王偉明，馬樹(shù)元，閃明才，2，仉 毅，3

(1.北京理工大學(xué)機(jī)械與車(chē)輛學(xué)院，北京 100081;2.河北大學(xué)質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督學(xué)院，保定 071002;3.山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島 266510）

0 引言

隨著納米制造技術(shù)的發(fā)展，傳統(tǒng)的柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)、壓電堆、絲桿滑動(dòng)機(jī)構(gòu)和氣浮運(yùn)動(dòng)工作臺(tái)等都難以同時(shí)實(shí)現(xiàn)納米級(jí)運(yùn)動(dòng)精度和大行程的運(yùn)動(dòng)范圍。而磁懸浮運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)具有非接觸、無(wú)摩擦、無(wú)磨損等優(yōu)點(diǎn)，易于實(shí)現(xiàn)納米級(jí)的定位精度和獲得大行程的運(yùn)動(dòng)，在半導(dǎo)體光刻、精密加工、微型裝配、納米技術(shù)和精細(xì)運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域，有著廣闊的應(yīng)用前景，正逐步成精密工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1-7］。

根據(jù)運(yùn)行原理，目前已存在的磁懸浮平臺(tái)結(jié)構(gòu)可大致分為2類(lèi)［7］:第一類(lèi)中懸浮力和推力由不同部件分別完成，這直接從機(jī)械結(jié)構(gòu)上實(shí)現(xiàn)了懸浮力和推力間的解耦，控制較為簡(jiǎn)單，但是機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要求加工精度很高，工藝復(fù)雜;第二類(lèi)中懸浮力和推力由同一部件提供，該種結(jié)構(gòu)下，懸浮力與水平驅(qū)動(dòng)力之間存在強(qiáng)烈的非線性耦合，控制較為復(fù)雜，但是機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，對(duì)加工精度要求不高，是未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。

本文采用的磁懸浮平臺(tái)如圖1所示，由1個(gè)移動(dòng)平臺(tái)、4個(gè)永磁陣列、4個(gè)定子以及水平和豎直位移傳感器等構(gòu)成。永磁陣列附著在移動(dòng)平臺(tái)的底面，由HALBACH永磁陣列組成，每個(gè)永磁陣列和相應(yīng)的定子組成一個(gè)磁懸浮電機(jī)，每個(gè)懸浮電機(jī)可以同時(shí)提供垂直懸浮力和水平驅(qū)動(dòng)力，通過(guò)控制定子繞組電流可以實(shí)現(xiàn)平臺(tái)X、Y方向的運(yùn)動(dòng);同時(shí)也可以改變平臺(tái)的懸浮高度。由于采用“共平面”結(jié)構(gòu)有效的減小了阿貝誤差，可以實(shí)現(xiàn)平臺(tái)幾何結(jié)構(gòu)方面的零理論誤差。

圖1 磁懸浮平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

磁懸浮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型具有強(qiáng)耦合和非線性特點(diǎn)，W-J Kim采用DQ解耦和局部近似線性化方法實(shí)現(xiàn)了在工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)的控制［3］。Jeong-Woo Jeon等人提出采用滑模變結(jié)構(gòu)控制代替超前-滯后控制［4-5］，提高了系統(tǒng)精度和抗干擾能力，但對(duì)于水平力和垂直力的解耦沒(méi)有明確描述。在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，本文將反饋精確線性化的線性化方法［9-10］引入到磁懸浮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的控制，將非線性系統(tǒng)線性化的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了垂直驅(qū)動(dòng)和水平驅(qū)動(dòng)的完全解耦，為應(yīng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化和提高抗干擾能力分別為垂直位置和水平位置控制設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)控制器。

1 磁懸浮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型

如圖2所示，將矢量控制解耦方案引入磁懸浮平臺(tái)［3］控制系統(tǒng)，在兩相平移坐標(biāo)系下，單個(gè)懸浮電機(jī)永磁體和定子繞組之間的水平力和懸浮力為:

