■魯品越

20世紀提出的量子理論、系統(tǒng)動力學以及分形幾何等新自然科學理論，在哲學本體論上的巨大理論意義，是通過物質(zhì)間的相互作用過程(交換量子的過程)提出了世界的“層級結(jié)構(gòu)”的思想:不同能級的相互作用生成了不同層次的物理過程及其表現(xiàn)現(xiàn)象。這種觀念徹底打破了那種只有同一層次的物質(zhì)質(zhì)料和空間的“連續(xù)統(tǒng)”時空觀與物質(zhì)觀。它告訴人們:無限精確的空間長度、時間間隔，無限精確的物質(zhì)質(zhì)量、動量與能量等“點”概念，僅僅是人們的直觀想象，在客觀世界中并不存在。它們的實際意義只是作為運動物質(zhì)的某個空間區(qū)域、時間流程與性質(zhì)范圍的標記，這種區(qū)域范圍是由相互作用能級決定的，而不是絕對“準確”的客觀事實本身。事實本身是在事物內(nèi)在相互作用中生成的，在不同的相互作用水平上，存在著相應(yīng)的不可分割的“量子”現(xiàn)象——不可分割的空間單位、時間單位、能量單位、動量單位等，從而形成不同層級上的相互作用，并且造成了各個層次上事物相互作用的不確定性。這是掩藏在表面的宇宙圖景背后的深層圖景。

用這種觀念來看待幾何空間，便會產(chǎn)生出一種全新的空間觀念——一種具有層次結(jié)構(gòu)的空間，它完全不同于無層次結(jié)構(gòu)的經(jīng)典空間觀念。不論是歐幾里德幾何、還是非歐幾里德幾何 (如黎曼幾何等)，都是這種傳統(tǒng)的無層次結(jié)構(gòu)的幾何。這種經(jīng)典空間認為整個宇宙只存在唯一的空間——這就是我們周圍以連續(xù)統(tǒng)形式存在的空間，這種空間是既定的存在，還不是在事物的相互作用過程中生成的產(chǎn)物。一旦我們打破這種傳統(tǒng)的空間觀念，就會發(fā)現(xiàn)世界上存在著各種不同層次的空間，而不同層次空間之間既具有差別性，又具有類似性，從而展現(xiàn)出一種無比美妙的空間結(jié)構(gòu)。

一、經(jīng)典世界的無層次幾何結(jié)構(gòu)

柏拉圖曾經(jīng)斷言，宇宙間只有兩種最基本的幾何形狀:直線和圓。由直線組合成多邊形，多邊形構(gòu)成多面體。一切平面都是由正方形所組成，一切立體形狀都由立方體組成，而圓形在立體上表現(xiàn)為球形。宇宙萬物的幾何結(jié)構(gòu)都是由這幾個基本形狀組成的。近代科學發(fā)現(xiàn)了天體與地上物體的運行軌道并非都是直線與圓，而是拋物線、橢圓和雙曲線。然而通過笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，這些軌道都被化為解析函數(shù)形式。再通過牛頓與萊布尼茨發(fā)明的微積分，這些軌道與相關(guān)的面積與體積進一步被歸并為直線形的組合:一切曲線由無數(shù)個無限小的直線段組成，一切曲面由無限小的正方形組成，一切體積由無限小的立方體組成。這樣的幾何學，在世界觀上是典型的“構(gòu)成論”幾何學:它將世界的各種幾何形狀分解為最基本的組成部分，而這些圖形的量度則是建立在世界“無條件地”無限可分的基礎(chǔ)上。

然而，大自然中無數(shù)物體及其運行軌道的幾何形狀，如雪花、山巒、海岸線、雷電、花草樹木等，以及從實驗中采集的各項數(shù)據(jù)，并不能按照笛卡爾的解析幾何方法推導出它們的解析函數(shù)形式，進而根據(jù)解析函數(shù)形式來將其用微積分的方法歸結(jié)為由直線組成的圖形。對于這樣的圖形怎么辦?數(shù)學家們發(fā)明了一套“回歸法”，使它們用某一最接近實際曲線的解析函數(shù)曲線來描述這實際曲線。這樣一來，宇宙間一切曲線乃至一切曲面和立體形狀，統(tǒng)統(tǒng)都可以歸結(jié)為由直線和圓所構(gòu)成。進一步說，圓形也可以通過微積分歸結(jié)為直線形(多邊形)的極限。當然，直線又由點所構(gòu)成，因此，點和直線(以及正方形、立方體)成為宇宙一切幾何結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)成要素。宇宙的空間只有唯一的層次:這就是無窮可分的絕對空間。

