周守仁

（四川省社會(huì)科學(xué)院，四川成都 610041）

試論數(shù)學(xué)的文化奇觀
——兼談文化和科學(xué)文化

周守仁

（四川省社會(huì)科學(xué)院，四川成都 610041）

廣義的文化定義主要有“總和說”與“模糊說”兩類。把“總和說”進(jìn)一步擴(kuò)展為“超廣義說”，把“模糊說”修改為“自創(chuàng)生說”，將兩者結(jié)合起來稱做“超廣義自創(chuàng)生文化說”?？茖W(xué)文化指科學(xué)本身以及科學(xué)與社會(huì)其他文化相互交融所形成的文化群類。數(shù)學(xué)文化指把自然、社會(huì)、思維等各個(gè)領(lǐng)域中的數(shù)量關(guān)系、空間形式、信息符號(hào)、能量運(yùn)轉(zhuǎn)、物質(zhì)結(jié)構(gòu)的哲理精蘊(yùn)、藝術(shù)神采以其微妙深?yuàn)W的規(guī)律化方式智慧地展現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)的文化奇觀的表現(xiàn)形式為深蘊(yùn)的統(tǒng)一性、內(nèi)增的復(fù)雜性、天成的藝術(shù)性和奇難的懸疑性等四個(gè)方面。

數(shù)學(xué)的文化奇觀；統(tǒng)一性；復(fù)雜性；藝術(shù)性；懸疑性

一、文化、科學(xué)文化和數(shù)學(xué)文化的現(xiàn)代新釋

當(dāng)人們有幸邁入數(shù)學(xué)文化的殿堂，那琳瑯滿目、俯拾即是的數(shù)學(xué)珍寶，將以其無比的奇姿美態(tài)奪人心魄。如果能有幸獲得些許珍寶在手，無疑會(huì)一生一世享用不盡。可究竟什么是數(shù)學(xué)文化呢？筆者才疏學(xué)淺，不敢妄加界定。但探索數(shù)學(xué)文化為本人的一大快事，也只好不顧被人指點(diǎn)之虞寫出此文。

筆者自忖，若能首先使文化、科學(xué)文化、數(shù)學(xué)文化在概念解釋方面邏輯一致，則不管對(duì)數(shù)學(xué)文化理念闡述如何，總可以有一個(gè)穩(wěn)當(dāng)?shù)钠鸩?。文化這個(gè)概念是多義的，且很難定義。據(jù)統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)有關(guān)于“文化”定義的表達(dá)已超過160多種，筆者不揣冒昧提出“超廣義自創(chuàng)生”文化概念。

這里，直接從人們對(duì)文化的廣義定義開始探討。對(duì)文化的廣義定義主要有“總和說”與“模糊說”兩類。

例如，有人把文化當(dāng)作物質(zhì)財(cái)富與精神財(cái)富的總和，認(rèn)為文化是人與自然、人與世界全部復(fù)雜關(guān)系種種表現(xiàn)形式的總和。還有人把文化看成是人類實(shí)踐能力方式及成果之總稱，等等。這些都是關(guān)于文化含義的“總和說”。另一些研究人員認(rèn)為，“文化”是一個(gè)比較模糊的概念，它猶如許多細(xì)胞構(gòu)成的一個(gè)整體，邊緣不齊整，內(nèi)涵不確定，外延也不確定，因此只能暫時(shí)給出一個(gè)模糊的、不完全確定的定義。這就是關(guān)于文化定義的“模糊說”。

筆者的看法是，把“總和說”進(jìn)一步擴(kuò)展為“超廣義說”，把“模糊說”修改為“自創(chuàng)生說”，把這兩者結(jié)合起來，稱作“超廣義自創(chuàng)生文化說”。筆者的這一看法直接表明文化具有無所不包的性質(zhì)和自我生發(fā)的性質(zhì)。這一看法可表述為：“超廣義自創(chuàng)生”文化是指人類個(gè)體或群體的一切思想和行為及其一切自我生發(fā)的過程和結(jié)果。稍加展開地說，“超廣義自創(chuàng)生”文化是與人及其發(fā)展同在的不斷演化的復(fù)雜多樣的意識(shí)理念及其體系、行為活動(dòng)及其范式、物化實(shí)體及其場景。從一定角度來審視，上面表述了兩項(xiàng)研析工作，前者是關(guān)于文化概念的邏輯操作，后者則是開掘文化理念的智能稟賦。與上述觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，超廣義自創(chuàng)生文化說有如下兩個(gè)特征：

（一）超廣義是最大可能的全面性，盡可能無篩漏。文化的定義不能是個(gè)有孔的篩子，否則就把本應(yīng)是文化的要素或現(xiàn)象從篩孔漏出去。因此，對(duì)所有文化現(xiàn)象，應(yīng)該無孔覆蓋。如中央電視臺(tái)舉辦的青歌賽曾把原生態(tài)唱法的代表者之一阿寶給忽略了，給漏掉了?！芭c人同在”這一表述是具有最大可能的全面性。例如，人一旦在母體中生成，就具有并表現(xiàn)出文化，如胎教文化。又如，野蠻與文明對(duì)立，但野蠻人也有自己的文化。再如，平常我們說文化分為先進(jìn)文化、落后文化、腐朽文化（我在此加上一個(gè)平庸文化）。這就是說，腐朽文化也是一種文化，如同壞人也是人一樣，不能把腐朽文化從文化范疇中排除出去。一個(gè)現(xiàn)象或事物是否是文化的，也不能只從是否有意義，有價(jià)值來劃界。大家風(fēng)范，不容置疑是一種個(gè)性的同時(shí)又有普遍意義的文化現(xiàn)象；但小人物的個(gè)人瑣事，雖然平凡無味，但也是一種個(gè)性文化，只不過把它叫做平庸文化而已?？傊?，我們從“與人同在”的各種事物、現(xiàn)象中很難找出不是文化的東西。