圖2 磁懸浮平臺(tái)的DQ軸示意圖

通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣:

得到兩相靜止坐標(biāo)系下單個(gè)懸浮電機(jī)永磁體和定子繞組之間的水平力與懸浮力為:

其中:為真空磁導(dǎo)率，M0為永磁體磁化強(qiáng)度，η0為線圈電流密度，Nm為節(jié)距數(shù)，基波絕對(duì)值 γ1=2π/l，z為懸浮高度，x為水平方向上的位移，常數(shù)G=(1-e-γ1Γ）(1-e-γ1Δ）(ω 為繞組線圈長(zhǎng)度，l為永磁陣列周期，Γ為繞組線圈厚度，Δ為永磁陣列厚度），ia，ib為兩相靜止坐標(biāo)系下的繞組電流。

本文中描述的平臺(tái)水平運(yùn)動(dòng)范圍在50mm×50mm以?xún)?nèi)，忽略空氣阻力、懸浮平臺(tái)質(zhì)心的變化和四個(gè)電機(jī)之間的差異，將平臺(tái)看作剛體運(yùn)動(dòng)，得到整個(gè)磁懸浮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在水平方向上的動(dòng)力學(xué)方程為:

在豎直方向上有動(dòng)力學(xué)方程為:

其中M為移動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量。

由式(3）、(4）、(5）可以看出磁懸浮平臺(tái)是一個(gè)強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)。

2 磁懸浮平臺(tái)系統(tǒng)的反饋精確線性化

由(1）式可知，在懸浮位置固定時(shí)，垂直推力和水平推力與DQ坐標(biāo)系下電流的iD和iQ成正比，因此傳統(tǒng)的控制方法［8］是分別單獨(dú)控制iD和iQ實(shí)現(xiàn)不同方向上力的解耦控制，從而在一定懸浮高度下實(shí)現(xiàn)水平定位。然而因?yàn)樗搅痛怪绷痛怪蔽恢脄相關(guān)，且只能在平衡點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域內(nèi)進(jìn)行近似線性化，并不能實(shí)現(xiàn)大范圍內(nèi)的解耦線性化。反饋精確線性化解耦方法已經(jīng)在其他類(lèi)型的磁懸浮電機(jī)控制中得到應(yīng)用［11-12］。因此，本文提出采用反饋精確線性化的線性化方法，在對(duì)系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行線性化的同時(shí)實(shí)現(xiàn)解耦控制。

并令Kk=μ0M0η0NmG，則式(3）、(4）和(5）組成的系統(tǒng)可以表示為:

經(jīng)過(guò)(8）式所描述的狀態(tài)反饋關(guān)系，原系統(tǒng)可衍化為兩個(gè)非耦合的偽線性子系統(tǒng):

由(9）式和(10）式可以看出，實(shí)現(xiàn)了水平方向與豎直方向的位置輸出解耦，也就是變量x1、x2僅受v1的影響而與v2無(wú)關(guān)，變量x3、x4僅受v2的影響而與v1無(wú)關(guān)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的非交互式控制［9］。

3 變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)

變結(jié)構(gòu)控制(VSC）本質(zhì)上是一類(lèi)特殊的非線性控制，其非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性。這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”并不固定，而是可以在動(dòng)態(tài)過(guò)程中根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)(如偏差及其各階導(dǎo)數(shù)等）有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動(dòng)模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)，所以又常稱(chēng)變結(jié)構(gòu)控制為滑動(dòng)模態(tài)控制(SMC），即滑模變結(jié)構(gòu)控制。由于滑動(dòng)模態(tài)可以進(jìn)行設(shè)計(jì)且與系統(tǒng)參數(shù)及擾動(dòng)無(wú)關(guān)，這就使得變結(jié)構(gòu)控制具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無(wú)需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)［13］。變結(jié)構(gòu)控制已經(jīng)應(yīng)用于其他類(lèi)型的磁懸浮電機(jī)中［11-12］。本文中描述的磁懸浮電機(jī)在實(shí)際應(yīng)用中也存在參數(shù)變化或未建模部分，因此采用變結(jié)構(gòu)控制是合適的。

