賈 寧，陶 勝，楊志林

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230009）

近幾十年來，隨著計(jì)算技術(shù)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的不斷普及，庫(kù)存控制模型的應(yīng)用越來越廣泛。許多學(xué)者致力于變質(zhì)性物品的生產(chǎn)與銷售的庫(kù)存模型的研究，之前的大多經(jīng)典庫(kù)存模型均假設(shè)單位時(shí)間單位物品的庫(kù)存費(fèi)和短缺費(fèi)是常數(shù)。然而，在實(shí)際中，并非所有物品的單位時(shí)間單位物品的庫(kù)存費(fèi)和短缺費(fèi)是常數(shù)，如某貴重物品的儲(chǔ)存和短缺時(shí)這些費(fèi)用也會(huì)隨著時(shí)間的增加而增加，后來，許多學(xué)者研究了庫(kù)存費(fèi)和短缺費(fèi)是時(shí)間函數(shù)的庫(kù)存模型。1982年，Weiss［1］較早地研究了庫(kù)存費(fèi)為非線性時(shí)變函數(shù)的庫(kù)存問題；1994年，M Goh.［2］進(jìn)一步分析了單位物品庫(kù)存費(fèi)與庫(kù)存量呈非線性關(guān)系的庫(kù)存問題；2001年，毛曉麗［3-4］在Goh的基礎(chǔ)上建立了單位庫(kù)存費(fèi)可變的變質(zhì)物品EOQ模型，但未考慮短缺現(xiàn)象；2007年，Mark Ferguson等［5］提出的庫(kù)存模型也認(rèn)為單位庫(kù)存費(fèi)與時(shí)間有關(guān)，并結(jié)合實(shí)際進(jìn)行了運(yùn)用，得到一些有價(jià)值的結(jié)論；2007年，Benkherouf等［6］建立了一種單位庫(kù)存費(fèi)和缺貨費(fèi)用均為線性時(shí)變函數(shù)的庫(kù)存模型。這些都是涉及庫(kù)存費(fèi)和缺貨費(fèi)用可變的庫(kù)存模型，但都未考慮變化問題，且都是假設(shè)訂貨費(fèi)是固定不變的，然而一般訂貨費(fèi)用應(yīng)包括以下2個(gè)部分；一部分是差旅費(fèi)、通訊費(fèi)等，這部分費(fèi)用可認(rèn)為是固定不變的；另一部分是所訂物品的運(yùn)輸費(fèi)、裝卸費(fèi)等，這部分費(fèi)用則是與訂貨量有關(guān)的可變費(fèi)用，本文在訂貨費(fèi)用是可變的假設(shè)下，分別建立了庫(kù)存費(fèi)和短缺費(fèi)均是時(shí)間的函數(shù)及庫(kù)存費(fèi)是庫(kù)存量的函數(shù)的2個(gè)庫(kù)存模型，并且從理論上給出了其最優(yōu)解。

1 模型的記號(hào)與假設(shè)

（1）系統(tǒng)運(yùn)行在無限計(jì)劃期內(nèi)，前置期為零，瞬時(shí)補(bǔ)貨，補(bǔ)貨量不受限制，在此過程中生產(chǎn)廠家無折扣活動(dòng)。允許短缺發(fā)生，且短缺量完全延期供給。

（2）Q1表示一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)的最大庫(kù)存水平，Q2表示一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)的最大短缺水平，而Q為每個(gè)周期的訂貨量，即Q＝Q1＋Q2。

（3）t1表示一個(gè)周期內(nèi)庫(kù)存量降為0的時(shí)刻，T是一個(gè)訂貨周期長(zhǎng)度。

（4）p表示單位商品的進(jìn)貨價(jià)格，Ar表示每次訂貨費(fèi)用，且Ar＝A＋cQ，其中c表示單位訂貨的附加費(fèi)用。

（5）D表示常數(shù)需求率；產(chǎn)品的變質(zhì)率α是假定是一個(gè)常數(shù)，且商品變質(zhì)后無殘值。

（6）HC表示一個(gè)周期的庫(kù)存費(fèi)；SC表示一個(gè)周期的短缺費(fèi)；PC表示一個(gè)周期的進(jìn)貨成本；DC表示一個(gè)周期的訂貨費(fèi)；TC表示庫(kù)存系統(tǒng)的平均費(fèi)用。

2 基于庫(kù)存費(fèi)用和短缺費(fèi)用為時(shí)間的函數(shù)的庫(kù)存模型

在實(shí)際中，并非所有物品的單位時(shí)間單位物品的庫(kù)存費(fèi)和短缺費(fèi)是常數(shù)，如某貴重物品的儲(chǔ)存和短缺時(shí)這些費(fèi)用也會(huì)隨著時(shí)間的增加而增加，針對(duì)這些情形可假設(shè)庫(kù)存費(fèi)HC和短缺費(fèi)用SC滿足下列方程：

其中h1（t），s1（t-t1）和h′1（t），s′1（t-t1）在t∈（0，＋∞）上均大于0。由以上假設(shè)可知，設(shè)I（t）為t時(shí)刻的庫(kù)存水平，則I（t）應(yīng)滿足下列方程：