這種把宇宙一切幾何結(jié)構(gòu)統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為點和直線的思維范式，是“構(gòu)成論”思維范式在幾何學中的典型表現(xiàn)。它把宇宙一切幾何結(jié)構(gòu)理解為由最基本的要素同時存在而組合成的東西，因此，整體等于各個部分的總和。因此，這種“構(gòu)成論”是一種線性世界觀:整個世界，以及它的各個事物都是其組成部分的機械相加。幾何結(jié)構(gòu)則是點和直線的總和。

那么，現(xiàn)實世界的所有幾何結(jié)構(gòu)果然都是由直線和圓組合而成的結(jié)構(gòu)嗎?到了20世紀60年代末，人們才開始對這種簡單而粗陋的觀點提出懷疑。70年代初，一種關(guān)于客觀世界幾何結(jié)構(gòu)的新理論出現(xiàn)了，這就是“分形幾何學”。

二、“粗?；迸c各層次的空間

按照“構(gòu)成論”觀點，世界上一切圖形，不論如何復雜，都是由簡單的點、直線、平面和體積構(gòu)成的，所以人們普遍認為直尺可以測量世界上一切曲線的長度，平方面積可以測量一切曲面的面積，而小立方體可以測量一切形狀物體的體積，這似乎是天經(jīng)地義。然而到了1967年，美籍法國數(shù)學家曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在《科學》上發(fā)表《英國的海岸線有多長》一文，指出了這一觀點的根本性錯誤:因為如果按照這一測量方法，那么海岸線的長度的測量值將不取決于海岸線本身，而取決于測量單位，最后無法得到確定的海岸線長度。這是因為:如果我們以1公里作為單位來測量海岸線，將會忽略短于1公里的迂回曲折而得到較小的近似值;若以1米為單位測量，則能只忽略短于1米的迂回曲折，于是得到較大的長度近似值。測量單位進一步變小，測得的長度近似值將愈來愈大。如果此法能夠取得海岸線的確定長度，那么隨著測量單位不斷變小，長度近似值應(yīng)當趨近于一個極限值，此值就是海岸線的真正長度。然而曼德布羅特發(fā)現(xiàn):由于海岸線極不規(guī)則、極不光滑，這種極限值將無限大。這說明直尺不能用來測量海岸線，正像它不能用來測量面積一樣。這其中的道理到底是什么?這就需要我們重新思考幾何圖形的測量的本質(zhì)和“測量單位”的選擇標準。

實際上，幾何測量的基本要求，是被測量的幾何形態(tài)必須由一個個測量單位的幾何結(jié)構(gòu)組成。例如，直線由作為測量單位的小線段組成，多邊形的面積由一個個小正方形組成，多面體由一個個小立方體形成等。它含有的測量單位的數(shù)目，便是測量值。如果不是由測量單位組成，則測量結(jié)果無意義。例如，面積不是由直線段單位組成，所以用直線單位測量面積得到無限大;同樣，它不是由立方體組成，所以任何面積用立方體為單位去度量面積等于零。這兩種測量都沒有意義?，F(xiàn)在我們用直線段測量海岸線所得結(jié)果趨向于無限大，說明海岸線不是由直線段所組成，而有自己的內(nèi)在深層結(jié)構(gòu)。

因此，如果說傳統(tǒng)的測量理論是以構(gòu)成圖形的基本材料——點、線、面、體為基本單位，那么分形幾何則是由其生成元所生成的結(jié)構(gòu)，以這個“生成元”生成的基本結(jié)構(gòu)作為基本量度單位。這個生成元及其生成的基本結(jié)構(gòu)正是掩藏在分形幾何圖形深處的“深層結(jié)構(gòu)”。正是這個“深層結(jié)構(gòu)”構(gòu)造了總體圖形。曼德布羅特明確地指出:

人類智慧從觀察某些事物入手，像立體派畫家那樣做觀察?！霸茍F不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進。”所有這些自然結(jié)構(gòu)都具有不規(guī)則形狀，它們是自相似的。換言之，我們發(fā)現(xiàn)，把整體中的一部分放大便能進一步揭示其深層結(jié)構(gòu)，而它幾乎就是我們一開始處理的那種原始結(jié)構(gòu)的復制品。[1]

