許文龍 戴鳳國(guó)

(浙江瑞安中學(xué) 浙江 溫州 325200)

2012年全國(guó)第29屆物理競(jìng)賽復(fù)賽結(jié)束后，一些學(xué)生議論說：“其中一道考題雖已列出式子，但卻是一元高次方程，發(fā)現(xiàn)無法進(jìn)行因式分解，實(shí)在沒法求解出結(jié)果．”物理競(jìng)賽題不同于普通考試的“湊數(shù)題”，題中所給數(shù)據(jù)往往來自更切合客觀規(guī)律的實(shí)際觀察或?qū)嶒?yàn)結(jié)果，所遵循的數(shù)學(xué)形式通常是一些高次方程，且無法因式分解．三次方程求根公式已非常復(fù)雜了，沒有多少人能記住，而四次及以上，根據(jù)阿貝爾定理，沒有一般的由方程的系數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和開方運(yùn)算的求根方法．解決這類高次方程只能用數(shù)值分析，而牛頓迭代法就是數(shù)值分析中最常用的，令人興奮的是牛頓迭代法能在普通計(jì)算器中實(shí)現(xiàn)求解高次一元方程，而物理競(jìng)賽恰恰可以使用普通計(jì)算器．

1 牛頓迭代法原理

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，f′(x)也連續(xù)，且f′(x)≠0,f″(x)≠0，f(a)f(b)<0，(設(shè)f(a)<0，f(b)>0)，過點(diǎn)[a，f(a)]或點(diǎn)[b，f(b)]作曲線的切線，它與x軸的交點(diǎn)為

如圖1所示，其迭代式為

并取初始值

圖1

2 牛頓迭代法應(yīng)用舉例

第29屆物理競(jìng)賽復(fù)賽試題第2大題第2問，由天體運(yùn)行規(guī)律列出方程

f(x)=x5-x3-583.2x+583.2=0

一階導(dǎo)函數(shù)f′(x)=5x4-3x2-583.2，迭代法解此方程步驟如下：

給f(x)一個(gè)初值x0，算得

再將x1代入算得

依次算得x1，x2，x3，…直至x穩(wěn)定在xn這個(gè)值，這個(gè)穩(wěn)定的值xn就是方程的一個(gè)根.

學(xué)生一般使用的是卡西歐計(jì)算器(CASIO-fx-82ES)，這種計(jì)算器普及率很高，就筆者所在學(xué)校幾乎是人手一個(gè)．此計(jì)算器右下角等號(hào)旁邊有一個(gè)Ans鍵支持迭代運(yùn)算，如圖2所示．

圖2

我們所要做的就是給Ans賦初值，并將

輸入計(jì)算器．操作步驟如下：

(1)在計(jì)算器中輸入初值5，然后按一下“=”鍵，初值就會(huì)賦給Ans鍵.

(2)再輸入Ans-(Ans5-Ans3-583.2Ans+583.2)÷(5Ans4-3Ans2-583.2).

(3)輸入完畢，按等號(hào)鍵“=”，出現(xiàn)一個(gè)值，再按一次“=”，出現(xiàn)的值變了吧．繼續(xù)按個(gè)3,4次．前幾個(gè)值會(huì)相差很大，到最后結(jié)果會(huì)逐漸穩(wěn)定，直到穩(wěn)定在4.682 062 186.

迭代中也可以換不同的初值試試，而且不需要再次輸入那一串長(zhǎng)式子，CASIO計(jì)算器有存儲(chǔ)功能，給Ans換個(gè)值，按“向上鍵”調(diào)出之前的式子，接著按“=”號(hào)就可以了，非常方便．