丁健 齊培聰 高斯圖文印刷系統(tǒng)（中國）有限公司 （200062）

丁?。?973年～），男，本科，畢業(yè)于西安理工大學(xué)印刷機(jī)械專業(yè)，主要研究方向為卷筒紙膠印機(jī)。

0 引言

根據(jù)卷筒紙印刷市場的變化，公司決定把小滾筒折頁機(jī)的速度從40 000份/h提高到45 000份/h，以鞏固小滾筒印刷機(jī)生產(chǎn)線繼續(xù)在國內(nèi)占有領(lǐng)先地位。折頁機(jī)速度提高后，原有的戳針凸輪必須根據(jù)增速后的實際工況，進(jìn)行重新優(yōu)化分析設(shè)計，以保證戳針在速度提高后，能夠與裁切輥筒上的裁刀以及折頁輥筒上的橡皮條相互配合，對印品進(jìn)行裁切、折頁[1]。

所謂優(yōu)化設(shè)計，是指在一定條件下（包括各種設(shè)計因素）所得到的最佳設(shè)計值。它可以保證產(chǎn)品具有優(yōu)良性能，減輕自重和體積、降低工程造價，提高設(shè)計效率。優(yōu)化設(shè)計的常用手段為計算機(jī)及優(yōu)化設(shè)計計算軟件。優(yōu)化的內(nèi)容為將設(shè)計問題的實際物理模型抽象為數(shù)學(xué)模型，然后將數(shù)學(xué)模型求解[2]。本文就是運用計算機(jī)及其相關(guān)軟件對凸輪的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化計算，得出凸輪在新的工況下的最優(yōu)數(shù)據(jù)。

1 折頁機(jī)滾筒的工作原理

如圖1所示：紙帶經(jīng)過上拉紙輥和下拉紙輥，由于兩對拉紙輥的夾持作用，保持一定的張力。戳針安裝在戳針座上，通過擺臂與凸輪從動件聯(lián)接。凸輪從動件在戳針凸輪的內(nèi)部凹槽中做圓周運動，從而控制戳針做規(guī)律性的伸縮運動。

圖1 折頁機(jī)滾筒的工作原理

戳針滾筒做順時針運動，叼牙滾筒做逆時針運動。當(dāng)戳針滾筒上的裁紙刀即將轉(zhuǎn)到水平位置時，在戳針凸輪及其從動件的作用下，戳針伸出扎住紙帶，帶動紙帶順時針運動；戳針帶動紙帶轉(zhuǎn)動超過3/4周時，戳針滾筒上的折刀與叼牙滾筒上的叼牙正好接觸，折刀把紙帶頂入叼牙與固定夾板之間；此時，戳針在戳針凸輪作用下縮回。叼牙帶動紙帶后，戳針滾筒上的戳針正好又位于水平位置，戳針伸出，扎住紙帶；當(dāng)?shù)鹧罎L筒上的橡膠條與戳針滾筒的裁紙刀接觸，裁紙刀切斷戳針前方紙帶；此時，活動叼牙在叼牙凸輪的作用下，夾住紙帶已運動約1/4圓周。叼牙夾住對折后的紙帶隨著叼牙滾筒逆時針轉(zhuǎn)動；當(dāng)?shù)鹧擂D(zhuǎn)動到水平位置時，叼牙松開，裁好的紙帶落到后續(xù)的機(jī)構(gòu)中，這樣一份完整的印刷品就完成[3]。

2 凸輪機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

在折頁機(jī)的速度由40 000份/h提高到45 000份/h，原有的戳針凸輪曲線需要作出調(diào)整。戳針凸輪是盤形凸輪機(jī)構(gòu)，盤形凸輪機(jī)構(gòu)主要有以下幾種基本形式：

(1)直動滾子從動件盤狀凸輪機(jī)構(gòu)；

(2)直動平底從動件盤狀凸輪機(jī)構(gòu)；

(3)擺動滾子從動件盤狀凸輪機(jī)構(gòu)；

(4)擺動平底從動件盤狀凸輪機(jī)構(gòu)[4]。

這里主要研究的戳針凸輪是擺動滾子從動件的盤狀凸輪機(jī)構(gòu)。

2.1 凸輪機(jī)構(gòu)瞬時效率的計算

效率為在給定投入和技術(shù)的條件下，經(jīng)濟(jì)資源沒有浪費，或?qū)?jīng)濟(jì)資源做了能帶來最大可能性的滿足程度的利用。瞬時效率是運動物體在某一時刻的效率。在凸輪的優(yōu)化設(shè)計中，瞬時效率是重要的目標(biāo)之一。