大自然中無限豐富多彩的事物呈現(xiàn)的千姿百態(tài)，其每一類圖形都有曼德布羅特所說的原始的“深層結(jié)構(gòu)”——生成元及其生成的基本結(jié)構(gòu)，它們構(gòu)筑起自然界的各種事物的整體圖形，從而使各種事物的“整體圖形”與這個“深層結(jié)構(gòu)”具有“自相似”這種內(nèi)在關(guān)聯(lián)。用深層結(jié)構(gòu)測量整體圖形的過程，正是這種內(nèi)在關(guān)聯(lián)的數(shù)量表達。海岸線因此理所當然地不能直接地用直尺測量，而應(yīng)當用它的深層結(jié)構(gòu)來測量。這個深層結(jié)構(gòu)與該海岸線具有內(nèi)在的“自相似”關(guān)系。而描述這種深層結(jié)構(gòu)的數(shù)量，正是所謂分形幾何的“維數(shù)”。

所謂幾何圖形的“維數(shù)”，即圖形擴大時其占領(lǐng)空間也隨之擴大的能力。它可以用來描述各個層次空間之間的關(guān)系。因此它能夠刻畫幾何空間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。例如，正方形維數(shù)是2，一旦它每條邊擴大3倍，那么它在縱橫兩個維度上都擴大3倍，總體上其容量(對空間的占領(lǐng)量)要擴大3×3=32=9倍。同樣，三維立體圖形，一旦其每條邊擴大3倍，那么其在三個維度上都要擴大3倍，所以其容量要擴大3×3×3=33=27倍。普遍地說，假設(shè)某種圖形的維數(shù)是d，如果某圖形的每一條直線(即尺度)擴大N倍，那么其在各個維度上都要擴大N倍，于是它占有的空間所擴大的倍數(shù)將是“d個N相乘的積”，即擴大Nd倍，擴大后的圖形包含Nd個原來的小圖形。舉例說，假如一個圖形的維數(shù)為d，那么，當其圖形在每個尺度上線性地擴大3倍后，將導致其d個維度統(tǒng)統(tǒng)都擴大3倍，因而其整個圖形占有空間的量(容量)將擴大3d倍。

因此，“維數(shù)”也就是圖形的尺度擴大與空間容量擴大之間的關(guān)系?，F(xiàn)在我們再討論海岸線長度的測量問題。當我們從不同的高度觀察一段海岸線時，隨著高度的不同所觀察的范圍也不同，但具有同等的復雜程度。也就是說，我們站得越高，看到的海岸線就越粗(這就是所謂“粗?；狈椒ǖ闹庇^形式)，其一定尺度上的細節(jié)上的復雜性被忽略，但是隨著范圍的擴大，總體上所呈現(xiàn)的復雜性與站得低、觀察細所發(fā)現(xiàn)的復雜性是一樣的。這就叫不同尺度上的海岸線的“自相似性”。這種自相似性產(chǎn)生的“層層嵌套”的幾何圖形，只能用其“深層結(jié)構(gòu)”去測量容量(長度)。而這種深層結(jié)構(gòu)的容量與普通的尺度的關(guān)系即海岸線的維數(shù)。中國北起中朝邊界的鴨綠江口、南止中越邊界的北倉河口的海岸線，全長1.763萬公里，這是地理課本上所給出的海岸線長度。這是以公里為單位的測量值，其中忽略了1公里內(nèi)的曲折。嚴格地說，正如面積單位是“平方公里”一樣，中國海岸線的測量單位如果取“尺度為1公里的海岸線形”，那么其共有N=1.763×104段，即其測量值應(yīng)為1.763×104“公里”，這里的“公里”嚴格地說是“尺度為1公里的海岸線形”。所謂“海岸線形”為海岸線的深層結(jié)構(gòu)。而當以公里為單位時，1公里內(nèi)的那些曲折就忽略了，當作直線看待(嚴格地說，當作“公里海岸線形”來看待)。而如果尺度為米，那么測量值的每一單位(段)就是“尺度為1米的海岸線形”，它將大于1米的曲折都包括在內(nèi)，而小于1米的曲折就忽略不計了。由此得到的測量值就是海岸線包括多少個“尺度為1米的海岸線形”，其依賴于海岸線的維數(shù)。而這樣的“海岸線形”的維數(shù)是多少呢?通過用所謂“盒子覆蓋法”來進行計算，中國海岸線的維數(shù)大約為1.267。[2]（P215）于是，如果我們不用“公里”，而用“米”為單位來量度，每1“公里海岸線形”等于10001.267(米海岸線形)，因此，如果要問中國海岸線長有多少“米”?答案不是1.763×104×1000米，而是(1.763×104)×10001.267米，這里的“米”實際上指的是“一米海岸線形”，而不是簡單的直線段。

