樂依赟，蔡 靜

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

用重節(jié)點差商法求解3n＋2次Hermite插值問題*

樂依赟，蔡 靜

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

用重節(jié)點差商法求解Hermite插值問題，在已有的成果基礎(chǔ)上，針對節(jié)點數(shù)完全匹配的情況，建立了帶導(dǎo)數(shù)的Hermite插值公式，進行了相應(yīng)的誤差估計，并通過具體的求解例子與現(xiàn)有的Lagrange基函數(shù)法作了比較，顯示所用方法的優(yōu)越性.

Hermite插值；重節(jié)點差商法；誤差估計

MSC 2000：65D05

0 引言

Hermite插值是插值函數(shù)的一種，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)以及軍工等學(xué)科領(lǐng)域，其研究具有重要意義.許多文獻研究了Hermite插值的不同形式.主要涉及多個節(jié)點的Hermite插值、多階Hermite插值、多次Hermite插值、分段Hermite插值等方面［1～6］.

在所查閱的文獻中，關(guān)于Hermite插值問題的討論，幾乎都是用Lagrange插值基函數(shù)法求解的，當(dāng)節(jié)點處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值增加，所有的基函數(shù)都必須重新計算，非常不便.

本文主要考慮的問題：在節(jié)點數(shù)完全匹配的帶一階導(dǎo)數(shù)的Hermite插值公式的基礎(chǔ)上，能否用差商法推出節(jié)點數(shù)完全匹配的帶二階導(dǎo)數(shù)的Hermite插值公式？

本文的安排如下：第二節(jié)給出3n＋2次完全匹配的Hermite插值公式并進行誤差分析.第三節(jié)通過數(shù)值試驗，將所建立的重節(jié)點差商法Hermite插值公式與已有的Lagrange基函數(shù)法作比較，以說明本文所提出算法的優(yōu)越性.

1 3n＋2次完全匹配的Hermite插值公式及誤差分析

定義1 設(shè)f（x）在［a，b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若在互異節(jié)點a≤x0＜x1＜…＜xn≤b上存在一個不超過3n＋2次多項式H3n＋2（x），使

則稱H3n＋2（x）為3n＋2次Hermite插值多項式.

定理1 滿足插值條件（1）的插值多項式是存在唯一的，且公式如下：

2 數(shù)值實例

已知f（x）的相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示：試構(gòu)造不超過5次的Hermite插值多項式.若為f（x）增加一個節(jié)點x2＝2，使f（x2）＝113，f′（x2）＝484，f″（x2）＝ 1924，試構(gòu)造 不 超 過 8 次 的Hermite插值多項式.

解 先用文獻［6］中提及的Lagrange插值基函數(shù)法，構(gòu)造基函數(shù).

表1 已知的f（x）的相關(guān)數(shù)據(jù)

因為f（x）在（a，b）上的節(jié)點為x0＝0，x1＝1，且節(jié)點x0＝0，x1＝1都是三重節(jié)點，所以

由文獻［6］中（6）、（7）、（15）得：

得插值多項式：

比較結(jié)果：根據(jù)實例中兩種算法的比較可以發(fā)現(xiàn)，本文給出的算法在計算過程中更簡便.運用構(gòu)造Lagrange插值基函數(shù)法，當(dāng)函數(shù)f（x）在某一節(jié)點處的相關(guān)數(shù)據(jù)發(fā)生變化或增加某一節(jié)點處的相關(guān)數(shù)據(jù)時，原本所構(gòu)造的全部基函數(shù)都必須重新構(gòu)造，而重節(jié)點差商法，則只需計算發(fā)生變化或增加的某一節(jié)點的那部分?jǐn)?shù)據(jù)即可，計算量大幅減少.

［1］朱琳.Hermite插值多項式的重節(jié)點差商表示及其應(yīng)用 ［J］.河北理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，32（4）：116～118.

［2］曾長雄.3n＋2次 Hermite插值多項式及插值誤差 ［J］.邵陽學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，7（2）：9～12.

［3］王景泉，譚冰.帶二階導(dǎo)數(shù)的 Hermite插值公式的推導(dǎo) ［J］.南陽師范學(xué)院學(xué)報，2008，7（6）：13～16.

［4］楊士俊，王興華.Hermite插值多項式的差商表示及其應(yīng)用 ［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報（A輯），2006，21（1）：70～78.

［5］張進軍.偽二元函數(shù)的 Hermite插值 ［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（5）：98～102.

［6］趙易.Hermite插值算子及其誤差的Hilbert變換表示 ［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2009，24（1）：86～90.

MSC 2000：65D05

Solving the 3n＋2 Orders Hermite Interpolation Problems with the Method of Difference Quotient

YUE Yi-yun，CAI Jing
（Faculty of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

This paper mainly considers the Hermite interpolation problems with the method of divided difference at the same node.Based on the existing results，it studies the Hermite interpolation functions with derivative whose number of nodes is completely matching，builds some Hermite interpolating formulas with derivatives，and also gives the corresponding error estimate.Some numerical examples are presented to compare the proposed method with the existing Lagrange primary function method to show its advantage.

Hermite interpolation；divided difference at same node；error estimate

O151.21

A

1009-1734（2012）01-0027-05

2011-03-10

浙江省自然科學(xué)基金（Y6110043）；國家特色專業(yè)建設(shè)點“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”資助.

樂依赟，湖州師范學(xué)院理學(xué)院2008級本科生，從事計算數(shù)學(xué)研究.