本文通過(guò)反饋精確線性化解耦使得磁懸浮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的水平位置和垂直位置能夠獨(dú)立控制，即構(gòu)建成水平位置和垂直位置獨(dú)立的單輸入單輸出的線性系統(tǒng)，因此可以根據(jù)單變量線性系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)方法分別設(shè)計(jì)兩個(gè)方向上的位置控制器。在控制器作用下，如果系統(tǒng)進(jìn)入滑模動(dòng)態(tài)，其狀態(tài)運(yùn)動(dòng)僅僅取決于相應(yīng)的滑動(dòng)面的參數(shù)。設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制器的基本步驟包括兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分，即切換面的設(shè)計(jì)和滑動(dòng)模態(tài)控制律的設(shè)計(jì)［12］。

3.1 切換面設(shè)計(jì)

設(shè)豎直方向和水平方向的位置指令信號(hào)分別為r1和r2，輸出為y1和y2，e1和e2表示輸出誤差。設(shè)計(jì)切換方程為:

將 e1=r1-y1，e2=r2-y2代入式(11）得:

其中，c1和c2通過(guò)單變量系統(tǒng)的反饋設(shè)計(jì)方法確定，采用極點(diǎn)配置法使c1和c2對(duì)應(yīng)的切換面對(duì)于滑模運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，且這兩個(gè)參數(shù)的選取直接決定了系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

3.2 滑動(dòng)模態(tài)控制律的設(shè)計(jì)

懸浮平臺(tái)在保證豎直方向懸浮高度不變的情況下在水平方向上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)主要決定于水平方向，因此對(duì)水平方向和豎直方向采用不同的控制律。

(1）豎直方向的控制律采用比例切換的控制方法，控制律為:

(2）水平方向的控制律采用基于趨近律的位置跟蹤方法［13］，本文采用指數(shù)趨近律，即:

式中ε＞0，k＞0，滿(mǎn)足Lyapunov到達(dá)條件。

為使快速趨近的同時(shí)削弱抖振，應(yīng)在增大參數(shù)k的同時(shí)減小ε。通過(guò)調(diào)整趨近律的k和ε，既可以保證滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)過(guò)程的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，又可以減弱控制信號(hào)的高頻抖振［13］。

由式(12）和(14）得水平方向的控制律為:

此外，為了進(jìn)一步減弱抖振:

還可以用飽和函數(shù):

代替［4-5］，其中 0 ＜ φ≤1。

4 系統(tǒng)仿真研究

移動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量為M=3.1kg，剩磁μ0M0=1.35T，線圈電流密度 η0=2.491×106匝/m2，Nm=3，ω =0.04m，l=25.6×10-3m，Δ =l/4，Γ =l/5。在兩相靜止坐標(biāo)系下，利用atlab7.0/SIMULINK建立系統(tǒng)仿真框圖，如圖3所示，其中r1，r2分別為水平和垂直方向的位置輸入，y1，y2分別為水平和垂直方向的位置輸出。垂直方向變結(jié)構(gòu)控制器切換面取c1=10，比例切換控制律參數(shù)取α=2000，β=100;水平方向變結(jié)構(gòu)控制器切換面取c2=20，趨近律參數(shù)取ε=7.75，k=500，飽和函數(shù)φ=0.8。

