任全紅

（綿陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川 綿陽 621000）

一、概述

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)顯著特點(diǎn)是反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視揭示獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的思維過程。在此過程中，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中“過程與方法”目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)以下六個(gè)思想的深入探究：函數(shù)與方程的思想、數(shù)與形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、特殊與一般的思想、或然與必然的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，這是對(duì)數(shù)學(xué)思維過程目標(biāo)的具體化。對(duì)于數(shù)學(xué)思維的突出強(qiáng)調(diào)，也是國際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征。然而，就我國數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)而言，上述理念并未得到很好的貫徹，主要表現(xiàn)為：忽視概念形成的過程；忽視問題的發(fā)現(xiàn)以及規(guī)律的揭示過程；排斥結(jié)論的探究和推導(dǎo)過程。其實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，要重視數(shù)學(xué)思維過程的呈現(xiàn)，以此作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的切入點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

有效教學(xué)并不是一個(gè)新名詞，自教學(xué)誕生以來，教育者就在追求有效教學(xué)。教育的歷史與實(shí)踐表明：任何教育活動(dòng)要想真正卓有成效，就必須建立在對(duì)學(xué)習(xí)者的充分理解和認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，樹立關(guān)注學(xué)生的進(jìn)步或發(fā)展、關(guān)注教學(xué)效益、關(guān)注可測(cè)性或量化的教學(xué)理念。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)關(guān)注如何設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)過程?如何充分揭示數(shù)學(xué)思維活動(dòng)？有效地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，形成良好思維品質(zhì)和合理數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。本文將圍繞著上述方面作進(jìn)一步的分析研究。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)過程的分析

教育心理學(xué)研究表明，教學(xué)從根本上來說，是一個(gè)師生雙方在認(rèn)知與情感兩方面進(jìn)行交互作用的過程。在具體教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)過程存在以下這些特征。

其一，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)再創(chuàng)造的過程。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)主要方式是間接的書本知識(shí)和間接經(jīng)驗(yàn)，但這種間接經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來說仍然是一種探索未知領(lǐng)域新知識(shí)的過程，這一點(diǎn)與數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新規(guī)律是一致的。要使知識(shí)在學(xué)生頭腦里生根，就必須把數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、思想、方法按照原來發(fā)生、形成、發(fā)展的過程和規(guī)律再現(xiàn)出來，知其然還要知其所以然，充分暴露數(shù)學(xué)思維的過程，使學(xué)生真正理解所學(xué)知識(shí)。

其二，教學(xué)過程的本質(zhì)是學(xué)生的認(rèn)識(shí)實(shí)踐過程，符合一般認(rèn)識(shí)過程的規(guī)律。這其間要經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，這本身就是一個(gè)抽象概括的思維過程。只有積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生自己主動(dòng)地去認(rèn)知，才能轉(zhuǎn)化成學(xué)生頭腦里的新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是教師無法替代的。教師要做的是在教學(xué)中始終注重?cái)?shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，把獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的思維過程充分揭示、展示給學(xué)生，教會(huì)學(xué)生怎樣去思考，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

其三，數(shù)學(xué)教學(xué)過程是三種思維活動(dòng)的不斷演進(jìn)過程，即數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)（體現(xiàn)在教材中）、數(shù)學(xué)教師的思維活動(dòng)、學(xué)生的思維活動(dòng)。由于數(shù)學(xué)教材編寫特點(diǎn)，呈現(xiàn)的是知識(shí)的邏輯體系，隱含了知識(shí)發(fā)生、形成、發(fā)展的過程以及抽象概括的思維過程，使得教材知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)識(shí)水平之間存在較大差異，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)。教師在教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，指導(dǎo)與調(diào)控學(xué)生的思維活動(dòng)，逐步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)會(huì)思考與學(xué)習(xí)，從而達(dá)到有效的數(shù)學(xué)教學(xué)。對(duì)此，我們作具體的分析研究，切實(shí)促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

