宋曉俠，郭陳江，丁 君

（西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，陜西 西安 710129）

0 引言

在許多工程應(yīng)用中，通常要求陣列天線要有窄的掃描波束和低的副瓣。同均勻陣列天線相比，非均勻陣列天線自由度更大，因而能在減少天線陣列建造成本、降低系統(tǒng)復(fù)雜度的同時(shí)，滿足工程要求［1］。

非均勻陣列天線的綜合問題（給定陣元數(shù)和陣列響應(yīng)，確定位置和激勵(lì)分布）一直未得到很好的解決。由于非均勻陣列天線的最大相對旁瓣電平是陣元位置的非線性函數(shù)，沒有現(xiàn)存的解析方法來確定最大相對旁瓣電平，也就是說，即使已知所有陣元的位置，也沒有可憑借的解析方法來求得最大相對旁瓣電平出現(xiàn)的位置，因而陣元間距的優(yōu)化是一個(gè)非線性問題［2］，一直都是非均勻陣列天線研究的難點(diǎn)和重點(diǎn)。

雖然已有許多經(jīng)典的優(yōu)化方法（如微擾法、窮舉法及統(tǒng)計(jì)法等）可以借用，但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和天線系統(tǒng)變得復(fù)雜，越來越多的優(yōu)化方法用于陣列天線的綜合，常見的有共扼梯度法、擬牛頓法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、單純形法、遺傳算法和模擬退火法。差分進(jìn)化算法（Differential Evolution，DE）是由 R.Stone和K.Price在1995年提出的一種簡單而高效啟發(fā)式的全局優(yōu)化算法［3］，在1996年的國際進(jìn)化優(yōu)化競賽上，DE表現(xiàn)優(yōu)異，被證明是最快的進(jìn)化算法之一。差分進(jìn)化算法具有參數(shù)少、算法簡單、易編程等優(yōu)點(diǎn)，對于高維、非線性及不可微等特性的函數(shù)優(yōu)化問題表現(xiàn)出極強(qiáng)的生命力，因而廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。與遺傳算法相比，收斂速度更快，且易于其他方法相結(jié)合［4］，而且此算法無論在數(shù)學(xué)還是在天線陣列優(yōu)化［4－5］方面都有很好的魯棒性。標(biāo)準(zhǔn)的DE算法一個(gè)重要缺陷就是在求解后期收斂速度較慢，對于有些多峰復(fù)雜函數(shù)容易出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，文獻(xiàn)［6］針對這一缺點(diǎn)設(shè)計(jì)了一種快速高效的差分進(jìn)化算法。目前該改進(jìn)算法尚未在天線領(lǐng)域中應(yīng)用，因此，將該改進(jìn)的差分進(jìn)化算法引入到非均勻線陣綜合。

1 優(yōu)化模型及差分進(jìn)化算法

考慮優(yōu)化的不對稱非均勻線陣如圖1所示，陣列的孔徑為L，陣元數(shù)為N（N為正整數(shù)），為了保證陣列的孔徑為L，令dN＝L，d1＝0，取陣元位置為（d2，…，dN－1），滿足 min ｛di＋1－di≥d｝ ，使該線陣的最大峰值旁瓣電平（maxPSLL）最低。取陣元位置為優(yōu)化變量，且In為第n個(gè)電流激勵(lì)，u＝cosθ，θ是掃描角，0≤θ≤π，k＝2π／λ，u的取值區(qū)間排除主瓣區(qū)域，各陣元的激勵(lì)等副同相，即In＝1（n＝1，…，N），則非均勻線陣的方向圖為：

圖1 不對稱非均勻線陣的結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometry of non－uniformly linear asymmetric array

以降低非均勻線陣的峰值旁瓣電平（PSLL）為優(yōu)化目標(biāo)，依據(jù)最大峰值旁瓣電平構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)：

式（2）中，fmax為主瓣峰值。

目標(biāo)函數(shù)為：

1.1 標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法

標(biāo)準(zhǔn)DE算法首先要隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)種群，然后對種群中的個(gè)體進(jìn)行變異、交叉和選擇操作，從而產(chǎn)生新的一代，如此反復(fù)迭代最終收斂到最優(yōu)個(gè)體［7］。具體操作如下：

1）變異操作

對每個(gè)目標(biāo)矢量變異如下

式中，r1、r2、r3∈ ［1，2，…，N］為隨機(jī)選擇的不同于i的互不相同的3個(gè)數(shù)；di（n）為第n代產(chǎn)生的新個(gè)體，F(xiàn) ∈ ［0，2］為縮放因子。

2）交叉操作

對于目標(biāo)矢量di（n），將與式（1）中產(chǎn)生的變異矢量Di（n＋1），按如下規(guī)則進(jìn)行交叉產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)矢量：

式中，R∈［0，1］為交叉概率因子。

3）選擇操作

DE在交叉操作之后，通常采用貪婪選擇產(chǎn)生如下子代：凡交叉后所產(chǎn)生個(gè)體之目標(biāo)函數(shù)優(yōu)于其父體，就代替父代進(jìn)入再下一代循環(huán)；否持父代不變。