圖2 擺動從動件盤形凸輪廓線

戳針凸輪固定不轉(zhuǎn)，凸輪滾子轉(zhuǎn)動，可轉(zhuǎn)化為凸輪滾子不動，凸輪轉(zhuǎn)動，即近似為如圖2所示的擺動滾子從動件凸輪機(jī)構(gòu)，其瞬間效率為：

2.2 凸輪機(jī)構(gòu)接觸強度的計算

當(dāng)具有一定曲面的兩物體在壓力下相互接觸時，便在接觸處產(chǎn)生接觸應(yīng)力。例如，齒輪傳動機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)和滾動軸承等高副機(jī)構(gòu)，它們在工作時，理論上是通過點或線接觸傳遞載荷或運動。由于接觸處產(chǎn)生彈性變形，所以實際接觸處為一很小的面積并產(chǎn)生很大的接觸應(yīng)力。

零件在接觸處產(chǎn)生的接觸應(yīng)力絕大多數(shù)都是隨著時間變化的。在交變接觸應(yīng)力的作用下，經(jīng)過若干的循環(huán)次數(shù)后，零件表面材料就可能產(chǎn)生甲殼狀的小坑，容易對零件的表面造成損傷，降低零件的使用壽命。

這里涉及的凸輪機(jī)構(gòu)中，主要是凸輪以及凸輪滾子之間接觸強度計算，其公式如下：

式中nF—法向力

3 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

所謂數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)理論與實際問題的一座橋梁。它將現(xiàn)實問題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進(jìn)行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現(xiàn)實問題提供精確的數(shù)據(jù)庫或可靠的指導(dǎo)。

建立數(shù)學(xué)模型的要求主要有以下幾點：

(1)真實完整

能夠真實的、系統(tǒng)的、完整的、形象的反映客觀現(xiàn)象；具有代表性；具有外推性，即能得到原型客體的信息，在模型研究時，能得到關(guān)于原型客體的原因；必須反映完成基本任務(wù)所達(dá)到的各種業(yè)績，而且與實際情況符合。

(2)簡明實用

在建模的過程中，要把本質(zhì)的東西及其關(guān)系反映進(jìn)去，把非本質(zhì)的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉，使模型在保證一定精確度的條件下，盡可能的簡單和可操作，數(shù)據(jù)易于采集。

(3)適應(yīng)變化

隨著有關(guān)條件的變化和人們認(rèn)識的發(fā)展，通過相關(guān)變量及參數(shù)的調(diào)整，能很好的適應(yīng)新情況。

建立數(shù)學(xué)模型，是凸輪優(yōu)化設(shè)計中的關(guān)鍵一步。在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，要確定凸輪的原始數(shù)據(jù)、凸輪的設(shè)計變量以及凸輪優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)等。

3.1 凸輪原始數(shù)據(jù)

本文研究的折頁機(jī)速度由40 000份/h提高到45 000份/h。由于戳針滾筒每旋轉(zhuǎn)一周是出一份印刷品，則對應(yīng)凸輪滾子的轉(zhuǎn)速由666 r/min提高到750 r/min。在折頁機(jī)速度提高后，戳針凸輪的曲線該如何進(jìn)行優(yōu)化，所以在進(jìn)行凸輪優(yōu)化數(shù)學(xué)模型處理的時候，凸輪滾子的最大擺角、轉(zhuǎn)角以及凸輪的材料等相關(guān)參數(shù)可參照原來的數(shù)據(jù)。

該戳針凸輪的主要原始數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 凸輪原始數(shù)據(jù)

3.2 設(shè)計變量

在優(yōu)化程序中，需要設(shè)定一些獨立的變量參數(shù)，其個數(shù)稱為設(shè)計變量個數(shù)，又稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)。本文研究的凸輪為擺動滾子從動件凸輪機(jī)構(gòu)，其設(shè)計變量如表2所示。

表2 盤形凸輪機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的設(shè)計變量

表中參數(shù)為：

ro—凸輪的基圓半徑；

a—凸輪從動件滾子擺臂支點到凸輪基圓中心的距離；

l—凸輪從動件滾子擺桿的長度；

r—凸輪從動件滾子的半徑。

3.3 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)為設(shè)計中預(yù)期要達(dá)到的最佳設(shè)計目標(biāo)。如性能、質(zhì)量或體積等。在機(jī)械設(shè)計中常以質(zhì)量或重量最小為目標(biāo)函數(shù)。本文是以凸輪的效率 最大以及接觸應(yīng)力最小為目標(biāo)函數(shù)，并對它們進(jìn)行最優(yōu)化求解。