圖3 控制仿真結(jié)構(gòu)框圖

分別對(duì)系統(tǒng)做定位解耦效果試驗(yàn)和抗干擾試驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4表示在0時(shí)刻，懸浮平臺(tái)首先浮起到250μm的位置，在1秒時(shí)刻，在水平方向上加入從0μm到 400μm的位置階躍，在 3秒時(shí)刻再加入400μm的位置階躍;由仿真結(jié)果可以看出，磁懸浮平臺(tái)在水平方向運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)垂直方向的懸浮高度沒(méi)有影響，實(shí)現(xiàn)了水平驅(qū)動(dòng)和豎直驅(qū)動(dòng)的解耦控制，且階躍響應(yīng)的上升時(shí)間很小。

圖5表示在3秒時(shí)刻在水平方向加入一個(gè)瞬間擾動(dòng)力的響應(yīng)曲線，由仿真輸出曲線可以看出系統(tǒng)對(duì)干擾有較快的抑制作用，且在抑制過(guò)程中，能夠保證懸浮高度不變，魯棒性很強(qiáng)。

圖4 解耦仿真結(jié)果圖

圖5 魯棒性仿真結(jié)果圖

圖6為ia和ib經(jīng)Park變換后的波形，(a）為ID，可以看出在D軸上只需要不到0.8A的電流就可以將平臺(tái)懸浮至250μm的位置;(b）為IQ，可以看出在400μm的階躍過(guò)程中，Q軸上需要消耗峰值接近2A的電流。說(shuō)明控制量為有限值，且為以后的控制電路設(shè)計(jì)提供了參考。

圖6 經(jīng)Park變換后的電流輸入量波形

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在磁懸浮平臺(tái)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上通過(guò)反饋精確線性化實(shí)現(xiàn)了磁懸浮平臺(tái)垂直位置與水平位置的非線性解耦控制，使復(fù)雜的非線性控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性控制問(wèn)題，并為系統(tǒng)設(shè)計(jì)了位置跟蹤變結(jié)構(gòu)控制器。仿真結(jié)果表明，該解耦方法達(dá)到預(yù)期的解耦控制要求，且位置跟蹤控制器魯棒性較強(qiáng)，說(shuō)明了該方法有效性。

［1］Kim W J，Trumper D L.High-precision magnetic levitation stage for photolithography［J］. Precision Engineering，1998，22(2）:66-77.

［2］Wei Gao，Dejima S，Yanai H，et al.A surface motor-driven planar motion stage integrated with an XYθZsurface encoder for precision positioning［J］.Precision Engineering，1998，28(3）:329-337.

［3］KIM W J.High-precision planar magnetic levitation［D］.USA:Massachusetts Institute of Technology，1997.

［4］Jeong-Woo Jeon，Mitica Caraiani，Don-Ha Hwang，et al.High-Precision Positioning Control of Magnetic Levitation System［J］.IECON Proceedings，2006:5221-5226.

［5］Jeong-Woo Jeon，Mitica Caraiani，Ki-Chang Lee，et al.Positioning Control of Magnetic Levitation System by SMC［J］.2005，3:1851-1856.

［6］ZHANG Yi，MA Shu-yuan，ZHANG Lei.Magnetic Field A-nalysis and Optimization Design of Magnetic Stage［J］.Nanotechnology and Precision Engineering.2010，8(3）:221-225.

［7］郭亮，陳本永.精密磁懸浮工作平臺(tái)的力特性分析［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(21）:118-122.

［8］黃學(xué)良，周贛，張前.平面電機(jī)的海爾貝克型直線電機(jī)執(zhí)行器［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2009，29(21）:80-85.

［9］Alberto I.Nonlinear Control Systems(3rdEdition）［M］.London:Springer-Verlag London Limited，1995:189-191.

［10］李春文，馮元琨.多變量非線性控制的逆系統(tǒng)方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1991.

［11］劉羨飛，孫玉坤，王德明，等.磁懸浮開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)懸浮系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)魯棒控制［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2007，10(29）:1704-1707.

［12］張亮，孫玉坤.基于微分幾何的磁懸浮開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)徑向力的變結(jié)構(gòu)控制［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2006，26(19）:121-126.

［13］劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005.