施紅星

（楚雄師范學(xué)院 初等教育學(xué)院，云南 楚雄 675000）

缺失數(shù)據(jù)下線性模型響應(yīng)變量均值估計(jì)的漸近正態(tài)性*

施紅星

（楚雄師范學(xué)院 初等教育學(xué)院，云南 楚雄 675000）

考慮響應(yīng)變量隨機(jī)缺失下線性模型響應(yīng)變量均值的估計(jì)問題，分別獲得了基于完全觀測樣本數(shù)據(jù)、線性回歸插補(bǔ)后的“完全樣本”和逆概率加權(quán)插補(bǔ)后的“完全樣本”得到的響應(yīng)變量均值估計(jì)，并證明了其漸近正態(tài)性.

線性模型；響應(yīng)變量；隨機(jī)缺失；漸近正態(tài)性

MSC 2000：62J05

0 引言

統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)主要來自于調(diào)查數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在涉及這兩大方面的眾多研究領(lǐng)域中，不可避免地會(huì)遇到數(shù)據(jù)缺失的問題，對缺失數(shù)據(jù)的研究一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)界的熱點(diǎn)課題之一.處理缺失數(shù)據(jù)的常用方法是插補(bǔ)法，即利用已觀測到的數(shù)據(jù)對缺失值進(jìn)行插補(bǔ)，然后將補(bǔ)足后的數(shù)據(jù)作為“完全樣本”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.這方面的系統(tǒng)研究詳見文獻(xiàn)［1］、［2］.回歸模型是揭示變量間相互影響的有力工具，目前已建立了參數(shù)、非參數(shù)和半?yún)?shù)回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷理論.線性模型是其中形式最為簡單，應(yīng)用最為廣泛的參數(shù)模型，也涌現(xiàn)出大批有關(guān)線性模型的研究成果.在樣本無缺失的情形下，文獻(xiàn)［3］對線性模型回歸系數(shù)估計(jì)和誤差方差估計(jì)的大樣本性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究；在缺失數(shù)據(jù)情形下，文獻(xiàn)［4］、［5］利用線性回歸插補(bǔ)的方法，分別研究了響應(yīng)變量隨機(jī)缺失情形下回歸系數(shù)和響應(yīng)變量均值的經(jīng)驗(yàn)似然推斷，文獻(xiàn)［6］在響應(yīng)變量隨機(jī)缺失下采用加權(quán)調(diào)整的方法，構(gòu)造出線性模型回歸系數(shù)和響應(yīng)變量均值的經(jīng)驗(yàn)似然置信域和置信區(qū)間，文獻(xiàn)［7］、［8］在協(xié)變量隨機(jī)缺失下，給出線性模型回歸系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然置信域.關(guān)于隨機(jī)缺失的相關(guān)研究工作可參見文獻(xiàn)［9］、［10］.

在缺失數(shù)據(jù)下，對感興趣參數(shù)估計(jì)性質(zhì)的研究是進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷（如構(gòu)造置信域和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)）的基礎(chǔ).文獻(xiàn)［11］討論了缺失數(shù)據(jù)下線性模型回歸系數(shù)估計(jì)的大樣本性質(zhì).本文主要討論響應(yīng)變量隨機(jī)缺失下線性模型中響應(yīng)變量均值估計(jì)的漸近正態(tài)性.

考慮如下線性模型：

其中Yi為響應(yīng)變量，Xi為p維協(xié)變量，β為p×1未知回歸系數(shù)向量，隨機(jī)誤差εi為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，滿足E（εi｜Xi）＝0.假定｛（Xi，Yi，δi），1≤i≤n｝為來自模型（1）的觀測樣本，其中所有的Xi能完全觀測，Yi有缺失，δi為指示Yi缺失的變量，即

用（X，Y，δ）表示樣本｛（Xi，Yi，δi），1≤i≤n｝所對應(yīng)的總體，我們假定Yi為隨機(jī)缺失，滿足 MAR缺失機(jī)制，即

其中P（x）未知.（2）式蘊(yùn)含了在給定Xi的條件下，δi與Yi條件獨(dú)立，該假定在有關(guān)缺失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析中比較常用且在實(shí)際應(yīng)用中是合理有效的.

本文在線性模型響應(yīng)變量隨機(jī)缺失的情形下，分別基于完全觀測數(shù)據(jù)、線性回歸插補(bǔ)得到的“完全數(shù)據(jù)”，以及逆概率加權(quán)插補(bǔ)得到的“完全數(shù)據(jù)”，用三種方法得到Y(jié)均值θ的不同估計(jì)，并討論它們的漸近性質(zhì).

為方便論述，引入下列記號(hào)：

1 估計(jì)方法和主要結(jié)果

1.1 基于完全觀測數(shù)據(jù)的估計(jì)

1.2 基于回歸插補(bǔ)的估計(jì)

1.3 基于加權(quán)插補(bǔ)的估計(jì)

2 定理的證明

［1］LITTLE R J A，RUBIN D B.Statistical analysis with missing data ［M］.New York：John Wilry ＆Sons，1987：50～71.

［2］金勇進(jìn)，邵軍.缺失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理 ［M］.北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，2009：58～77.

［3］陳希孺，陳桂景，吳啟光，等.線性模型參數(shù)的估計(jì)理論 ［M］.北京：科學(xué)出版社，1985：35～178.

［4］WANG Q H，RAO J N K.Empirical likelihood for linear regression models under imputation for missing responses［J］.Canad J Statist，2001，29（4）：597～608.

［5］WANG Q H，RAO J N K.Empirical likelihood-based inference in linear models with missing data［J］.Scand J Statist，2002，29：563～576.

［6］XUE L G.Empirical likelihood for linear models with missing responses［J］.J Multivariate Anal，2009，100：1353～1366.

［7］楊宜平.協(xié)變量隨機(jī)缺失下線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷及應(yīng)用 ［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2011，30（4）：655～663.

［8］王秀麗，蓋玉潔，林路.協(xié)變量缺失下線性模型中參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然推斷 ［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2011，46（1）：92～96.

［9］WANG Q H，RAO J N K.Empirical likelihood-based inference under imputation for missing response data［J］.Ann Statist，2002，30（3）：896～924.

［10］XUE L G.Empirical likelihood confidence intervals for response mean with data missing at random ［J］.Scand J Statist，2009，36：671～685.

［11］李英華，秦永松.缺失數(shù)據(jù)下線性模型回歸系數(shù)估計(jì)的大樣本性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)研究，2008，41（4）：426～433.

MSC 2000：62J05

Asymptotic Normality of Estimators for the Mean of Response Variables in Linear Models with Missing Data

SHI Hong-xing
（School of Primary Education，Chuxiong Normal College，Chuxiong 675000，China）

The present study considers the linear models with response variable data missing at random and investigates the estimation of the mean of response variables，from which we have obtained asymptotic normality of estimators based on the completely observed pairs，the‘complete’data after linear regression imputation and the‘complete’data after inverse probability weighted imputation.

linear model；response variable；missing at random；asymptotic normality

O212.7

A

1009-1734（2012）01-0001-05

2012-02-17

國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（10BTJ001）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11171105）；云南省教育廳科研基金項(xiàng)目（06Y027A）；楚雄師院科研基金項(xiàng)目（05-YJYB01）.

施紅星，副教授，從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)研究.