三、“構(gòu)成”與“生成”:兩種空間結(jié)構(gòu)觀念

如上所述，某一類幾何圖形有其自身的深層結(jié)構(gòu)，只能用這個深層結(jié)構(gòu)為單位去生成圖形和測量其容量。這說明自然界的幾何圖形自身存在著內(nèi)部“層層嵌套”的自相似性:整體中某一完整的部分與其整體在幾何結(jié)構(gòu)上相似。這種自相似性意味著什么呢?

（一）新對稱原理的發(fā)現(xiàn)：“標度不變性”

自然界各種事物的幾何結(jié)構(gòu)的“自相似性”的發(fā)現(xiàn)，意味著人們發(fā)現(xiàn)了一種新的對稱性——標度對稱性，也即標度變換下圖形保持不變的“標度不變性”(scale invariance)?！皹硕取笔恰皊cale”一詞的中譯，也就是“尺寸大小”的意思，也可譯為“尺度”。所謂“對稱性”，是事物的某一性質(zhì)在某項變換下保持不變。例如，如果一個東西的幾何結(jié)構(gòu)是左右對稱的，我們把左右對調(diào)，這個東西的幾何結(jié)構(gòu)不變，于是該東西的幾何結(jié)構(gòu)與左右無關(guān)。狹義相對論中事物的物理定律具有在洛倫茲變換下的對稱性，即實行洛倫茲坐標系變換后，事物的物理定律保持不變，即物理定律與所采用的坐標系無關(guān)。而分形幾何中的物體幾何結(jié)構(gòu)的“自相似性”，說明將事物的尺度(即尺寸)變化后，幾何圖形的形狀保持不變，即該事物的幾何結(jié)構(gòu)與其尺度無關(guān)。具體地說，這種幾何結(jié)構(gòu)的尺度無關(guān)性的含義是:整體圖形如果忽略了下級尺度上的幾何結(jié)構(gòu)，那么各個尺度上的幾何結(jié)構(gòu)的形狀將相似，只是尺度不同。

因此，分形幾何發(fā)現(xiàn)了一種新的對稱性，這就是尺度變換下幾何形狀的不變性，或者幾何形狀的尺度無關(guān)性。出現(xiàn)這種奇妙的對稱機制的原因，是因為同一相互作用可以在不同的能級上進行，從而在不同空間層次上展現(xiàn)出來。既然它們是同一相互作用，應(yīng)當服從同樣的相互作用定律，因而其空間展現(xiàn)相應(yīng)類似。同時又由于它們發(fā)生在不同的空間尺度上，因而其展現(xiàn)為不同層次。由此產(chǎn)生了所謂“標度不變性”。

（二）兩種幾何結(jié)構(gòu)觀

那么，這種尺度無關(guān)性意味著什么呢?意味著這種與大小尺寸無關(guān)的幾何形狀，并不是有固定大小的幾何圖形，而是一種體現(xiàn)在各個尺度上的“幾何結(jié)構(gòu)”，而這個幾何結(jié)構(gòu)既然與尺度無關(guān)，因而成為獨立于尺度之外的一種獨立要素，是能夠在各個尺度上組織物體的幾何結(jié)構(gòu)，是沒有固定尺度的“結(jié)構(gòu)組織模式”。這體現(xiàn)了分形幾何與傳統(tǒng)幾何關(guān)于“幾何結(jié)構(gòu)”概念的區(qū)別。