1.2 改進(jìn)的差分進(jìn)化算法

針對標(biāo)準(zhǔn)DE算法易陷入早熟的缺點(diǎn)，在變異和交叉操作中引入文獻(xiàn)［6］提出的自適應(yīng)縮放因子F及交叉概率因子R：

式中，F(xiàn)max為0.6，F(xiàn)min為0.2，Rmin為0.2，Rmax為0.9，nmax為迭代的最大代數(shù)。縮放因子F和交叉概率因子R的大小對算法的收斂性和收斂速度有極大的影響。為了在搜索的初始階段保持種群的多樣性，進(jìn)行全局搜索，而在搜索的后期應(yīng)加強(qiáng)局部搜索能力和加速收斂速度，以提高算法的精度。該改進(jìn)DE算法能夠很好地平衡局部搜索能力和全局搜索能力。該改進(jìn)算法的具體步驟如下：

1）創(chuàng)建初始群體；

2）計(jì)算群體中個(gè)體的適應(yīng)度；

3）判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則，若滿足則輸出最佳個(gè)體，否則繼續(xù)迭代；

4）自適應(yīng)變異操作；

5）自適應(yīng)交叉操作；

6）選擇最佳個(gè)體作為新父代；轉(zhuǎn)到第2）步驟。

2 用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法綜合非均勻線陣

將該改進(jìn)的差分進(jìn)化算法用來綜合非均勻線陣，在進(jìn)化過程中增加了改進(jìn)DE算法預(yù)處理和后處理兩個(gè)步驟，因而在優(yōu)化過程中不需要反復(fù)測定陣元是否滿足條件，簡化了優(yōu)化過程。具體描述如下：

1）初始群體的創(chuàng)建

該直線陣的優(yōu)化參數(shù)即各點(diǎn)源的坐標(biāo)di，在［0，L］的范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，并在優(yōu)化的過程中不斷趨近于最優(yōu)值。無論是隨機(jī)產(chǎn)生的還是進(jìn)化得到的最優(yōu)值di，都需要測定其是否滿足最小間距條件，這樣會使優(yōu)化過程非常復(fù)雜。非均勻線陣的約束條件為：為了從物理上保證最大陣列孔徑，在兩端各放置一個(gè)陣元，即，dN＝L，d1＝0，假設(shè)前N－1個(gè)陣元都向后占據(jù)長度為d，則共有（N－1）d的區(qū)間上不能分布陣元，這樣孔徑上共剩余的區(qū)間為：S＝L－（N－1）d，在區(qū)間［0，S］上隨機(jī)生成N－2個(gè)隨機(jī)數(shù)并按照從小到大的順序排列，這樣即可生成陣元向量：

不難證明，上述方法生成的個(gè)體滿足了陣元數(shù)為N，孔徑為L，最小陣元間距為d。再根據(jù)上述描述，可以隨機(jī)生成M個(gè)向量X構(gòu)成初始種群。

2）改進(jìn)DE算法預(yù)處理和后處理

由于陣列的陣元間距約束，通過通用的DE算法交叉變異得到子代群體很有可能不再滿足陣元間的距離約束。為了避免該問題的出現(xiàn)，需要對父代群體進(jìn)行差分操作預(yù)處理提取基因信息，然后對基因信息進(jìn)行自適應(yīng)交叉和自適應(yīng)變異兩種差分操作，最后對新的基因信息矩陣進(jìn)行差分操作后處理，得到子代群體。

令由陣元數(shù)N和最小陣元間距d確定的數(shù)量矩陣為約束矩陣：

定義1：由選擇后的形式如F父代群體F1到差分操作（廣義交叉和廣義變異）前的基因矩陣P的如下變換為DE算法操作預(yù)處理：

定義2：交叉和變異操作之后的基因信息矩陣P1到子代群體F2的DE算法操作后處理：

3）改進(jìn)DE算法的變異和交叉操作

通過預(yù)處理得到的父代個(gè)體，按照式（4）進(jìn)行自適應(yīng)變異操作，產(chǎn)生變異矢量Di（n＋1），自適應(yīng)縮放因子F由式（6）確定。再判斷變異矢量是否在［0，S］，若不在，將變異矢量用［0，S］區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)取代，最后對該變異矢量的元素從小到大排列；對于目標(biāo)矢量和變異矢量按照式（5），產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)矢量Ui，j，其中自適應(yīng)交叉因子按照式（7）確定。

3 仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證改進(jìn)的DE算法在天線應(yīng)用中的有效性和穩(wěn)健性，下面用它綜合兩例線陣具有不同陣元數(shù)同一孔徑非均勻線陣，并分別與同一孔徑同一陣元數(shù)的均勻線陣進(jìn)行比較。