（二）自創(chuàng)生表示文化是動(dòng)態(tài)的，是有生命性的，是有根源、脈絡(luò)和演化的。我們不能給文化以永遠(yuǎn)不變的具體特性。譬如，我們可以把腐朽文化“化腐朽為新奇”。對(duì)原來沒有認(rèn)知現(xiàn)在才發(fā)現(xiàn)的自然事物，賦予其一定創(chuàng)新文化的意義，等等。

此外，上面提到的關(guān)于文化定義的“模糊說”，它注意到文化范疇的不確定性。這種不確定性是文化本身內(nèi)在的自我生成的不確定性。特別是對(duì)個(gè)性文化而言，其自創(chuàng)生的不確定性特別復(fù)雜。我們知道，在審美領(lǐng)域有所謂“談到趣味無爭辯”，與其相類似，在文化觀念上也有“談到文化各自說”。

由上述可見，“超廣義自創(chuàng)生”文化概念可體現(xiàn)出文化演化過程和結(jié)果的統(tǒng)一、歷史和現(xiàn)實(shí)的統(tǒng)一、根源和發(fā)展的統(tǒng)一、要素和整體的統(tǒng)一。

接下去簡扼地說一下現(xiàn)代科學(xué)文化的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵。科學(xué)本身即是一種文化，而科學(xué)文化則是指科學(xué)本身以及科學(xué)與社會(huì)其他文化相互交融所形成的文化群類。它是人類文化的重要組成部分。

按照方才關(guān)于文化的論述，對(duì)科學(xué)文化應(yīng)作如下闡釋：科學(xué)文化是人們在進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)和其他社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，由于探索未知、創(chuàng)新研究、發(fā)現(xiàn)真理、把握規(guī)律、生產(chǎn)知識(shí)等而形成的不斷演進(jìn)的包括科學(xué)本身在內(nèi)的意識(shí)理念及其體系、行為活動(dòng)及其范式、物化實(shí)體及其場景?，F(xiàn)代科學(xué)文化的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，是由當(dāng)代大科學(xué)決定的科學(xué)精神與人文精神、理性與非理性、求實(shí)與創(chuàng)新、真與善、美等辯證統(tǒng)一所形成的科學(xué)意識(shí)理念體系、科學(xué)行為活動(dòng)范式和科學(xué)物化實(shí)體場景。

數(shù)學(xué)文化無疑是一種科學(xué)文化，它的文化特征充滿了令人驚奇、贊嘆和向往的魅力。筆者試把數(shù)學(xué)文化的意義和基本特點(diǎn)做出如下的表述。

數(shù)學(xué)文化把自然、社會(huì)、思維等各個(gè)領(lǐng)域中的數(shù)量關(guān)系、空間形式、信息符號(hào)、能量運(yùn)轉(zhuǎn)、物質(zhì)結(jié)構(gòu)等的哲理精蘊(yùn)、藝術(shù)神采以其微妙深?yuàn)W的規(guī)律化方式智慧地展現(xiàn)出來。它是具有無限生命力的自創(chuàng)生、自創(chuàng)新的文化，并始終與人同在。

數(shù)學(xué)文化的基本特征在它獨(dú)具的復(fù)雜多樣的數(shù)學(xué)意識(shí)理念及其體系、數(shù)學(xué)行為活動(dòng)及其范式、數(shù)學(xué)物化實(shí)體及其場景中充滿奇觀的不斷表達(dá)。

數(shù)學(xué)文化的意識(shí)理念體系包括數(shù)學(xué)史上豐富的數(shù)學(xué)哲理、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。在這里只舉一些例子供人們思考。

在數(shù)學(xué)文化思想史上，以羅素（B.Russell 1872～1970年）、弗雷格（G.Freg 1848～1926年）等人為代表的邏輯主義學(xué)派（Logistic school），以克羅內(nèi)克（L.Kroneker 1823～1891年）、布勞威爾（L.E.J.Brouwer 1881～1967年）等人為代表的直覺主義學(xué)派（Intuitionist School），以希爾伯特（D.Hilbert 1862～1943年）為代表的形式主義學(xué)派（Formalist School），以魏依（A.Weil 1906～？年）、歇瓦萊（C.Chevalley 1900～1984年）等人為主的布爾巴基學(xué)派（Bourbaki School），以我國學(xué)者鄭毓信（1944～）提出的數(shù)學(xué)真理的層次結(jié)構(gòu)（邏輯合理性、模式真理、現(xiàn)實(shí)真理）［1］等數(shù)學(xué)文化意識(shí)理念，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)文化的發(fā)展都在不同程度上起了積極的推動(dòng)作用。

數(shù)學(xué)文化的行為活動(dòng)范式主要是指數(shù)學(xué)愛好者、數(shù)學(xué)工作者及數(shù)學(xué)家們在對(duì)數(shù)學(xué)的欣賞、學(xué)習(xí)和研究中所表現(xiàn)的習(xí)慣、舉止、情趣、風(fēng)貌等方面的共性特征。例如，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笞C學(xué)風(fēng)、頑強(qiáng)的解難毅力、激發(fā)的邏輯樂趣、癡迷的探秘追求以及忘我的理性思考等。他們這種看起來似乎是著魔的神態(tài)，卻具有那些停居于數(shù)學(xué)世界以外的人們所難以理解的、難以想像的情智魅力。至于數(shù)學(xué)文化的物化實(shí)體，至少集中在兩個(gè)方面：一是作為數(shù)學(xué)計(jì)算工具和載體的計(jì)算機(jī)；一是作為數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的大科學(xué)技術(shù)世界，它包括自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)、思維科學(xué)、工程技術(shù)和教育、醫(yī)衛(wèi)、政治、經(jīng)濟(jì)、法律、日常生活等的數(shù)學(xué)意義與價(jià)值的物化性和精神物化性的具體體現(xiàn)。例如，從第一方面來看，當(dāng)今世界都在爭相研制極高性能的超級(jí)計(jì)算機(jī)，這實(shí)質(zhì)上就是在大力建設(shè)數(shù)學(xué)文化的物化實(shí)體場景。超級(jí)計(jì)算機(jī)是由上百上千的處理器組成。從文化角度來說，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化奇觀的一種物化實(shí)體。在去年，即2011年，日本研制的K Compute以每秒運(yùn)算峰值可達(dá)1.05億億次而成為全球最快速的超級(jí)計(jì)算機(jī)，它也是迄今為止人類首次超越1億億次計(jì)算的超級(jí)計(jì)算機(jī)。中國研制成功的“天河一號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度也已達(dá)到每秒2 573萬億次。這些超級(jí)計(jì)算機(jī)的研發(fā)不僅顯示了計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的驚人發(fā)展，同時(shí)也表明了數(shù)學(xué)文化的長足進(jìn)步。

