董梅峰 宋新祥

(中國(guó)石油大學(xué) 山東 青島 266555)

物理規(guī)律是對(duì)客觀(guān)自然規(guī)律的描述，而對(duì)客觀(guān)自然規(guī)律描述之前往往需要建立一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的物理模型.物理規(guī)律的描述一般有兩種，一種是文字描述，另一種是數(shù)學(xué)描述，而物理規(guī)律的最終的也是最完美的描述形式是用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述.所以物理規(guī)律的描述往往離不開(kāi)數(shù)學(xué)公式，而一旦用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述物理規(guī)律，這個(gè)數(shù)學(xué)公式就有了物理意義，公式中的各個(gè)物理量都有一定物理意義，其取值也要保證有物理意義，如果物理量的數(shù)學(xué)取值導(dǎo)致該公式?jīng)]有物理意義了，此公式也就不成立了，此時(shí)該公式對(duì)應(yīng)的物理模型發(fā)生了變化，所以需要尋找對(duì)應(yīng)新模型的數(shù)學(xué)表達(dá)公式了.下面看幾個(gè)典型的例子.

1 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式的理解

點(diǎn)電荷激發(fā)的場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)公式是靜電場(chǎng)中的一個(gè)基本公式，即

(1)

公式中的r是場(chǎng)點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離，在數(shù)學(xué)上如果r→0，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E→∞，這在物理上是沒(méi)有物理意義的.出現(xiàn)這種情況也就是說(shuō)公式(1)不適用于r→0時(shí)所對(duì)應(yīng)的物理模型，同時(shí)也說(shuō)明了r→0時(shí)的物理模型不再是“點(diǎn)電荷”的物理模型了.回顧一下“點(diǎn)電荷”物理模型的建立條件，就不難理解當(dāng)r→0時(shí)，帶電體的形狀和大小相對(duì)于場(chǎng)點(diǎn)而言就不能忽略了，此時(shí)帶電體就不能視為“點(diǎn)電荷”物理模型了，所以上述公式不再適用了.

考慮到實(shí)際的帶電體，當(dāng)r→0時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)在何處呢？不難理解此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.此時(shí)可以理解為物理模型由點(diǎn)電荷變?yōu)榫鶆驇щ姷那蝮w，如果其總的帶電荷量為q，電荷體密度為ρ，可以用高斯定理很容易得到在均勻帶電球體內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度公式分別為

(2)

(3)

由式(2)可知當(dāng)r→0時(shí)，E內(nèi)→0，這樣就有物理意義了.

2 無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直線(xiàn)的電場(chǎng)強(qiáng)度公式的理解

無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直線(xiàn)激發(fā)的場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4)

公式中的r是場(chǎng)點(diǎn)到無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直線(xiàn)的垂線(xiàn)距離，在數(shù)學(xué)上如果r→0，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E→，這在物理上也是沒(méi)有物理意義的.此時(shí)考慮到實(shí)際的帶電體，當(dāng)r→0時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)在何處呢？不難理解此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)也已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.此時(shí)可以理解為模型變?yōu)闊o(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電的圓柱體，如果其半徑為R，單位長(zhǎng)度上的帶電荷量仍為λ，由高斯定理可求出其內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布為

(5)

(6)

由公式(5)可知當(dāng)r→0時(shí)，E內(nèi)→0，這樣就有物理意義了.

3 計(jì)算點(diǎn)電荷和無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)激發(fā)的場(chǎng)的能量

3.1 點(diǎn)電荷激發(fā)的場(chǎng)的能量

由能量密度的體積分可得電場(chǎng)的能量，即

(7)

公式中D=εE，把點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式(1)代入公式(7)得

很明顯上述積分結(jié)果又趨于無(wú)窮大，在物理上又沒(méi)有物理意義了，而式(7)適用于任何帶電體激發(fā)的場(chǎng).此時(shí)同樣回顧“點(diǎn)電荷”的物理模型的建立條件就明白，在上述積分公式中的積分下限為零時(shí)，此物理模型就不再是“點(diǎn)電荷”的物理模型了.如果考慮到實(shí)際情況，當(dāng)r→0時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.把式(2)、(3)代入式(7)積分物理意義就明確了.

3.2 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)激發(fā)的場(chǎng)的能量

由式(7)可得一長(zhǎng)度為L(zhǎng)，可視為無(wú)限長(zhǎng)的，線(xiàn)電荷密度為λ的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)激發(fā)的場(chǎng)的能量為

很明顯上述積分結(jié)果也沒(méi)有實(shí)際物理意義，從上述公式的積分下限看，考慮到實(shí)際情況，當(dāng)r→0時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.上述帶電“直線(xiàn)”的模型就不成立了；從上述公式的積分上限看，考慮到實(shí)際情況，當(dāng)r→時(shí)，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的直線(xiàn)就不能視為“無(wú)限長(zhǎng)”的了.總之上述公式的積分上限和下限所描述的物理模型已不再是“無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直線(xiàn)”的物理模型了，所以其積分結(jié)果也不是上述物理模型所激發(fā)的場(chǎng)的能量.

4 結(jié)論

通過(guò)以上數(shù)學(xué)公式與其所對(duì)應(yīng)的物理模型的關(guān)系可以看出，物理模型不同，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述其所遵循的物理規(guī)律也就不同，所以每個(gè)物理上的數(shù)學(xué)公式都有其物理意義，也就是描述了一個(gè)物理模型所遵循的物理規(guī)律.通過(guò)以上例子進(jìn)一步明確了物理上數(shù)學(xué)公式的物理意義，以及在物理上建立物理模型具有重要的意義.有了建立物理模型的思路，這對(duì)物理規(guī)律的理解以及物理規(guī)律數(shù)學(xué)表達(dá)形式的理解都有很大的幫助.

參考文獻(xiàn)

1 賈瑞皋．大學(xué)物理教程．北京：科學(xué)出版社，2009． 10～11

2 賈瑞皋．電磁學(xué)．北京：高等教育出版社，2003．13