陶德進(jìn)，王 軍，張 捷，凌滿蓉，薄煜明

(1.南京理工大學(xué)，江蘇 南京 210094; 2.重慶望江工業(yè)有限公司，重慶 400071)

毀傷概率是武器系統(tǒng)最重要的性能指標(biāo)之一。對(duì)近炸射擊高炮系統(tǒng)，國(guó)軍標(biāo)給出了一次齊射毀傷概率的蒙特卡羅算法[1]。中小口徑高炮系統(tǒng)主要以點(diǎn)射方式攔截空中目標(biāo)，這類武器系統(tǒng)的射頻很高，點(diǎn)射中不同時(shí)刻的射擊誤差之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，不能由一次齊射的毀傷概率計(jì)算點(diǎn)射毀傷概率。

現(xiàn)有文獻(xiàn)多是基于誤差模型轉(zhuǎn)換法計(jì)算近炸射擊高炮系統(tǒng)的點(diǎn)射毀傷概率[2-3]。所謂誤差模型轉(zhuǎn)換法，其實(shí)質(zhì)是將弱相關(guān)誤差分解出強(qiáng)相關(guān)誤差部分和不相關(guān)誤差部分，進(jìn)而將射擊誤差分為重復(fù)誤差分量和不重復(fù)誤差分量，這種分解本身存在著未知程度的近似。也有文獻(xiàn)提出基于折合域的點(diǎn)射毀傷概率計(jì)算方法[4]，這種方法一定程度上減少了計(jì)算量，但同樣存在未知程度的近似。 本文提供了近炸射擊高炮系統(tǒng)點(diǎn)射毀傷概率的蒙特卡羅算法，它不存在誤差模型轉(zhuǎn)換法的近似。其計(jì)算過(guò)程如下：隨機(jī)生成點(diǎn)射的射擊諸元誤差分量、射彈散布和起爆角，計(jì)算射擊誤差，進(jìn)而計(jì)算毀傷概率。

1 射擊諸元誤差分析

近炸射擊高炮系統(tǒng)的射擊誤差分析涉及如下3個(gè)坐標(biāo)系：Z坐標(biāo)系、Xh坐標(biāo)系和X坐標(biāo)系，3個(gè)坐標(biāo)系如圖1所示，各自定義如下：

1)Z坐標(biāo)系。原點(diǎn)為目標(biāo)提前點(diǎn)Mq；Z1軸與提前水平距離方向相一致；Z2軸垂直于水平面，指向上方；Z3軸垂直于射面，指向目標(biāo)前進(jìn)的方向。

2)Xh坐標(biāo)系。原點(diǎn)為Mq；Xh3軸平行于計(jì)算彈道在Mq點(diǎn)的切線，與射彈運(yùn)動(dòng)速度v的方向相反；Xh1軸在目標(biāo)航路L與Xh3軸構(gòu)成的平面上，垂直于Xh3軸，指向目標(biāo)前進(jìn)的方向；Xh2軸垂直于Xh1軸和Xh3軸，指向上方。

3)X坐標(biāo)系。原點(diǎn)為Mq；X1軸為相對(duì)速度vxd(射彈相對(duì)目標(biāo)的速度)法平面與相對(duì)射面(過(guò)vxd的鉛垂面)的交線，指向上方；X2軸在vxd的法平面內(nèi)，與X1軸垂直，指向目標(biāo)前進(jìn)的方向；X3軸與vxd方向相反。

近炸射擊高炮系統(tǒng)的射擊誤差由彈著點(diǎn)誤差和起爆角兩部分引起，而彈著點(diǎn)誤差由射擊諸元誤差和射彈散布引起。在Xh坐標(biāo)系內(nèi)，記1門單管高炮n發(fā)點(diǎn)射中第k個(gè)射擊誤差為x(k)，則：

x(k)=fk[a,xq(k)，xr(k)，xb(k)，φb(k)]

(1)

式中：a、xq(k)、xr(k)分別為射擊諸元誤差的常數(shù)分量、強(qiáng)相關(guān)分量和弱相關(guān)分量，三者均為二維向量，包括高低角誤差和方位角誤差兩個(gè)分量；xb(k)為射彈散布，亦為二維向量；φb(k)為起爆角；fk為時(shí)變的映射函數(shù)。

事實(shí)上，射擊諸元誤差可進(jìn)一步分解，其中，xq(k)包括氣象測(cè)量誤差、初速準(zhǔn)備誤差分別引起的射擊諸元誤差xq1(k)、xq2(k)；xr(k)包括跟蹤系統(tǒng)、解算系統(tǒng)、隨動(dòng)系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)(自行炮配有)分別引起的射擊諸元誤差xr1(k)、xr2(k)、xr3(k)和xr4(k)。 由上述分析，有:

x(k)=fk[a,xq1(k),xq2(k),xr1(k),xr2(k),

xr3(k),xr4(k),xb(k),φb(k)]