二、數(shù)學(xué)文化奇觀的探幽闡微

數(shù)學(xué)的文化奇觀根源于數(shù)學(xué)文化的自創(chuàng)生、自出新這一根本性質(zhì)。依照數(shù)學(xué)文化奇觀的表現(xiàn)形式，可把它們歸納為以下幾點(diǎn)：

（一）深蘊(yùn)的統(tǒng)一性

眾所周知，數(shù)學(xué)是有機(jī)的統(tǒng)一整體。但數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性并非是終極的靜態(tài)目標(biāo)，它是一種具有生命的可生發(fā)的統(tǒng)一性。例如，費(fèi)馬（P.de Fermat 1601～1665年）和笛卡爾（R.Descartes 1596～1650年）把代數(shù)與幾何統(tǒng)一起來，即把代數(shù)方程和幾何圖形聯(lián)系起來，從而創(chuàng)立了坐標(biāo)幾何（解析幾何）。當(dāng)代數(shù)與幾何各自無關(guān)發(fā)展時(shí)，既緩慢又無生氣。但當(dāng)二者統(tǒng)一起來時(shí)，也就是一方面用代數(shù)語言表示幾何概念，另一方面又用幾何來詮釋代數(shù)語言，這樣就形成了具有鮮活生命的統(tǒng)一性的坐標(biāo)幾何，從而推動(dòng)了17世紀(jì)數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展。到了20世紀(jì)，現(xiàn)代抽象代數(shù)興起，它包括抽象群、環(huán)、域等概念。以抽象代數(shù)為基礎(chǔ)的代數(shù)幾何更有廣闊的發(fā)展前景。具體的事物無疑具有生動(dòng)性，但抽象的數(shù)學(xué)事物同樣具有，甚至具有無比的生動(dòng)性。筆者認(rèn)為，抽象的統(tǒng)一性概括了多樣性和眾多特殊性，這統(tǒng)一性一旦遠(yuǎn)離它生成的基礎(chǔ)——多樣性和特殊性，那就可能走向沒有生命力的歧途。因此，數(shù)學(xué)的自創(chuàng)生、自出新的抽象統(tǒng)一性必須植根于它的非抽象的能給予其取之不竭生命活力的生成源泉。克萊因（M.Kline）曾告誡說，“抽象代數(shù)已經(jīng)毀壞了它自己在數(shù)學(xué)中所起的作用”［2］。當(dāng)然，這并非對(duì)抽象代數(shù)的否定，而是提醒在抽象代數(shù)領(lǐng)域里的數(shù)學(xué)工作者應(yīng)熟悉抽象結(jié)構(gòu)的來源，要關(guān)心其結(jié)果對(duì)具體領(lǐng)域的應(yīng)用［2］。

又如，在第21屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，頒布的四項(xiàng)菲爾茲（Fields）獎(jiǎng)分別授予美國的E.Witten、新西蘭的V.F.R.Jones、蘇聯(lián)的B.Γpинфeлъд和日本的森重文。這次頒獎(jiǎng)表明了各數(shù)學(xué)分支的相互關(guān)系，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，并證實(shí)了數(shù)學(xué)統(tǒng)一性所彰顯的生動(dòng)性和鮮活性。E.Witten在其研究成果中重新發(fā)現(xiàn)了Jones多項(xiàng)式；編辮群出現(xiàn)在B.Γpинфeлъд、V.F.R.Jones和E.Witten的著作里；森重文的三維代數(shù)簇研究，涉及到物理超弦問題與曲線簇上代數(shù)幾何問題的轉(zhuǎn)譯對(duì)應(yīng)性［3］。

再如，20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家邁克爾·弗蘭西斯·阿提雅（M.F.Atiyah）曾于1966年莫斯科國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上獲菲爾茲獎(jiǎng)，后來擔(dān)任過英國皇家學(xué)會(huì)副主席、主席。他與另一位數(shù)學(xué)家辛格（I.M.Singer）合作，證明了“阿提雅—辛格指數(shù)定理”（Atiyah－Singer Index Theorem）。這一定理表明，“橢圓算符的解析指數(shù)等于拓樸指數(shù)”。他們在證明這個(gè)定理的過程中用到了很多重要的數(shù)學(xué)工具，如K理論，即線性代數(shù)的代數(shù)拓樸，并把握住具有一般意義的狄拉克算符等等。阿提雅—辛格指數(shù)定理是一個(gè)普適性程度很高的基本定理，它把分析與拓樸在深層次上統(tǒng)一起來，它在偏微分方程、隨機(jī)過程、黎曼幾何、代數(shù)幾何、代數(shù)拓樸以及數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域都獲得廣泛的應(yīng)用。有人贊譽(yù)阿提雅是站在頂峰的拓樸學(xué)家，也有人認(rèn)為，阿提雅—辛格指數(shù)定理就如同英國索爾茲伯里平原上的巨石群一樣將永遠(yuǎn)讓歷代人們絡(luò)繹不絕地前來瞻仰。阿提雅—辛格指數(shù)定理對(duì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的貢獻(xiàn)是難以估量的。許多數(shù)學(xué)家都在忙于計(jì)算指數(shù)，不容置疑，這是完全應(yīng)該做的。但如何去探掘深蘊(yùn)在這個(gè)指數(shù)定理之中的數(shù)學(xué)統(tǒng)一性，將更是有價(jià)值、有意義的科研課題。

