二值圖進(jìn)行刻畫，發(fā)現(xiàn)在各個(gè)不同階段，損傷分維數(shù)與應(yīng)變呈線性關(guān)系。不同階段的增長速率不同，越接近破壞，增長速率越大。反映了材料在荷載作用下的加速劣化、破壞過程。

（3）通過多重分形譜反映了試件表面損傷演化在分形結(jié)構(gòu)上不均勻分布的性質(zhì)。其曲線形狀從開始的對稱光滑單峰形式，逐漸向左側(cè)集中發(fā)展，其譜寬逐漸減小，大概率分布逐漸占主導(dǎo)地位，反映了損傷演化從整體隨機(jī)分布，到局部集中的過程。

本文采用概率統(tǒng)計(jì)的方法，建立圖像灰度相關(guān)系數(shù)的改變和試件表面損傷狀態(tài)之間的關(guān)系，并對材料表面的細(xì)觀結(jié)構(gòu)破壞進(jìn)行了表述。文中僅僅對損傷狀態(tài)進(jìn)行表述，更深層次的損傷機(jī)制及程度則需要更進(jìn)一步的研究。

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