經(jīng)典幾何結(jié)構(gòu)觀(包括歐幾里德與非歐幾里德幾何)認為:一切事物的幾何結(jié)構(gòu)都是由具有一定尺度的基本幾何元素(如厘米、毫米、微米等，以及它們的平方單位、立方單位等)組成的，這些幾何元素構(gòu)成幾何結(jié)構(gòu)的基本單位。雖然這些幾何單位無限可分，但它們每個都有特定的大小，由此構(gòu)成各種幾何結(jié)構(gòu)。因此，單位尺度本身(以及其平方、立方所形成的單位)就是幾何結(jié)構(gòu)的最基本的單位。幾何結(jié)構(gòu)是由這些單位尺度(以及其平方、立方所形成的單位)堆砌而成的。當然，這些單位尺度又是由更小層次的元素所構(gòu)成(如“面”由“線”組成，“線”由“點”組成等)，這是構(gòu)成論的幾何結(jié)構(gòu)觀。亞里士多德曾經(jīng)指出事物有“質(zhì)料因”和“形式因”。經(jīng)典幾何結(jié)構(gòu)只強調(diào)幾何結(jié)構(gòu)中的“質(zhì)料因”，而忽視幾何結(jié)構(gòu)中的“形式因”。打個比喻:它像先前的生物學那樣只強調(diào)生物體的蛋白質(zhì)等組成物質(zhì)，而沒有看到生物體中的遺傳密碼所規(guī)定的基因排列秩序。

而分形幾何學的幾何結(jié)構(gòu)觀卻與此完全不同。自然界事物的幾何結(jié)構(gòu)不但要由各種單位尺度等構(gòu)成元素所組成，而且更重要的是組織這些幾何元素的生成模式。這種生成模式獨立于尺度，從而能在各個不同尺度上將這些幾何元素組織成特定的幾何結(jié)構(gòu)。在同樣的尺度上，不同的組織模式將會生成完全不同的幾何結(jié)構(gòu)，它們之間沒有通約性，因而不能相互量度。而在相同的組織模式下，不同尺度上的幾何學原料(點、線、面、體)可以被組織為相似的結(jié)構(gòu)，從而產(chǎn)生物體的“自相似性”。因此，與“自相似性”在邏輯上等義的“尺度無關(guān)性”(在尺度變換下幾何形狀的不變性)，意味著超越尺度的“組織模式”的存在。為了便于理解，我們或許可以打個也許不很貼切的比方:這種組織模式是“幾何學的DNA”，它在各個層次上組織著“幾何學的蛋白質(zhì)材料”(點、線、面、體)，從而產(chǎn)生了現(xiàn)實物體的幾何結(jié)構(gòu)。因此，幾何學中的“深層結(jié)構(gòu)”不是更深層次的幾何材料 (如面由線所組成，線由點所組成等)，而是掩藏在宏觀幾何形態(tài)中的某種“基本的幾何結(jié)構(gòu)模式”，也即幾何結(jié)構(gòu)的生成元。正是這種模式產(chǎn)生了事物的“自相似性”。

從哲學上說，幾何結(jié)構(gòu)觀的這種改變，是從“構(gòu)成論”向新的“深層生成論”的改變。這種幾何學的“深層本體”是客觀的“幾何體的DNA”——生成元，它是能夠不斷進行幾何結(jié)構(gòu)生成的能動元素。

四、兩種簡化世界的方法論

這兩種不同的幾何結(jié)構(gòu)觀，實質(zhì)上是兩種簡化世界的方法論在幾何學上的體現(xiàn)。構(gòu)成論認識世界的基本途徑，是把世界各種事物不斷進行分解、分解再分解，一直找到各個事物之間共同的最簡單的組成元素，把世界理解為各個組成部分的線性總和(即機械總和)。這樣一來，世界就被簡化了，從而取得了自然科學的巨大成功。歐幾里德幾何學的成功，在于把世界各種幾何形狀歸結(jié)為圓和直線的幾何學。笛卡爾解析幾何的成功，牛頓微積分方法的成功，在于把各種幾何形態(tài)歸結(jié)為無限小的直線段(或作為線段乘積的微分面積與微分體積)，從而把事物發(fā)生的各種過程歸結(jié)為無限小范圍內(nèi)的線性過程的累積。這種成功是構(gòu)成論方法論的成功:把世界分解為最簡單的要素的總和。

然而這種成功是有局限性的。因為世界從總體上說并不是簡單元素的機械總和。按照恩格斯的說法:“自然界不是存在著，而是生成著和消逝著?！盵3]（P415）因此，這種方法僅僅適用于自然界的既成事物，而不適合于不斷“生成著和消逝著”的事物，而且也不能解釋既成事物的產(chǎn)生根源。因此要認識自然界各種事物發(fā)展過程，認識既成事物的產(chǎn)生根源，就必須采用新的方法論。對幾何圖形而言，就是尋求掩藏在復雜事物的幾何形態(tài)之中的最簡單的“幾何組織模式”，并用這種幾何模式來理解復雜事物。于是我們得到這樣的方法:某種超越尺度的幾何模式在各個尺度上組織著基本的幾何元素，從而產(chǎn)生了層層嵌套的復雜的幾何結(jié)構(gòu)。這是與“構(gòu)成論”不同的簡化世界的方法。