最后提一下，模（Module）概念是對(duì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性非常有用的概念。模是具有算子環(huán)的Abel群，是域K上的線性向量空間，是用環(huán)代替K時(shí)的推廣。它生發(fā)繁衍出諸如代數(shù)曲線上的模、曲線族的模、系數(shù)模、復(fù)數(shù)的模、實(shí)數(shù)的模、有表示的模、帶算子區(qū)的模、不帶算子區(qū)的模等等。前些年日本的數(shù)學(xué)家研究并發(fā)展了D—模，這是可用具有解析系數(shù)的偏微分算子作乘積的模。D—模為分析、代數(shù)、幾何（或拓樸）三個(gè)核心數(shù)學(xué)領(lǐng)域架起了橋梁，使數(shù)學(xué)家們逐漸清晰地看出深蘊(yùn)于數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)的統(tǒng)一性。

（二）內(nèi)增的復(fù)雜性

數(shù)學(xué)在其自身的極為深廣的量的關(guān)系領(lǐng)域內(nèi)，又有著更深層次的質(zhì)與量的相互聯(lián)系。人們在數(shù)學(xué)研究過程中，發(fā)現(xiàn)了由某些自變量的變化引起數(shù)學(xué)復(fù)雜性的變化。這種復(fù)雜性一方面是客觀的、數(shù)學(xué)內(nèi)在的復(fù)雜性，另一方面也是人們意識(shí)理念對(duì)數(shù)學(xué)世界積極反映的結(jié)果。下面通過一些例子來說明作為數(shù)學(xué)文化奇觀的內(nèi)增復(fù)雜性。

第一個(gè)例子是從較小的自然數(shù)到很大的自然數(shù)再到無窮大。

設(shè)一個(gè)幾何級(jí)數(shù)為1＋2＋22＋23＋24＋25＋26求其和為27－1＝127。這里2的指數(shù)n最大為6，如果這個(gè)幾何級(jí)數(shù)2的指數(shù)n最大為63，則1＋2＋22＋23＋24＋……＋263＝264－1＝18 446 744 073 709 511 615，相比之下，后者比前者要大到天文數(shù)字。

若進(jìn)一步，n趨近于無窮大，即n→∞，則此級(jí)數(shù)和更是無窮大。

這里的自變量是自然數(shù)n，隨著n的增大，使得這一幾何級(jí)數(shù)的復(fù)雜性（級(jí)數(shù)和的數(shù)目）不斷驟增。

此外，這個(gè)簡單的例子還說明，有限和無限的復(fù)雜性是截然不同的，很多迷人的數(shù)學(xué)文化奇觀大都和無限大（或無限小、無限多）有關(guān)。

第二個(gè)例子是涉及無窮范疇的一些數(shù)學(xué)理念。當(dāng)考察無窮級(jí)數(shù)時(shí)，數(shù)學(xué)家們探討了無窮級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散，以及判別收斂的充分必要條件。在研究無窮級(jí)數(shù)的過程中，曾出現(xiàn)過很有生命力的預(yù)見性思想，那就是發(fā)散級(jí)數(shù)可以用來對(duì)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值逼近，級(jí)數(shù)可以在解析運(yùn)算中代表函數(shù)，甚至發(fā)散級(jí)數(shù)也可能有這樣的用處［2］。

當(dāng)踏入數(shù)論領(lǐng)域，我們至少會(huì)看到無窮概念施展的新奇的復(fù)雜性。在初等數(shù)論中，人們很容易接觸到“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無限的”這一定理。該定理的證明比較簡單。但進(jìn)一步把無窮概念放在某些猜想之中時(shí)，看似簡明的論斷卻難以證明，甚至至今也沒有找到答案。例如，常被人們提及的哥德巴赫猜想，它是這樣一個(gè)猜想：“大偶數(shù)可表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和?！比绻麅H僅是對(duì)某個(gè)或某些指定的偶數(shù)而言，不論它們有多大，總可以用超級(jí)計(jì)算機(jī)來確證這個(gè)猜想。但是若對(duì)無窮個(gè)偶數(shù)而言，即使當(dāng)今最快速的超級(jí)計(jì)算機(jī)對(duì)此也無能為力。因?yàn)闆]完沒了地讓計(jì)算機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)下去，最終答案也不會(huì)出現(xiàn)。所以，從無窮概念的魔力作用來看，哥德巴赫猜想是向人類高超情智挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)增復(fù)雜性的一大難題。也許，在代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論之外，可能會(huì)以突現(xiàn)出新的數(shù)論奇觀的理論和方法拿下這顆數(shù)學(xué)神壇上的明珠。

