李衛(wèi)升 林政劍

(1 九江職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系； 2 九江學(xué)院電子工程學(xué)院 江西九江 332005)

在傳統(tǒng)的信號(hào)處理中，高斯白噪聲與高斯有色噪聲模型一直占據(jù)著主導(dǎo)地位。二階線(xiàn)性理論的信號(hào)分析處理方法常常假設(shè)系統(tǒng)中的噪聲是具有有限二階統(tǒng)計(jì)量的高斯噪聲[1],因而常用功率譜密度函數(shù)來(lái)描述高斯隨機(jī)過(guò)程的功率隨頻率的分布。然而，在諸如水聲、雷達(dá)、通信和生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的許多隨機(jī)信號(hào)和噪聲是非高斯分布的，如海洋環(huán)境噪聲、電路傳輸線(xiàn)上瞬間尖峰、大氣噪聲、語(yǔ)音信號(hào)和生物醫(yī)學(xué)信號(hào)以及多種人為噪聲等，這些信號(hào)中存在顯著的尖峰狀噪聲。α穩(wěn)定分布[1-3]就是一種非高斯分布，其概念最先是由利維(Levy)于1925年在研究廣義中心極限定理時(shí)提出的。α穩(wěn)定分布的統(tǒng)計(jì)特性由其特征函數(shù)的四個(gè)參數(shù)來(lái)決定。概率密度函數(shù)沒(méi)有統(tǒng)一的封閉表達(dá)式，但它的特征函數(shù)存在統(tǒng)一的形式。

α是特征指數(shù) ，控制著隨機(jī)過(guò)程的脈沖程度， 愈小脈沖性愈強(qiáng)；β是對(duì)稱(chēng)系數(shù)，β=0時(shí)表示對(duì)稱(chēng)分布，γ是分散系數(shù)，類(lèi)似于高斯分布的方差；μ為位置參數(shù)，對(duì)應(yīng)于均值或中值[4]。國(guó)際上關(guān)于非高斯信號(hào)處理的研究可以追溯到20世紀(jì)60年代。由于在頻域內(nèi)研究隨機(jī)信號(hào)的特性往往可以得到具有優(yōu)越于時(shí)域內(nèi)研究的結(jié)果，許多專(zhuān)家學(xué)者對(duì)α穩(wěn)定分布譜進(jìn)行了比較深入細(xì)致的研究。

1α譜

文獻(xiàn)[4]定義了一種分?jǐn)?shù)階譜，

Sα(z)=γ其中X (n) 是穩(wěn)定白噪聲U(n) 通過(guò)一個(gè)傳遞函數(shù)為H(z)=h(0)+h(1)Z-1+h(z)Z-2+…的濾波器輸出, 因?yàn)橐粋€(gè)因果穩(wěn)定ARMA 系統(tǒng)總可以由一個(gè)具有截?cái)嚯A數(shù)為q的FIR系統(tǒng)進(jìn)行逼近[4]，因而這里取q階FIR 濾波器截短形式。γ為穩(wěn)定白噪聲U(n) 的分散系數(shù)。

2 共變譜

根據(jù)文獻(xiàn)[4]定義的自共變函數(shù)

Г(τ)=[(t),

3 分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜

文獻(xiàn)在具有有限[6]二階統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)過(guò)程定義的相關(guān)函數(shù)基礎(chǔ)上定義了α穩(wěn)定分布隨機(jī)過(guò)程的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差

R(τ)=E|(n)(

4廣義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜

文獻(xiàn)[7]引入了一個(gè)非線(xiàn)性變換函數(shù)g((t),A),g((t),A)=((t)),0≤A<α/2， ,對(duì)分?jǐn)?shù)低階的穩(wěn)定分布隨機(jī)過(guò)程作非線(xiàn)性變換使得變換后的隨機(jī)過(guò)程(t)二階統(tǒng)計(jì)量存在,由此定義穩(wěn)定分布隨機(jī)過(guò)程的廣義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差

R(τ)=E[g((t))·g(在此基礎(chǔ)上對(duì)廣義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差進(jìn)行變換, 定義一種新的廣義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜廣義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜中非線(xiàn)性變換函數(shù)的選擇依賴(lài)于對(duì)隨機(jī)變量的特征指數(shù)先驗(yàn)知識(shí)的了解或估計(jì),不同的非線(xiàn)性變換函數(shù)譜估計(jì)的性能可能差別較大，很多穩(wěn)定分布隨機(jī)過(guò)程大多缺乏先驗(yàn)知識(shí)，很難選擇合適的非線(xiàn)性變換函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效識(shí)別。

