王太軍 唐忠敏

（1.西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所，甘肅 蘭州 730070；2.西北民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730030）

2013年6月20日上午10時“神舟十號”航天員王亞平在“天宮一號”中給地面的師生講授了一堂“太空物理課”（下稱“太空授課”）.此次太空授課主要面向中小學(xué)生，使其了解失重條件下物體運動的特點、液體表面張力的作用，加深對質(zhì)量、重量以及牛頓定律等基本物理概念和規(guī)律的理解.

太空授課中所做的物理實驗，可謂奇妙無比，是在地面重力環(huán)境下無法完成的，讓人尤為感慨“知道”與“看到”太不一樣了.其中最為中小學(xué)生熟悉的莫過于“單擺實驗”：T形支架上，細(xì)繩拴著一顆小球，這是物理課上常見的實驗裝置——單擺.航天員王亞平將小球拉開離支架一定角度后釋放，小球卻以非常慢的速度移動，并沒有像在地面上那樣來回擺動，隨后她再拿著小球拉直細(xì)繩，輕推小球，小球即繞著支架的固定點不停地做圓周運動.

1 簡諧運動物體的動力學(xué)方程

做簡諧運動的物體要受到回復(fù)力的作用，其回復(fù)力F與物體相對于平衡位置的位移x成正比，方向與位移x的方向相反，即F＝－kx，其中k是比例系數(shù).對于質(zhì)量為m的小球，設(shè)在t時刻的位移是為x，加速度為a，根據(jù)牛頓第二運動定律有F＝ma＝－kx，可得

這就是做簡諧運動物體的周期.

2 單擺的周期及其適用條件

單擺是一種典型的簡諧運動，是一種理想化的物理模型.在地面上，實際的擺只要懸掛小球的擺線不會伸縮，懸線的長度又比球的直徑大很多，或擺球的直徑與懸線長相比可以忽略，再忽略各部分阻力，可認(rèn)為是構(gòu)成單擺的條件之一.

圖1

當(dāng)擺球靜止在O點時，擺球受到的重力G和擺線的拉力T平衡，如圖1所示，這個O點就是單擺的平衡位置.讓擺球偏離平衡位置，此時，擺球受到的重力G和擺線的拉力T就不再平衡.在這兩個力的作用下，擺球?qū)⒃谄胶馕恢肙附近來回往復(fù)運動.當(dāng)擺球運動到任一點P時，重力G沿著圓弧切線方向的分力G1＝mgsinθ提供給擺球作為來回振動的回復(fù)力，因此有

其中L為單擺的長度，g為地球表面的重力加速度.

表1

在單擺周期公式的推導(dǎo)中如果用θ代替sin θ，從理論上講，相比直接用sinθ所產(chǎn)生的相對誤差，隨最大擺角的增大而增大.由表1可以看出，最大擺角為5°時相對誤差約為0.13%，10°時約為0.51%，14°時約為1.00%.當(dāng)實際擺的最大擺角為θ＜10°時，其周期與理想單擺的相對誤差不超過0.5%，可近似地認(rèn)為單擺的運動為簡諧運動.這一結(jié)論，與用不同的方法通過對單擺模型動力學(xué)方程的解的高階無窮小量分析所得結(jié)論基本一致［5］.

3 關(guān)于單擺的周期是否存在“無窮大”情形的探討

根據(jù)公式（7），從純數(shù)學(xué)的角度看，g→0時，有T→∞，似乎成立.但是這在物理意義上講，g→0時，意味著是在近乎完全失重的條件下，而此時擺的模型中就不存在回復(fù)力了，沒有回復(fù)力，其運動就不再是簡諧運動，當(dāng)然也就談不上物理意義上的“單擺”了.那么，不是單擺的物理模型，而仍然用單擺模型的運動規(guī)律去討論，顯然這是不妥的，它失去了原有的意義.

地面上常用的單擺裝置在“天宮一號”內(nèi)，由于在近乎完全失重的狀態(tài)下，沒有了回復(fù)力，這時細(xì)繩并沒有給球拉力，裝置的鋼球不再像地面上那樣來回擺動，而是幾乎靜止在原始位置，它不構(gòu)成單擺的條件，所以不能說成是“單擺的周期無窮大”，因為其前提就是錯誤的.若此時推動小球，相當(dāng)于給了小球一個初速度，同時細(xì)繩又給小球提供拉力，細(xì)繩拉力平衡離心力，小球便繞著支架的固定點做圓周運動.這就是“太空授課”中后來我們能看到的“單擺不擺繞圓周”的有趣現(xiàn)象.

如果說從g→0的角度來探討單擺的周期“無窮大”情形沒有物理意義，那么據(jù)公式（7），單擺的擺長L→∞時，是否能得出單擺的周期“無窮大”？回答依然是否定的，因為公式（7）的導(dǎo)出過程中實際上是在把地球表面看作無限大的平面情況下得到的，而事實上地球半徑的有限性使得地球表面是一個球面［6］.當(dāng)擺長L很長以至可和地球半徑R相比時，考慮到地球萬有引力和單擺擺線的拉力的共同作用，我們必須對單擺周期公式重新進(jìn)行推導(dǎo)［7］，得到單擺周期的修正公式為

故單擺的最長周期是約84min，而不是“無窮大”.

1 周衍柏.理論力學(xué)教程（3版）.北京：高等教育出版社，2009.

2 譚志中.求大擺角單擺周期近似解的“局部?；狈椒?大學(xué)物理，2005（12）：14～17

3 劉鳳祥.單擺運動周期的近似解.大學(xué)物理，1999（19）：5～7

4 邵子蘭.簡諧運動方程的求解方法.安徽大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1993（3）：92～94

5 吳云虎.對單擺周期測定值誤差的詮釋.中學(xué)物理教學(xué)參考，2004（6）：18～19

6 管習(xí)文，韋聯(lián)福.單擺周期與地球半徑.四川師范大學(xué)學(xué)（自然科學(xué)版），1991（4）.

7 于俊亭.對單擺周期公式若干問題的理論詮釋.中學(xué)物理，2008（7）：11