三、實(shí)現(xiàn)課堂有效教學(xué)的途徑

（一）重視剖析知識(shí)的形成、發(fā)展過程

教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程；解題思路的探索過程；解題方法和規(guī)律的概括過程。使學(xué)生在這些過程中展開思維，發(fā)展能力。例如，數(shù)學(xué)家希爾伯特在任教時(shí)，常常在課堂上即興提出一些新的數(shù)學(xué)問題，并立即著手解決。雖然他并非每次都能得到圓滿的解答，甚至有時(shí)把自己“掛”在黑板上，但他展現(xiàn)的思維過程卻能使學(xué)生受益匪淺。華羅庚在自己的教學(xué)生涯中，也一向重視概念產(chǎn)生、命題形成及思路獲得的思維過程的教學(xué)，并著意回答學(xué)生提出的“你是如何想出來的”一類問題。這些事例都說明了教學(xué)中充分展示數(shù)學(xué)思維過程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要作用。在教學(xué)過程中，可關(guān)注以下三個(gè)方面：①怎樣從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題；②怎樣對(duì)實(shí)際問題和已有知識(shí)進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括；③怎樣選取并綜合已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行判斷、推理、得出規(guī)律的思維過程。上述過程，恰恰就是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新規(guī)律的思維活動(dòng)，更是當(dāng)今我們要培養(yǎng)學(xué)生的一種獨(dú)立獲取新知識(shí)的學(xué)習(xí)能力，一種進(jìn)行創(chuàng)造性思維的能力。

例如：橢圓定義的教學(xué)，可設(shè)計(jì)如下的教學(xué)環(huán)節(jié)。

（1）復(fù)習(xí)圓的定義，并用一段無彈性的繩子做幾個(gè)圓心位置不同，半徑不同的圓（為下一步的類比做鋪墊）。

（2）設(shè)想定點(diǎn)由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)，且更換命題——到兩定點(diǎn)距離和等于定值，結(jié)果會(huì)怎樣?借助手中的繩子和圓規(guī)把命題敘述的這一結(jié)果表達(dá)出來。

（3）將一根繩子系在圓規(guī)的兩腳下端，用粉筆套住繩子，在黑板上移動(dòng)粉筆，可畫出一個(gè)封閉的幾何曲線，改變圓規(guī)的位置，再做出幾個(gè)這樣的封閉曲線。即得到新曲線——橢圓。

（4）探索繩子長度（定值）與圓規(guī)兩腳末端（定點(diǎn)）之間距離的情況，得出結(jié)論：當(dāng)定值等于兩定點(diǎn)的距離時(shí)，軌跡為以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段；當(dāng)定值小于兩定點(diǎn)的距離時(shí)，軌跡不存在；當(dāng)定值大于兩定點(diǎn)的距離時(shí)，軌跡為橢圓。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，著眼于從條件的類比變化探求新曲線的產(chǎn)生，包含了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)散性思維，也滲透了數(shù)學(xué)研究的漸變式思想，同時(shí)站在集合觀點(diǎn)下剖析圓錐曲線是由怎樣的點(diǎn)組成的感知。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生已經(jīng)在潛移默化中經(jīng)歷了一個(gè)重新認(rèn)識(shí)舊知，創(chuàng)新衍生新知的探索歷程。在橢圓概念的形成過程中，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，主動(dòng)探索，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的理解，體現(xiàn)了師生思維活動(dòng)的同頻共振過程，這一切正是充分揭示數(shù)學(xué)思維過程的自然結(jié)果。

（二）注重對(duì)數(shù)學(xué)思維過程的分析能力

首先，我們來分析解決具體數(shù)學(xué)問題時(shí)的思維過程。解決數(shù)學(xué)問題是一個(gè)不斷地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，直到歸結(jié)為熟知的問題為止的思維過程。心理學(xué)實(shí)踐研究表明，人們?cè)趧?chuàng)造性解決問題的過程中，總力求逐步縮小探索的范圍。思維進(jìn)程往往循著基本邏輯水平，基本數(shù)學(xué)方法水平，具體方法、技巧和程序這樣三個(gè)層次來推進(jìn)，思維過程表現(xiàn)為檢索、聯(lián)想、想象、評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)。其次，分析解決一類數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思維過程。在此層面上的思維，表現(xiàn)為不斷地提高抽象概括的水平，不斷地賦于數(shù)學(xué)方法以具體新鮮的意義，這是一個(gè)不斷地聚合、發(fā)展的過程。教學(xué)中要充分地暴露數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程，不掩蓋數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，這是使學(xué)生形成良好思維結(jié)構(gòu)的根本保證。如果長期片面地強(qiáng)調(diào)某些思維環(huán)節(jié)，忽視另一些環(huán)節(jié)就會(huì)造成思維結(jié)構(gòu)的缺陷，例如，目前學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力不足，就是長期掩蓋發(fā)現(xiàn)問題環(huán)節(jié)的結(jié)果。