再舉兩個(gè)能說明數(shù)學(xué)內(nèi)增復(fù)雜性的幾何學(xué)方面的例子。

首先是一個(gè)簡單的例子，在一個(gè)直線上的原點(diǎn)只有兩個(gè)方向，而在一個(gè)平面上的原點(diǎn)卻有無窮多個(gè)方向。它表明，以維數(shù)作為自變量，當(dāng)它僅僅從一維轉(zhuǎn)到二維時(shí)，就出現(xiàn)由有限變?yōu)闊o限的陡增的復(fù)雜性質(zhì)變。這個(gè)一目了然的簡單例子，會(huì)促使人們對(duì)高維幾何學(xué)的遐想和猜測。因此，這個(gè)例子是平凡的也是非凡的。第二個(gè)例子要更為復(fù)雜些。一個(gè)直線可按僅有的一種方法閉合（成為一個(gè)圓），但一個(gè)平面卻能閉合成許多不同類型的曲面。譬如，通過球極平面射影閉合為一個(gè)球面，通過使一個(gè)正方形各對(duì)邊的粘合閉合成一個(gè)環(huán)面等。當(dāng)從二維轉(zhuǎn)到三維時(shí)，將出現(xiàn)某些新現(xiàn)象，此時(shí)，一般說來各種有意義的問題變得更困難了。如在二維的情況下，可描述所有可能使平面閉合的方法，但在三維的情況下，這個(gè)問題還未被解決［4］。

（三）天成的藝術(shù)性

有人說，數(shù)學(xué)是心靈的自然科學(xué)。但筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)似應(yīng)該叫做大科學(xué)（包括自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)、思維科學(xué)等）的量域藝術(shù)。人們運(yùn)用在社會(huì)生產(chǎn)、生活以及大科學(xué)等實(shí)踐中不斷發(fā)達(dá)的情智和邏輯演算能力去反映、研究和把握客觀世界的數(shù)學(xué)真理。數(shù)學(xué)真理不是為表現(xiàn)人們心靈的智慧而存在，它激發(fā)心靈智慧，并讓心靈智慧和客觀的數(shù)學(xué)真理漸近一致。我們?yōu)閿?shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)領(lǐng)域驚人的創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)而歡欣若狂，這只能證明人的心靈智慧具有認(rèn)識(shí)包括數(shù)學(xué)真理在內(nèi)的客觀規(guī)律的能動(dòng)性、創(chuàng)造性和獲真性。當(dāng)然，人們反映客觀事物及其規(guī)律性的過程和形式是多種多樣的，主觀與客觀之間并非只有直接對(duì)應(yīng)的單一形式，譬如說，虛數(shù)單位，在它被人們發(fā)現(xiàn)之初（即當(dāng)考察方程x2＋1＝0時(shí)，由于沒有實(shí)數(shù)能滿足這個(gè)方程而導(dǎo)入它），其實(shí)在性與實(shí)用性大受懷疑。后來，人們把能夠按一定規(guī)則進(jìn)行加減乘除、乘冪與開方運(yùn)算的平面自由向量系理解為復(fù)數(shù)集合，從而建立了復(fù)數(shù)與平面上點(diǎn)之間的完全對(duì)應(yīng)關(guān)系。到此時(shí)，通過復(fù)數(shù)的應(yīng)用，人們已看到了虛數(shù)的價(jià)值。要想較為全面的分析虛數(shù)的價(jià)值，大致應(yīng)從三個(gè)方面來考察。首先是虛數(shù)的哲學(xué)價(jià)值，它表示了數(shù)學(xué)概念與客觀實(shí)在的多樣對(duì)應(yīng)關(guān)系；其次是虛數(shù)的科學(xué)價(jià)值，它通過復(fù)數(shù)而獲得廣泛的重要的應(yīng)用；再次是虛數(shù)的藝術(shù)價(jià)值。虛數(shù)還有藝術(shù)價(jià)值嗎？人們會(huì)用詫異的眼神向這一提法發(fā)問。筆者試用一個(gè)例子，把虛數(shù)魔術(shù)般的作用，即它帶有魔術(shù)意味的藝術(shù)價(jià)值展現(xiàn)出來。

圖1 巧妙的虛數(shù)例證

虛數(shù)的藝術(shù)價(jià)值由天成的藝術(shù)性與人為的藝術(shù)性兩部分組合。譬如說，人們發(fā)現(xiàn)了金礦，不能說金礦是人為制造的。但工匠制作精美的金飾品（金手鐲、金戒指等）則既包含金的天然價(jià)值，也包含金飾品的人工價(jià)值。虛數(shù)的天成藝術(shù)是由本身固有的奇異性和它與實(shí)數(shù)的關(guān)聯(lián)所決定。在復(fù)數(shù)計(jì)算時(shí)，其實(shí)數(shù)部和虛數(shù)部是分別計(jì)算的。但i2＝－1，卻把實(shí)數(shù)與虛數(shù)聯(lián)系起來。上述圖1表示的例子，將虛數(shù)有別于實(shí)數(shù)的奇異性及它與實(shí)數(shù)的關(guān)聯(lián)性，都在運(yùn)算中顯示出來。負(fù)數(shù)不能作為任何實(shí)數(shù)的平方數(shù)，這本來就限制了開平方的運(yùn)算，但這虛數(shù)的出現(xiàn)卻偏要使負(fù)數(shù)成為它的平方數(shù)，從而沖破了開平方的運(yùn)算限止，讓人們大吃一驚。于是這就成為虛數(shù)的奇異性。但同時(shí)它又包含了虛數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)聯(lián)即i2＝－1。我感興趣的是虛數(shù)固有的由它的奇異性和它與實(shí)數(shù)的關(guān)聯(lián)所共同產(chǎn)生的天成的魔術(shù)般的藝術(shù)性。圖1作為人為設(shè)定的例子，其所說明的M點(diǎn)坐標(biāo)為虛單位i且與a、b無關(guān)的巧妙性質(zhì)，顯然包含關(guān)于虛數(shù)的人為藝術(shù)性。筆者認(rèn)為，對(duì)此應(yīng)給予更深入的研究，此處無非是拋磚引玉而已。

圖2 非剛體變換的八面體群對(duì)稱性的“多面體嵌入”