且I（t1）＝0，則得

則一個(gè)訂貨周期內(nèi)最大庫(kù)存量Q1＝I（0）＝D（eαt1-1）／α，最大短缺量為Q2＝I（T）＝D（T-t1）即每個(gè)周期的訂貨量為Q＝Q1＋Q2＝D（eαt1-1）／α＋D（T-t1）。

若系統(tǒng)從t＝0開始運(yùn)行，則一個(gè)周期［0，T］內(nèi)的費(fèi)用由以下幾個(gè)部分組成：

（1）庫(kù)存費(fèi)

（2）短缺費(fèi)

（3）訂貨成本

（4）訂貨費(fèi)用

則一個(gè)周期［0，T］內(nèi)的庫(kù)存系統(tǒng)的平均費(fèi)用為

下面問題是確定兩個(gè)決策變量t，T的最優(yōu)值，使得系統(tǒng)的平均費(fèi)用TC最小，即求解如下的最優(yōu)問題：

由函數(shù)的極小值必要條件知，T和t1的最優(yōu)值應(yīng)滿足下列方程

由分析可得出以下結(jié)論：

定理1 上述方程組（5）、（6）存在唯一的一組解。

證明可令（6）式左邊為

則

定理2 上述方程組的唯一的一組解（T＊，t＊1）使得平均費(fèi)用函數(shù)TC達(dá)到最小值。

證明由于

則有

所以TC在（T＊，t＊1）處的海森矩陣正定。故（T＊，t＊1）是TC的整體唯一的最小值點(diǎn)。

3 基于庫(kù)存費(fèi)為庫(kù)存量的函數(shù)的庫(kù)存模型

在現(xiàn)實(shí)生活中，庫(kù)存費(fèi)用和短缺費(fèi)用一般是可變情形的，且這些物品的價(jià)值一般較高，為了減少物品的變質(zhì)或因隨時(shí)間的增加而產(chǎn)生庫(kù)存費(fèi)和短缺費(fèi)的損失，人們就需要采取一些措施來使其總費(fèi)用最少?？杉僭O(shè)此模型下單位時(shí)間單位物品短缺費(fèi)用為s是常量，庫(kù)存費(fèi)HC滿足方程dHC／dt＝h2（I）且h2（I）＞0在（0，＋∞）內(nèi)可導(dǎo)，即

而

所以庫(kù)存費(fèi)

短缺費(fèi)

其余費(fèi)用同2中的模型，則系統(tǒng)的平均費(fèi)用

類似于模型1，要確定兩個(gè)決策變量t1，T的最優(yōu)值，使得系統(tǒng)的平均費(fèi)用TC最小。同理t1，T的最優(yōu)值必滿足下列方程組：

同理可得下面的結(jié)論。

定理3 上述非線性方程組（7）、（8）存在唯一的一組解。

證明令（8）等式的左邊為

而

定理4 上述方程組的唯一的一組解（T＊，t＊1）使得平均費(fèi)用函數(shù)TC達(dá)到最小值。

證明由于

以及

而

所以

則

所以TC在（T＊，t＊1）處的海森矩陣正定。故（T＊，t＊1）是TC的整體唯一的最小值點(diǎn)。

4 特例

5 結(jié)束語(yǔ)

在假設(shè)經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)批量模型中允許短缺，但短缺量完全延期供給的變質(zhì)物品庫(kù)存的基礎(chǔ)上，假定了在訂貨費(fèi)用是可變的前提下，建立了2個(gè)模型。模型1是庫(kù)存費(fèi)和短缺費(fèi)均是關(guān)于時(shí)間的變化函數(shù)，模型2庫(kù)存費(fèi)是關(guān)于庫(kù)存量的變化函數(shù)。并且對(duì)2個(gè)模型決策變量的解的存在性與唯一性給予證明，從不同角度研究了這些變量對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)決策的影響，更全面而真實(shí)地揭示了這類物品的存儲(chǔ)規(guī)律，從而具有一定的實(shí)際意義。

［1］Weiss H.Economic order quantity models with nonlinear holding costs ［J］.European Journal of Operational Research，1982，9（1）：56-60.

［2］M.Goh.EOQ Models with General Demand and Holding Cost Functions［J］.European Journal of Operational Research，1994，73（1）：50-54.

［3］毛曉麗.變庫(kù)存費(fèi)的變質(zhì)性物品的EOQ模型［J］.武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，24（3）：322-324.

［4］毛曉麗.變庫(kù)存費(fèi)的變質(zhì)性物品的最優(yōu)訂貨策略［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001，18（3）：70-74.

［5］Mark Ferguson，Vaidy Jayaraman，Gilvan C Souza.Note：An application of the EOQ model with nonlinear holding cost to inventory management of perishables［J］.European Journal of Operational Research，2007，180（2）：485-490.

［6］Lakdere Benkherouf.On a stochastic inventory model with ageneralized holding costs［J］.European Journal of Operational Research，2007，182（2）：730-737.