仿真實(shí)例1：對于陣列孔徑為9.744λ（λ為波長），陣元數(shù)為17，任意陣元間距不小于0.5λ的非均勻線陣。算法的基本參數(shù)為：種群數(shù)為100，終止代數(shù)為300，采用截?cái)噙x擇，截?cái)嚅y值為0.5。為保證該方法的有效性，隨機(jī)進(jìn)行了9次仿真實(shí)驗(yàn)，表1列出了優(yōu)化后的PSLL最優(yōu)線陣的陣元坐標(biāo)和陣元間距，PSLL值為－20.080 1dB，圖2為最優(yōu)非均勻線陣和均勻線陣方向圖。仿真結(jié)果表明：該方法可用于非均勻天線綜合，有效地降低陣列天線最大旁瓣電平。

表1 仿真實(shí)例優(yōu)化的陣元坐標(biāo)Tab.1 The element positions in simulation

圖2 陣元數(shù)為17均勻陣與非均勻陣方向圖比較Fig.2 Comparison of Radiation pattern for the non－uniformly and uniform 17－element array

仿真實(shí)例2：圖3為陣列孔徑為9.744λ（λ為波長），陣元數(shù)為10的均勻陣列和非均勻線陣的方向圖，算法參數(shù)與仿真實(shí)例1相同。從圖中可以看出，均勻陣列的方向圖會出現(xiàn)柵瓣，而DE優(yōu)化的非均勻陣列沒有，因此該方法能有效避免柵瓣。圖4為仿真實(shí)例的收斂曲線，可以看出該方法具有高魯棒性，快速達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。

圖3 陣元數(shù)為10均勻陣與非均勻陣方向圖比較Fig.3 Comparison of Radiation pattern for the non－uniformly and uniform 10－element array

圖4 DE收斂曲線Fig.4 Convergence characteristics of DE

仿真實(shí)例3：運(yùn)用遺傳算法（GA）綜合仿真實(shí)例1，GA的基本參數(shù)為：種群數(shù)為200，最大迭代次數(shù)為300，采用截?cái)噙x擇，截?cái)嚅撝禐?.5，單點(diǎn)交叉，交叉概率0.6，變異概率為m ＝0.3－0.29n／nmax，隨機(jī)運(yùn)行9次。圖5為DE和GA算法隨機(jī)運(yùn)行9次最大旁瓣電平值對比，由圖可知，DE算法得到的結(jié)果比GA算法更優(yōu)，算法更加穩(wěn)定。

圖5 GA和DE算法運(yùn)行9次的maxPSLL對比Fig.5 Contrast of maxPSLL by GA and DE running nine times

4 結(jié)論

本文將改進(jìn)的差分進(jìn)化算法引入非均勻陣列綜合。該改進(jìn)的DE算法在天線綜合過程中，增加了預(yù)處理和后處理兩個(gè)步驟，簡化了綜合過程。仿真結(jié)果表明：該方法能有效地改善其陣列天線的性能，迅速找到最佳陣列天線單元的位置，簡單實(shí)用，快速有效，魯棒性和穩(wěn)定性好，為解決天線綜合這一問題提供了有益的參考。

［1］汪茂光，呂善偉，劉瑞祥.陣列天線分析與綜合［M］.成都：電子科技大學(xué)出版社，1989.

［2］Kumar B P，Branner G R.Generalized analytical technique for the synthesis of unequally spaced arrays with linear，planar，cylindrical or spherical geometry［J］.IEEE Trans.Trans on Antenna and Propagation，2005，53（2）：621－634.

［3］Storn R Price K.Differential evolution－a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces［R］.US：International Computer Science Institute，1995.

［4］范瑜，金榮洪，耿軍平，等.基于差分進(jìn)化算法和遺傳算法的混合優(yōu)化算法及其在陣列天線方向圖綜合中的應(yīng)用［J］.電子學(xué)報(bào)，2004，32（12）：1 997－2 000.FAN Yu，JIN Ronghong，GENG Junping，et al.A hybrid optimized algorithm based on differential evolution and genetic algorithm and its applications in pattern synthesis of antenna arrays［J］.Acta Electronica Sinica，2004，32（12）：1 997－2 000.

［5］Kurup D G，Himidi M，Rydberg A.Synthesis of uniform amplitude unequally spaced antenna arrays using the differential evolution algorithm［J］.IEEE，2003，51（9）：2 210－2 217.

［6］肖術(shù)駿，朱學(xué)峰.一種改進(jìn)的快速高效的差分進(jìn)化算法［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32（11）：1 700－1 703.XIAO Shujun，ZHU Xuefeng.A modified fast and highly efficient differential evolution algorithm［J］.Journal of Hefei University of Technology（Natural Science，2009，32（11）：1 700－1 703.

［7］周艷平，顧幸生.差分進(jìn)化算法研究進(jìn)展［J］.化工自動及儀表，2007，34（3）：1－5.ZHOU Yanping，GU Xingsheng.Development of differential evolution algorithm［J］.Control and Instruments in Chemical Industry，2007，34（3）：1－5.