李存志

(西安電子科技大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710071)

眾所周知，當(dāng)兩個(gè)線圈串聯(lián)時(shí)，通過(guò)整個(gè)線圈的磁通量等于通過(guò)兩個(gè)線圈磁通量的和。在確定兩個(gè)線圈串聯(lián)后的等效自感系數(shù)時(shí)，可以利用磁通量的方法，也可以用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方法。但在確定兩個(gè)線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)時(shí)，人們通常利用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方法［1－3］，迄今為止還未見(jiàn)到用磁通量的方法。因?yàn)檫@里存在一個(gè)長(zhǎng)期困擾研究者的基本問(wèn)題，即當(dāng)兩個(gè)線圈并聯(lián)時(shí)，通過(guò)兩個(gè)線圈的磁通量之間滿足什么關(guān)系?文中將試圖回答這一問(wèn)題。

1 命題與證明

命題 在不考慮線圈電阻的條件下，對(duì)于線圈并聯(lián)，通過(guò)兩個(gè)線圈的磁通量相等。

證明 假設(shè)有線圈1和線圈2，它們的自感系數(shù)分別為L(zhǎng)1和L2，之間的互感系數(shù)為M，不考慮它們的電阻，把兩個(gè)線圈并聯(lián)，如圖1所示。設(shè)干路中通有電流I，兩個(gè)支路中電流分別為I1和I2，則有當(dāng)電流變化時(shí)式(1)仍然成立。

圖1 兩個(gè)線圈并聯(lián)圖

對(duì)式(1)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有

當(dāng)電流變化時(shí)，在線圈1中會(huì)產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)εL1和互感電動(dòng)勢(shì)ε12，在線圈1中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε1為

在式(3)中，符號(hào)“±”及“?”的取法，對(duì)于順并聯(lián)取上面的符號(hào)，對(duì)于反并聯(lián)取下面的符號(hào)，以下同。

同樣，在線圈2中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε2為

設(shè)兩個(gè)線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)為L(zhǎng)，則等效線圈的自感電動(dòng)勢(shì)εL為

由于不考慮線圈的電阻，所以在任意時(shí)刻t，有

將式(2)～式(6)聯(lián)立，可得到兩個(gè)線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)

令 Φm1=L1I1± MI2，Φm2=L2I2± MI1，Φm=LI。Φm1、Φm2和Φm分別表示t時(shí)刻通過(guò)線圈1、線圈2和等效線圈的磁通量。則式(3)～式(5)可分別表示為

式(8)～式(10)正是法拉第電磁感應(yīng)定律。

由式(6)得，在任意時(shí)刻t

將上式兩邊同乘以d t，得

即在相同的時(shí)間內(nèi)，通過(guò)每個(gè)線圈的磁通量的增量相等，且等于等效線圈磁通量的增量。

假設(shè)在t=0時(shí)刻，I=I1=I2=0，Φm=Φm1=Φm2=0，則在任意時(shí)刻 t，有

即在任意時(shí)刻t，通過(guò)兩個(gè)線圈的磁通量相等，且等于通過(guò)等效線圈的磁通量，證畢。

2 應(yīng)用

下面用磁通量的方法確定兩個(gè)線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)。在任意時(shí)刻t

通過(guò)線圈1的磁通量為

通過(guò)線圈2的磁通量為

通過(guò)等效線圈的磁通量為

根據(jù)文中的結(jié)論，有

將式(14)～式(18)聯(lián)立可得到兩個(gè)線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)

顯然，利用磁通量的方法確定線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)比用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方法更為簡(jiǎn)單。

3 結(jié)束語(yǔ)

利用法拉第電磁感應(yīng)定律證明了:對(duì)于理想線圈(即不考慮電阻)，在線圈并聯(lián)時(shí)，通過(guò)每個(gè)線圈的磁通量相等，且等于通過(guò)整個(gè)回路的磁通量。對(duì)于理想線圈的串并聯(lián)可總結(jié)為:線圈串聯(lián)，電流相等，磁通量相加;線圈并聯(lián)，磁通量相等，電流相加。利用磁通量的方法確定線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)比用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方法更為簡(jiǎn)單。

［1］林祥立.兩并聯(lián)線圈總等效自感系數(shù)的確定［J］.六盤水師專學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1995(4):64－67.

［2］梁明智.具有互感的線圈的串聯(lián)和并聯(lián)［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，25(1):13 －14.

［3］REESE R L.大學(xué)物理［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2002.