（三）加強(qiáng)教學(xué)過程的合理設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)出的是經(jīng)過整理加工過的嚴(yán)密、抽象、精練的結(jié)論，在闡述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)未能暴露數(shù)學(xué)思維過程。這種特點(diǎn)決定了我們的教學(xué)不能將此教材內(nèi)容直接照搬到課堂上去，否則學(xué)生就無法領(lǐng)略到數(shù)學(xué)精湛的思維過程，這就要求教師備課時(shí)必須加強(qiáng)教學(xué)過程的合理設(shè)計(jì)。首先，找準(zhǔn)知識(shí)的生長點(diǎn)，以此作為暴露思維過程的基礎(chǔ)。其次，必須深入鉆研、認(rèn)真吃透和摸準(zhǔn)教材，高度注重知識(shí)發(fā)生過程的分析研究，切實(shí)把握住知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)、差別和轉(zhuǎn)化，促進(jìn)知識(shí)的遷移和思維的遷移。備課時(shí)要善于挖掘客觀存在的思維規(guī)律，充分呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程，設(shè)計(jì)出適合學(xué)生水平的教學(xué)程序，切實(shí)保證數(shù)學(xué)教學(xué)的有效。

例如，對(duì)一個(gè)不等式問題的認(rèn)知分析和教學(xué)設(shè)計(jì)：

問題：設(shè)不等式mx2-2x-m+1＜0對(duì)于滿足-2≤m≤2的m值都成立，求x的取值范圍。

解f（m）=（x2-1）m-2x+1，mx2-2x-m+1＜0即f（m）＜0.

又因?yàn)閒（m）的圖像是一條直線，因此當(dāng)m∈[-2，2]時(shí)，f（m）＜0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

分析：對(duì)多數(shù)學(xué)生的了解發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)此題的解法的確不易掌握，大多停留在賞析層面。深入分析解題思路可分成三步：（1）把mx2-2x-m+1看成關(guān)于m的函數(shù)——不等式向函數(shù)的轉(zhuǎn)化；（2）認(rèn)識(shí)到f（m）是一次函數(shù)——將思考對(duì)象具體化、直觀化；（3）得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式組，進(jìn)而解得x的取值范圍。學(xué)生解此題的難點(diǎn)是：m是一個(gè)變化的量，把x看成不變的，x與m混在一起，使得許多學(xué)生抓不住問題的本質(zhì)。由此，教學(xué)過程可設(shè)計(jì)如下：

（1）設(shè)計(jì)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，不妨從學(xué)生理解的困惑處——x與m的復(fù)雜關(guān)系入手來設(shè)計(jì)一系列問題；從突破學(xué)生思維的關(guān)鍵——化歸法，設(shè)計(jì)問題幫助學(xué)生建立與原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系。

問題1：本題涉及哪幾個(gè)量？相對(duì)于m的變化，你認(rèn)為x應(yīng)看成靜止的還是運(yùn)動(dòng)的？為什么？

問題2：分析x的取值范圍究竟是哪個(gè)條件決定的?

問題3：對(duì)于每一個(gè)確定的m值，mx2-2x-m+1的值是否唯一確定？與m是什么關(guān)系？

問題4：記f（m）：xm2-2x-m+1，嘗試用函數(shù)的語言重新敘述題目的條件和目標(biāo)?

（2）深入反思，促進(jìn)遷移。修改和變換問題情境，切實(shí)使學(xué)生對(duì)原問題及解法重新審視和反思，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟思維本質(zhì)，避免認(rèn)識(shí)上的表面化。

問題5：改題目為“不等式mx2-2x-m+1＜0對(duì)于滿足-2≤x≤2的x值都成立，求m的取值范圍，你認(rèn)為應(yīng)該如何思考？

問題6：已知函數(shù)y=f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，若x∈[a，b]時(shí)，f（x）＜k（或f（x）＞k，k是常數(shù)）恒成立，則如何轉(zhuǎn)化？

數(shù)學(xué)從靜態(tài)角度看是數(shù)學(xué)知識(shí)、定理、符號(hào)公式的匯集，枯燥乏味。若從動(dòng)態(tài)角度去審視，數(shù)學(xué)是一種實(shí)際的研究活動(dòng)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程。學(xué)生的思維發(fā)展有一個(gè)初步感知，逐漸領(lǐng)會(huì)，再到靈活運(yùn)用的過程，教師要多給學(xué)生反復(fù)實(shí)踐和領(lǐng)悟的機(jī)會(huì)，教學(xué)中對(duì)此再費(fèi)時(shí)費(fèi)力也不過分。教學(xué)過程設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，用轉(zhuǎn)化的手段去處理問題，即化繁為簡，化陌生為熟悉，化未知為已知。注重設(shè)計(jì)問題串，一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題，不在于它是簡單還是困難，也不在于具體還是一般，而是能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，培養(yǎng)其一種通用的解決問題的方法。一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師不會(huì)只是把數(shù)學(xué)作為知識(shí)來讓學(xué)生記住，而是教學(xué)中把一些數(shù)學(xué)思想埋進(jìn)基本的思維過程中。

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