(2)

起爆角φb服從反射正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：

(3)

式中：φb0為理論起爆角。

本文的蒙特卡羅算法基于如下假定：a、φb0、σφb已知；在所有點(diǎn)射中，xq1(k)、xq2(k)呈方差已知的正態(tài)分布；在同一點(diǎn)射中，xq1(k)、xq2(k)保持不變，xr1(k)、xr2(k)、xr3(k)、xr4(k)為方差和相關(guān)系數(shù)均已知的零均值平穩(wěn)正態(tài)序列，xb(k)為方差已知的零均值平穩(wěn)正態(tài)序列。對(duì)處在研制階段的武器系統(tǒng)，各參數(shù)可由設(shè)計(jì)指標(biāo)確定；對(duì)已研制成功的武器系統(tǒng)，各參數(shù)可在定型試驗(yàn)中確定。 對(duì)射擊諸元誤差分量的重復(fù)性分析需結(jié)合武器系統(tǒng)的組織結(jié)構(gòu)進(jìn)行[5]。高炮系統(tǒng)的組織結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2中，指揮儀中包含了解算系統(tǒng)。解算系統(tǒng)根據(jù)跟蹤系統(tǒng)(雷達(dá)、攝像機(jī)等)提供的目標(biāo)位置參數(shù)，求解出目標(biāo)提前點(diǎn)位置Mq，并解算出標(biāo)準(zhǔn)氣象和彈道條件下射擊諸元。指揮儀根據(jù)氣象測(cè)量裝置給出的氣象條件和初速準(zhǔn)備裝置給出的彈藥初速對(duì)解算出的射擊諸元進(jìn)行修正，給出最終的射擊諸元。

對(duì)射擊諸元誤差的重復(fù)性分析是基于如下事實(shí)：同一數(shù)據(jù)處理設(shè)備在同一時(shí)刻對(duì)某組數(shù)據(jù)的處理結(jié)果是唯一的。

圖2所示的高炮系統(tǒng)中，若有l(wèi)臺(tái)指揮儀，每臺(tái)指揮儀帶m門火炮，每門火炮有p個(gè)身管(非轉(zhuǎn)管炮)。則武器系統(tǒng)一次齊射產(chǎn)生的lm個(gè)射擊諸元誤差中的重復(fù)分量有xq1、xr1；每臺(tái)指揮儀給出的m個(gè)射擊諸元的誤差重復(fù)分量除xq1、xr1外，還有xr2。

結(jié)合射擊諸元誤差分量的相關(guān)性分析可知，對(duì)該武器系統(tǒng)的點(diǎn)射過(guò)程進(jìn)行隨機(jī)模擬時(shí)，需生成的隨機(jī)項(xiàng)包括：1個(gè)xq1、lm個(gè)xq2、n個(gè)xr1、ln個(gè)xr2，lmn個(gè)xr3，lmn個(gè)xr4，lmpn個(gè)xb。當(dāng)武器系統(tǒng)中包含不止一個(gè)跟蹤子系統(tǒng)時(shí)，可類似分析。

2 蒙特卡羅法

2.1 隨機(jī)誤差的生成

考慮一維情況[6]：

(4)

對(duì)概率密度函數(shù)為 (3) 式的隨機(jī)數(shù)，取uφb～N{0,1}，則φb=|uφbσφb|+φb0為符合條件的隨機(jī)起爆角。

2.2 射擊誤差計(jì)算

近炸射擊的射擊諸元誤差包含如下互不相關(guān)的兩項(xiàng)：方位角誤差Δβ和高低角誤差Δα。其中，Δβ引起的彈著點(diǎn)誤差沿Z3軸方向，正向同Z3軸正向，記Z為此方向的單位向量；Δα引起的彈著點(diǎn)誤差沿提前炮目垂直面與射面的交線方向，正向朝上，記N為此方向的單位向量。Z和N在Xh坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為[1]：

(5)

在隨機(jī)生成點(diǎn)射的射擊諸元誤差、射彈散布和起爆角后，可結(jié)合式(5) 計(jì)算彈著點(diǎn)誤差在Xh坐標(biāo)系中的坐標(biāo) (xhp1，xhp2，xhp3) ，進(jìn)而計(jì)算射擊誤差(xh1，xh2，xh3)。

事實(shí)上，射彈并未運(yùn)動(dòng)到彈著點(diǎn)，在其運(yùn)動(dòng)到自身速度v的方向 (Xh3軸的反方向) 與彈目連線夾角為φb時(shí)即發(fā)生爆炸，炸點(diǎn)在Xh坐標(biāo)系中的坐標(biāo)即為射擊誤差?？砂聪率接?jì)算射擊誤差在Xh坐標(biāo)系中的坐標(biāo)[1]：

(6)