5 幾何功率譜

文獻(xiàn)[9]對(duì)數(shù)階隨機(jī)變量X的幾何功率(GP，Geometric Power)定義為

6分?jǐn)?shù)低階雙譜

近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的不同于傳統(tǒng)利用二階矩的信號(hào)處理方法，就是利用高階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理技術(shù)，從三階或四階統(tǒng)計(jì)量中提取有用的信息。文獻(xiàn)[10]在雙譜的基礎(chǔ)上定義分?jǐn)?shù)低階雙譜：

γ3e為調(diào)節(jié)系數(shù)。通過(guò)分?jǐn)?shù)低階雙譜直接和間接兩種方法對(duì)穩(wěn)定分布中的正弦信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)，可以比較有效地識(shí)別信號(hào)。該方法由于要進(jìn)行二維傅里葉變換，運(yùn)算量比較大，對(duì)序列長(zhǎng)度較大的數(shù)據(jù)難以做到實(shí)時(shí)處理。

7 分?jǐn)?shù)低階時(shí)頻譜

基于平穩(wěn)信號(hào)理論的常規(guī)傅立葉變換方法不能刻畫(huà)任一時(shí)刻的頻率成分，缺乏時(shí)間和頻率的定位功能，反映不出信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的行為，對(duì)頻率隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)，只能給出一個(gè)總的平均效果[4]。時(shí)頻分析能同時(shí)保留時(shí)間與頻率信息，是刻畫(huà)譜特征隨時(shí)間變化信號(hào)的有用工具，在低信噪比的情況下信號(hào)的恢復(fù)，通信、雷達(dá)和聲納方面，瞬時(shí)頻率和群延遲的精確估計(jì)，信號(hào)檢測(cè)，以及濾波等信號(hào)處理方面的應(yīng)用非常廣泛[4]。

文獻(xiàn)[11]定義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差

傅里葉變換后為分?jǐn)?shù)低階時(shí)變功率譜，可稱(chēng)為分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville譜。

分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville譜是一種有效的α穩(wěn)定分布的時(shí)頻域分析工具，能夠?qū)π盘?hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)定位。同樣分?jǐn)?shù)低階時(shí)頻譜信號(hào)處理運(yùn)算量較大[4]。

8 結(jié)語(yǔ)

本文綜述了近年來(lái)α穩(wěn)定分布噪聲背景下利用分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行譜估計(jì)的各種方法。這些方法在估計(jì)正弦頻率信號(hào)時(shí)都具有一定的韌性，是對(duì)傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計(jì)量基礎(chǔ)上的譜估計(jì)分析方法的改造和推廣。由于α穩(wěn)定分布噪聲中的特征指數(shù)往往缺乏先驗(yàn)知識(shí)，加之有用信號(hào)往往要比正弦信號(hào)要復(fù)雜得多，還有在不同的信噪比下，要正確地進(jìn)行譜估計(jì)，上述方法都有一定的局限性，需要探尋更具有普遍意義的譜估計(jì)方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]查代奉，林政劍，樊紅社，等.基于對(duì)數(shù)變換的非高斯噪聲幾何功率譜特性分析[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,28(6)：1.

[2]Nikias C L, Shao M. Signal processing with alpha-stable distributions and applications[M]. New York: John Wiley & Sons Inc, 1995.

[3]Shao M, Nikias C L. Signal processing with fractional lower order moments: stable processes and their applications [J]. Proceedings of IEEE, 1993,81(7):986.

[4]Ma X, Nikias C L. Parameter estimation and bland channel identification in impulsive signal environments[J]. IEEE Trans on signal processing, 1995, 43(11): 2884.

[4]林政劍，李衛(wèi)升，查代奉.低階非高斯有色噪聲的Wigner-Ville譜[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，25(3)：15.

[5]查代奉, 邱天爽. 基于分?jǐn)?shù)階譜的頻域廣義白化濾波方法[J].通信學(xué)報(bào), 2005,26(5): 24.

[6]孫永梅. 穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)與譜分析理論及應(yīng)用研究[D].大連:大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文,2006.

[7]江金龍，查代奉.廣義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜及諧波頻率估計(jì)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008,32(4):432.

[8]林政劍，查代奉，邱天爽.非線(xiàn)性系統(tǒng)中穩(wěn)定有色噪聲建模及FLOC譜特性 [J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，47(36)：171.

[9]Juan G Gonzalez，David W Griffith，Gonzalo R Arce. Zero-order statistics: a signal processing framework for very impulsive processes[C].IEEE Signal Processing Workshop on Higher-Order Statistics, 1997 (2): 254.

[10]羅靜，游芳.基于分?jǐn)?shù)低階的雙譜及其估計(jì)方法[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,28(6)：32.

[11]David W Griffith, Juan G Gonzalez, and Gonzalo R Arce. Robust time-frequency representations for signals in alpha-stable noise using fractional lower-order statics[J].Proceedings of the IEEE Signal Processing Workshop on Higher-Order Statistics，1997，82(12):415.