(1)以凸輪機(jī)構(gòu)的最大效率最大為目標(biāo)，極小化目標(biāo)函數(shù)為：

(2)以凸輪機(jī)構(gòu)的最大接觸應(yīng)力為最小目標(biāo)，極小化目標(biāo)函數(shù)為：

3.4 約束函數(shù)

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中的問題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)計的問題，其數(shù)學(xué)模型為實際工程中大部分問題的變量取值都有一定的域，也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問題。與無約束問題不同，約束問題目標(biāo)函數(shù)的最小值必須滿足約束條件，即是由約束條件可行域內(nèi)的最小值。只要約束條件決定可行域是一個凸集，目標(biāo)函數(shù)是一個凸函數(shù)，其約束最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。否則將由所選擇的初始點不同，而探索到不同的局部最優(yōu)解上。在這種情況下，探索結(jié)果經(jīng)常與初始點的選擇有關(guān)。為了能得到全局最優(yōu)解，在探索的過程中，最好能改變初始點，有時甚至要改換幾次。根據(jù)求解方式的不同，約束設(shè)計問題可以分為直接解法和間接解法。

擺動滾子從動件盤狀凸輪的約束函數(shù)如表3所示。

表3 擺動滾子從動件盤狀凸輪的約束函數(shù)

3.5 優(yōu)化程序

基于Matlab軟件, 其優(yōu)化設(shè)計程序如圖3所示，其優(yōu)化程序可由計算機(jī)按照Matlab軟件相關(guān)要求編程，在此省略。

圖3 盤狀凸輪優(yōu)化設(shè)計程序

3.6 優(yōu)化數(shù)據(jù)

輸入上述數(shù)據(jù)后，可得出如表4中的相應(yīng)計算結(jié)果，該數(shù)據(jù)是一種設(shè)計方案，供設(shè)計凸輪曲線的參考。

4 凸輪曲線設(shè)計

按照表4中的數(shù)據(jù)對凸輪進(jìn)行輪廓線的設(shè)計。

表4 凸輪優(yōu)化后的基本參數(shù)

4.1 理論廓線方程

4.2 工作廓線方程

式中上面一組加減號用于滾子的外包絡(luò)線（如圖中虛線所示）；下面一組加減號用于滾子的內(nèi)包絡(luò)線。

極坐標(biāo)：

4.3 刀具的中心軌跡方程

直角坐標(biāo)方程：

式中上面一組加減號用于滾子的外包絡(luò)線（如圖中虛線所示）；下面一組加減號用于滾子的內(nèi)包絡(luò)線。

極坐標(biāo)：

4.4 凸輪曲線參數(shù)值

對戳針凸輪進(jìn)行解析法計算，按照以上公式每隔0.50做一次計算，即可算出上面要求的全部參數(shù)，把計算的結(jié)果記錄在表5中。

表5 凸輪理論曲線尺寸

4.5 凸輪曲線

在CAD軟件中，對表5中凸輪的理論數(shù)據(jù)做進(jìn)一步繪圖處理，可繪制出戳針的凸輪曲線，如圖4所示。

圖4 凸輪曲線

實際加工好的凸輪如圖5所示，安裝到折頁上的工況位置如圖6所示。

圖5 實際凸輪形狀

圖6 戳針凸輪工況

5 結(jié) 論

按照凸輪機(jī)構(gòu)瞬時效率和接觸強度進(jìn)行優(yōu)化分析，通過Matlab軟件對其進(jìn)行優(yōu)化計算，得出凸輪基本的相關(guān)參數(shù)數(shù)值。然后根據(jù)基本的參數(shù)對凸輪、從動件滾子以及擺臂桿等進(jìn)行設(shè)計計算。設(shè)計出的凸輪及其從動件能夠滿足叼牙滾筒轉(zhuǎn)速提高的工作狀況。

[1] 葛紀(jì)者. 折頁機(jī)發(fā)展?fàn)顩r及未來發(fā)展趨勢[J].印刷雜志. 2010（12）：46-48

[2] 王石剛.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計[M].上海:上海交通大學(xué).2008.

[3] 齊福斌. 卷筒紙膠印機(jī)[M]. 北京：印刷工業(yè)出版社. 2006.

[4] 成大先等. 機(jī)械設(shè)計手冊. 北 京：化學(xué)工業(yè)出版社. 2010.

[5] 劉保柱等. MATLAB7.0從入門到精通. 北京：人民郵電出版社. 2011.