數(shù)學(xué)中的對(duì)稱也有天成的藝術(shù)性與人為的藝術(shù)性之分。對(duì)于人類來說，千姿萬態(tài)的雪花可能是最直接感知的具有素潔和對(duì)稱性美的天成藝術(shù)品。其正六角形結(jié)構(gòu)形式，讓人們世世代代賞心悅目。當(dāng)把積雪堆制成雪藝術(shù)品時(shí)，其隨人所欲的對(duì)稱性將是一種人為對(duì)稱性藝術(shù)美。然而，這里的人為對(duì)稱藝術(shù)性，就其結(jié)構(gòu)原型來看，仍然屬于數(shù)學(xué)中天成的對(duì)稱藝術(shù)性。下面舉一個(gè)較為復(fù)雜的對(duì)稱性例子。筆者將它視做數(shù)學(xué)中具有人為藝術(shù)性的結(jié)構(gòu)。如圖2所示，是一個(gè)具有非剛體變換的八面體群對(duì)稱性的“多面體嵌入”。

它被用作筆者所著《“對(duì)稱—整合”思維模式》一書的封面圖案，它是一種隱對(duì)稱性。它由288個(gè)四邊形、144個(gè)頂點(diǎn)組成，在每個(gè)項(xiàng)點(diǎn)有8個(gè)四邊形相連。它既具有精巧的較為復(fù)雜的對(duì)稱性，又具有包絡(luò)的“嵌入整合”的性質(zhì)，概括形象地表達(dá)了該書的主題——“對(duì)稱—整合”的含義［5］1。筆者之所以把圖2所表達(dá)的對(duì)稱性視作人為的對(duì)稱藝術(shù)性，是因?yàn)樗诂F(xiàn)實(shí)中沒有對(duì)應(yīng)物。該對(duì)稱性不像雪花的正六角形對(duì)稱結(jié)構(gòu)那樣具有自然物本身天成的對(duì)稱藝術(shù)性。

從事群論（直觀地表達(dá)對(duì)稱性的數(shù)學(xué)工具）研究的數(shù)學(xué)家們曾完成有限單群分類及其證明的工作。據(jù)資料記載，從20世紀(jì)40年代末到80年代初，有100多位數(shù)學(xué)家花費(fèi)了30多年的時(shí)間，寫出數(shù)學(xué)史上罕見的長達(dá)15 000多頁的浩繁篇幅，才完成此項(xiàng)研究工作［5］136。在有限單群分類中有26個(gè)不規(guī)則的散在群，其中Fischer-Griess大魔群（約有8.08×1053個(gè)群元素，是最大的散在群）是人們已知的世界上最優(yōu)美、最豐富的對(duì)稱性。但是，它怎樣以其尚且未知的奇異方式筑入到宇宙的真實(shí)結(jié)構(gòu)中［5］4，那似乎還是遙不可及的事情，所有對(duì)群論及其應(yīng)用感興趣的人們將對(duì)此翹首以盼。筆者認(rèn)為，大魔群是群論研究的一個(gè)產(chǎn)物，與圖2中的對(duì)稱性只是人為構(gòu)造的不一樣，不過，它是否有客觀對(duì)應(yīng)物尚不得而知。所以，大魔群究竟是具有天成對(duì)稱藝術(shù)性還是具有人為對(duì)稱藝術(shù)性，應(yīng)該是一個(gè)有待今后群論研究結(jié)果來確證的未知問題。

數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)愛好者都喜歡數(shù)學(xué)公式的簡潔性。簡潔性是科學(xué)美的一個(gè)重要表現(xiàn)形式?！禩he mathematical intelligencer》雜志在1988年第3期上發(fā)表了一組24個(gè)數(shù)學(xué)公式和定理，請(qǐng)讀者給這些公式或定理從0到10打分，對(duì)它們的數(shù)學(xué)美進(jìn)行比較［6］，參加討論的人對(duì)所列24個(gè)公式和定理是否是美的、數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)及他們的審美觀等都不同。筆者認(rèn)為，對(duì)科學(xué)數(shù)學(xué)美的審視標(biāo)準(zhǔn)至少應(yīng)有以下幾點(diǎn)：理論價(jià)值和意義，應(yīng)用貢獻(xiàn)的廣度和深度，創(chuàng)新性和簡潔性。后來，在該雜志1990年第3期上公布了68個(gè)評(píng)分者的平均值，并以多少排了序［7］。因篇幅所限，這里只列出前三名（第二、三名各有兩個(gè)并列）：

（歐拉公式：eiφ＝cosφ＋i sinφ，當(dāng)φ＝π時(shí)，有eiπ＝－1）

［多面體的歐拉公式，對(duì)于任意多面體（即各面都是平面多邊形，并且沒有洞的立體），假設(shè)F、E和V分別表示面、棱（或邊）、角（或頂）的個(gè)數(shù)，則有V＋F＝E＋2］

（四）奇難的懸疑性

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，曾出現(xiàn)過許多奇難的懸疑問題。最早有所謂初等幾何作圖不能的三大問題，即立方倍積、三等分任何一角及改圓為方。直到距第一次提出這三個(gè)問題2 000多年后的19世紀(jì)才證明，用無度尺和圓規(guī)做工具是不可能解這三個(gè)問題的。這個(gè)結(jié)論有賴于伽羅華群代數(shù)方程求解的準(zhǔn)則及π是超越數(shù)的證明等數(shù)學(xué)研究成果。

20世紀(jì)伊始，希爾伯特（D.Hilbert 1862～1943年）提出曾引起眾多數(shù)學(xué)家為之奮力求解的23個(gè)數(shù)學(xué)問題一覽表（即1900年的希爾伯特一覽表〈Hilberts list of 1900〉）。后來，其中有幾個(gè)問題已獲解決或部分解決。如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)、兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題、拓樸學(xué)成為李群的條件（拓樸群）等問題［8］。

在20世紀(jì)末，菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Steve Smale發(fā)表了包括18個(gè)數(shù)學(xué)問題的《下一世紀(jì)的數(shù)學(xué)問題》一文。在這18個(gè)問題中，有黎曼假設(shè)、龐加萊猜想、P＝NP？二維球上點(diǎn)的分布等數(shù)學(xué)問題［9］。