2.3 毀傷概率計(jì)算

在一次點(diǎn)射的射擊誤差生成之后，即可計(jì)算此次點(diǎn)射的毀傷概率。重復(fù)試驗(yàn)，求取均值，即為武器系統(tǒng)的點(diǎn)射毀傷概率。

對(duì)坐標(biāo)毀傷定律，在獲取射擊誤差之后，根據(jù)目標(biāo)和彈丸的飛行參數(shù)、彈藥的爆炸特性等，可以解破片與目標(biāo)的命中問(wèn)題，進(jìn)而求取毀傷概率。另有一種近似方法[7]：對(duì)編號(hào)為s的一次點(diǎn)射模擬中，射擊誤差為x(i,j,k)的彈藥對(duì)目標(biāo)的毀傷概率為：

(7)

(8)

若一共進(jìn)行了t次模擬，則武器系統(tǒng)的點(diǎn)射毀傷概率為：

(9)

2.4 與現(xiàn)有算法的對(duì)比

現(xiàn)有算法都是基于誤差模型轉(zhuǎn)換法的毀傷概率算法，其實(shí)質(zhì)是將弱相關(guān)誤差分解為兩部分，一部分與強(qiáng)相關(guān)誤差合并為武器系統(tǒng)的重復(fù)誤差，另一部分與不相關(guān)誤差合并為武器系統(tǒng)的不重復(fù)誤差。

對(duì)圖2所示的高炮系統(tǒng)，以l=1為例：m=1，n=1時(shí)，xr1(k)、xr2(k)、xr3(k)、xr4(k)全部合并到重復(fù)誤差；m=1，n>1時(shí)，xr1(k)、xr2(k)、xr3(k)、xr4(k)全部進(jìn)行分解；m>1，n=1時(shí)，xr1(k)、xr2(k)合并到重復(fù)誤差，xr3(k)、xr4(k)合并到不重復(fù)誤差；m>1，n>1時(shí)，xr1(k)、xr2(k)進(jìn)行分解，xr3(k)、xr4(k)合并到不重復(fù)誤差。

上述4類情形中，m>1時(shí)，將xr3(k)、xr4(k)合并到武器系統(tǒng)的不重復(fù)誤差是一種近似處理，這種處理忽略了xr3(k)、xr4(k)的相關(guān)性，若還有p>1，則上述處理在重復(fù)性的分析上也存在近似。對(duì)弱相關(guān)誤差分則是在上述近似的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了一次近似。

蒙特卡羅算法不存在上述各種近似，因而可用于評(píng)價(jià)現(xiàn)有的各種算法。蒙特卡羅算法與現(xiàn)有算法相比的缺點(diǎn)在于計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，以現(xiàn)有的計(jì)算水平，其計(jì)算時(shí)耗是可以承受的。

現(xiàn)給出蒙特卡羅算法與現(xiàn)有算法的對(duì)比分析實(shí)例。一臺(tái)指揮儀指揮兩門雙管炮的高炮系統(tǒng)，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行各管5發(fā)的點(diǎn)射。給定目標(biāo)航路條件：水平勻速飛行，航速vm=250 m/s，高度H=2 000 m，航路捷徑dj=1 000 m。在航路捷徑前，斜距離Dq=3 000 m處開(kāi)始射擊。并已知：

1) 系統(tǒng)誤差。 高低角：2 mil；方位角：2 mil。

2) 射擊諸元誤差分量均方差與相關(guān)系數(shù)。 射擊諸元誤差分量的均方差及相關(guān)系數(shù)如表1。其中，同一設(shè)備引起的射擊諸元誤差分量的相關(guān)系數(shù)相等。

3)其他已知條件。φb0=1.187；σφb=0.38；R0=20 m；σG=3 m，v=550 m/s，θ=0.9εq。

對(duì)不同的r，3種算法算得的火炮武器系統(tǒng)毀傷概率如圖3。

表1 射擊諸元誤差分量均方差與相關(guān)系數(shù)

可以看出，在本例中，經(jīng)驗(yàn)法優(yōu)于相關(guān)系數(shù)最小二乘法。

3 結(jié) 論

基于射擊諸元誤差分量的相關(guān)性和重復(fù)性分析以及弱相關(guān)誤差序列的隨機(jī)生成，本文給出了近炸射擊高炮系統(tǒng)點(diǎn)射毀傷概率的蒙特卡羅算法。在同樣的前提條件下，以可承受的計(jì)算時(shí)耗為代價(jià)，蒙特卡羅法減小了誤差模型轉(zhuǎn)換法的近似性，給出了更為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

從文中的給出的示例可以看出：1) 蒙特卡羅法和誤差模型轉(zhuǎn)換法的計(jì)算結(jié)果均表明，近炸射擊高炮系統(tǒng)的點(diǎn)射毀傷概率將隨著弱相關(guān)誤差相關(guān)系數(shù)的增大而減小；2) 誤差模型轉(zhuǎn)換法所給出的毀傷概率計(jì)算結(jié)果稍大于蒙特卡羅法。

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