我們可以通過一些日常事例來說明這種方法對認知復雜事物的優(yōu)越性。用筷子攪動雞蛋最后形成的蛋糊形狀是非常復雜的結(jié)構(gòu)。如果我們按照構(gòu)成論的方法，根據(jù)分子之間的相互作用力分析蛋糊中分子構(gòu)成的圖像，建立分子圖像的微分方程，其復雜程度是無法想象的，實際上是根本不可能的。然而我們?nèi)绻麚Q一種方法，就會“柳暗花明又一村”，世界就會呈現(xiàn)出一種嶄新的面貌——這就是尋求形成蛋糊的基本組織模式。蛋糊的結(jié)構(gòu)無論怎樣復雜，實際上都是通過最簡單的攪動動作的反復進行而形成的。如果我們規(guī)定幾個規(guī)范化的攪動動作，那么每一次攪動都將使蛋糊的幾何結(jié)構(gòu)產(chǎn)生某種變化，這種變化我們稱之為“組織模式”，用各個層次上的組織模式來分析蛋糊的幾何結(jié)構(gòu)，我們將會從一片混亂當中得到有意義的結(jié)果。再比如說，雪花的幾何結(jié)構(gòu)雖然很規(guī)則，但是要用構(gòu)成論的方法，根據(jù)分子間相互作用原理來確定各個分子的位置，是件無比復雜的工作。然而，如果我們設(shè)計一個雪花形成過程中的基本“動作”(例如，一個低于零度的核心物質(zhì)不斷俘獲周圍的水分子)，那么就會得到雪花的基本組織模式，按照這個組織模式來分析雪花的復雜的幾何結(jié)構(gòu)。我們還可舉出社會事項來說明這種方法的作用。股票價格的波動曲線是十分復雜的。如果按照構(gòu)成論的方法來分析這些價格曲線(例如用回歸法尋找價格曲線的方程)，或者復雜得幾乎不可能完成，或者能夠得到這些曲線上的點的構(gòu)成方程，但是不能做出有意義的解釋。然而，如果我們轉(zhuǎn)換方法，尋求股市價格的“組織模式”，就可能找到打開復雜事物之謎的出路。股票價格是由“利空”因素與“利好”因素交織而成的，分析這些基本因素對價格的影響方式，有可能尋找到股票價格曲線的“組織模式”，由此來分析股票價格的幾何結(jié)構(gòu)。如此等等的事例使我們認識到，尋求事物幾何結(jié)構(gòu)的“組織模式”的方法是比尋求事物“組成部分”的“構(gòu)成論”方法更加有效的高級方法。構(gòu)成論方法通過尋求客觀事物的共同“磚塊”而使世界得到簡化，而尋求“組織模式”的方法通過尋求事物結(jié)構(gòu)的基本生成方式而使世界得到簡化。后者找到了分析復雜事物的一把鑰匙。

因此，掩藏在事物幾何形態(tài)之中的“深層幾何結(jié)構(gòu)”，不是組成幾何世界的靜態(tài)的“磚塊”，而是一種動態(tài)的模式，它使基本的幾何要素在各個尺度上按照該模式組織起來。因此“深層幾何結(jié)構(gòu)”是幾何世界的一種生成方式，它使現(xiàn)實的幾何世界處于不斷的生成過程中。各種事物的幾何結(jié)構(gòu)，從山巒到海岸線，從樹木花草到雷電雨雪，大自然的無限豐富的幾何形態(tài)都是這種生成過程所產(chǎn)生的結(jié)果。而分形幾何學——關(guān)于整體與其部分的自相似性的幾何學，也只有在這種生成過程中才能真正得到理解。

[1]（美）曼德布羅特.分形——自然界的幾何學[J].世界科學，1991，（11）.

[2]陸同興.非線性物理概論[M].北京：中國科學技術(shù)出版社，2002.

[3]馬克思恩格斯文集（第9卷）[M].北京：人民出版社，2009.