我們知道，提出已逾百年的拓樸學(xué)上最重要問題之一的龐加萊猜想已被攻克。在眾多數(shù)學(xué)家對(duì)這一問題研究成果積累的基礎(chǔ)上，中山大學(xué)的我國數(shù)學(xué)家朱熹平和美國里海大學(xué)的曹懷東于2006年6月在《亞洲數(shù)學(xué)期刊》發(fā)表了他們的完整證明。

在這里，筆者只想對(duì)另一個(gè)研究歷史長達(dá)350年左右的費(fèi)爾馬大定理（Fermat′s Last Theorem亦譯為“費(fèi)爾馬最后定理”）問題的解決談一點(diǎn)粗淺的感受。費(fèi)爾馬大定理可表為：不存在整數(shù)x、y、z和n，其中n＞2，xyz≠0，使得xn＋yn＝zn。

英國數(shù)學(xué)家維爾斯（A.Wiles）在經(jīng)歷了對(duì)費(fèi)爾馬大定理有所錯(cuò)誤的研究之后，終于在1994年10月以無可否認(rèn)的新的證明解決了費(fèi)爾馬大定理這一奇難的懸疑問題。他以《模橢圓曲線與費(fèi)爾馬最后定理》（Modular elliptic and Fermat’s Last Theorem）為題，與同一位學(xué)生合寫的題為《某些赫克代數(shù)的環(huán)理論性質(zhì)》（Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras）兩篇文章同時(shí)發(fā)表在美國《數(shù)學(xué)年刊》1995年第3期上。該期只發(fā)表了這兩篇文章，共127頁（第一篇108頁，第二篇19頁）。第二篇文章旨在提供由考慮存在完全交叉的某些最小赫克代數(shù)所確證的，維爾斯曾用到的一個(gè)假設(shè)的關(guān)鍵部分［10］。維爾斯此次在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表的文章，毫無疑問將載入數(shù)學(xué)發(fā)展史冊。維爾斯開始曾試圖利用谷山—志村（Taniyama-Shimura）猜想（這一猜想說的是：所有橢圓曲線均是模曲線）來證明費(fèi)爾馬大定理。但這一嘗試在接近結(jié)束之時(shí)遭到挫折。為了完成證明，維爾斯又試圖構(gòu)造一個(gè)歐拉系統(tǒng)，但是這看起來最合乎邏輯的處理方法，用它來解決問題卻是非常困難。后來他繞過歐拉系統(tǒng)及構(gòu)造所用的棘手方法，而在新的結(jié)尾采用了從前他曾放棄過的赫克代數(shù)方法。這是一個(gè)精巧而漂亮的方法［11］。

有人把費(fèi)爾馬大定理比喻為一個(gè)長長的艱險(xiǎn)的洞穴通道，它終止于無法看見的死巷。探討它的證明，就如同在這個(gè)洞穴內(nèi)的攀行運(yùn)動(dòng)。但維爾斯對(duì)費(fèi)爾馬大定理的證明，卻像打開了一個(gè)全新的拜占廷式的臥室、回廊和迷宮似的通道，經(jīng)過其中一個(gè)細(xì)細(xì)的縫隙返回到原先死巷的入口［12］。筆者覺得，這是一個(gè)令人玩味無窮的比喻。它大致描繪了維爾斯在證明費(fèi)爾馬大定理過程中的創(chuàng)造性思考。筆者認(rèn)為它給人們以一種新的方法論。筆者稱其為是繞行尋路方法、暫離邏輯方法和累積聚成方法的有機(jī)結(jié)合。繞行尋路的方法是指繞過不能直接克服的困難而繼續(xù)前行尋路的方法；暫離邏輯的方法是指維爾斯沒有僵硬的迷戀合邏輯性；累積聚成的方法則是指維爾斯不是完全獨(dú)出心裁，他是在前人研究費(fèi)爾馬大定理所獲成果基礎(chǔ)上獨(dú)辟蹊徑。

除了龐加萊猜想、哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理這類數(shù)學(xué)史上著名的奇難的懸疑問題，還有一些始終使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹畠A倒的既熟悉又奇特的問題，如數(shù)學(xué)分析中的無窮小概念。我們知道，通常的經(jīng)典數(shù)學(xué)分析叫做標(biāo)準(zhǔn)分析。上世紀(jì)60年代美國數(shù)理邏輯學(xué)家羅賓遜（A.Robinson，1918～1974年）提出并建立了非標(biāo)準(zhǔn)分析的數(shù)學(xué)理論。他認(rèn)為，無窮小既然不是一個(gè)數(shù)，那么可否把實(shí)數(shù)系R擴(kuò)大成新的數(shù)系R＊，即擴(kuò)大到非標(biāo)準(zhǔn)域（超實(shí)數(shù)集合）。在非標(biāo)準(zhǔn)分析中，變量不僅可取R中的數(shù)，而且還可推廣到無窮小量和無窮大量。根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)分析理論，實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)是內(nèi)部有結(jié)構(gòu)的點(diǎn)。非標(biāo)準(zhǔn)分析可將一些定理的證明簡化。但是要想真正把非標(biāo)準(zhǔn)分析理解透，也并非易事。同時(shí)，由于非標(biāo)準(zhǔn)分析的數(shù)理邏輯方法很繁瑣，且與標(biāo)準(zhǔn)分析等價(jià)，因此人們對(duì)它也多有微詞。

在20世紀(jì)末，一位叫做J.M.Henle的數(shù)學(xué)家在《The Mathematical Intelligencer》上發(fā)表了一篇題為《非—非標(biāo)準(zhǔn)分析：實(shí)無窮小》一文。文中Henle的觀點(diǎn)是這樣的：設(shè)a為一序列，如果對(duì)于所有正實(shí)數(shù)d，｜a｜＜d，則序列a就是無窮小的。對(duì)于無窮小的a，我們寫成a≈0。如果對(duì)于某些實(shí)數(shù)r，｜a｜＜r，我們則說a是有限的或有界的。如果a≠0，且a≈0，則序列a是無窮小。這里，用a表示一個(gè)序列｛an｝，n∈N。

我們巧妙地處理實(shí)數(shù)序列，大多數(shù)情況下把它做為數(shù)來處理，可以使它們相加減，并把它們放在函數(shù)之中，但它們不是數(shù)［13］。

Henle的“非—非標(biāo)準(zhǔn)分析”的數(shù)學(xué)價(jià)值如何，應(yīng)由數(shù)學(xué)家及廣大數(shù)學(xué)工作者通過數(shù)學(xué)實(shí)踐來查驗(yàn)。筆者只是從數(shù)學(xué)文化的角度，認(rèn)為“非—非標(biāo)準(zhǔn)分析”的提出有助于加深對(duì)無窮小概念的進(jìn)一步探討，它至少豐富了人們關(guān)于“無窮小”思維的內(nèi)涵。

在物理學(xué)中，有所謂“上帝不會(huì)擲骰子”、“上帝把骰子丟到人們看不到的地方”等說法。實(shí)際上，在數(shù)學(xué)中確實(shí)存在著內(nèi)隨機(jī)性。例如一個(gè)特殊的丟番圖方程KX2＝2K2Y。當(dāng)K＝1時(shí)，有X2＝2Y；K＝2時(shí)，有2X2＝8Y；K＝3，有3X2＝18Y；K＝4，有4X2＝32Y……丟番圖方程KX2＝2K2Y有整數(shù)解（X≠Y）的K值的變化是不可預(yù)測的。這就是丟番圖方程的內(nèi)在隨機(jī)性。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，有一個(gè)不可判定的停機(jī)問題，即試圖設(shè)計(jì)一臺(tái)圖靈機(jī)來判定一個(gè)圖靈機(jī)對(duì)任意輸入是否最終運(yùn)行停止是不可能的。停機(jī)問題的不可判定性相當(dāng)于停機(jī)概率在算法上是隨機(jī)的結(jié)果。

哥德爾（Kurt G?del）的第一、第二不完全性定理分別指出數(shù)學(xué)中內(nèi)在的不完全性和不可證明性，筆者認(rèn)為，內(nèi)在隨機(jī)性也可叫做既約不確定性，它是事物本身所固有的。例如，模糊數(shù)學(xué)中的類屬關(guān)系的不確定性；混沌動(dòng)力學(xué)中，迭代方程的迭代結(jié)果分布關(guān)系的不確定性；超越數(shù)π≈3.141 592 6……，其小數(shù)點(diǎn)后任意位置與它上面數(shù)字之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的不確定性；多向轉(zhuǎn)化的臨界區(qū)域、多邊共存的結(jié)合部位、多層次交叉的纏繞范圍、多尺度耦合的性態(tài)行為等所表明的動(dòng)向關(guān)系的不確定性，都蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性。數(shù)學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性是數(shù)學(xué)的一大奇觀，它令人要么忘而卻步，或徘徊不決，要么窮追不放。這里面的奇難懸疑性，只有那些具有堅(jiān)韌不拔的意志、非凡過人的情智并能鍥而不舍實(shí)踐的數(shù)學(xué)工作者及愛好者，才能探得一些真諦。

此外，筆者在《“對(duì)稱—整合”思維模式》一書中，曾試圖用對(duì)稱破缺“三分態(tài)”對(duì)羅素悖論加以解釋［6］189－192。筆者還想通過把抽象推論與具體實(shí)在相結(jié)合的方式去消除向選擇公理挑戰(zhàn)的“分球怪論”的贗悖論，即把關(guān)于無窮集的一個(gè)定理——一個(gè)集是無窮集的充要條件是它能和自己的某一個(gè)真子集對(duì)等——與兩個(gè)實(shí)體之間的全同區(qū)別開來。因篇幅所限，這里不詳述。

數(shù)學(xué)的文化奇觀數(shù)不勝數(shù)，本文所列無非一孔之見，且筆者水平低下，闡解之中舛誤難免，特懇請(qǐng)讀者指錯(cuò)糾偏，不吝賜教。

［1］ 徐利治，鄭毓信.略論數(shù)學(xué)真理及真理性程度——兼評(píng)懷特海的《數(shù)學(xué)與善》［M］//鄧東皋，孫小禮，張祖貴.數(shù)學(xué)與文化.北京：北京大學(xué)出版社，1999：20- 22.

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On Cultural Wonder of Mathematics——Discussing Culture and Scientific Culture

ZHOU Shouren

（Sichuan Academy of Social Science，Chengdu Sichuan 610041，China）

A broad definition of culture mainly includes the summation theory and the vagueness theory.The summation theory can be expanded into the super-generalization theory and the vagueness theory can be transformed into the autopoiesis theory.The two theories combined are called the cultural theory of super-generalization and autopoiesis.Scientific culture refers to science itself and the mixtures of science and other cultures.Mathematical culture shows the lawfulness of philosophy and artistry in quantitative relation，spatial form，information symbols，energy motion and physical structure of nature，human society and thought.Cultural wonder of mathematics is characterized by unity，complexity，artistry and suspense.

cultural wonder of mathematics；unity；complexity；artistry；suspense

B804

A

1673－0453（2012）01－0011－08

2011-10-10

周守仁（1934－），男，吉林長春人，四川省社會(huì)科學(xué)院研究員，中國自然辯證法研究會(huì)全國理事，四川省自然辯證法研究會(huì)副理事長，成都市自然辯證法研究會(huì)名譽(yù)理事長，主要從事自然辯證法研究。

吳 言）