何萬里

摘要： 針對模糊環(huán)境下多屬性的決策問題，首先把粗糙屬性值規(guī)范化處理并且計算各屬性權重，然后利用粗糙數運算，期望運算以及方差運算把區(qū)間排序問題轉化為實數排序，從而得到一種新的區(qū)間數排序方法。最后通過實例表明此方法的有效性。

Abstract： Based on the fuzzy condition in attribute decision making， first， the normalized formulas for rough attribute values are given， and the attribute weights are derived by calculation. Then， this paper employes the rough artinmetic， expected value operator and the variance value operator， to change the problem of interval number ranking into the problem of real number region ranking， obtains a new interval number ranking method based on variable precision rough set. Finally， an example is given to show the feasibility and availability of the method.

關鍵詞： 多屬性決策；區(qū)間粗糙數；期望；方差

Key words： multiple attribulte decision making；interval rough number；expected value operator；variance value operator

中圖分類號：O29 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2013）03-0303-02

0 引言

多屬性決策是現(xiàn)代決策科學的一個重要組成部分，它的理論和方法在諸多領域中有著廣泛的應用。由于客觀事務的復雜性、不確定性，以及人類思維的模糊性，在實際的決策問題中，決策信息常常以區(qū)間粗糙數的形式給出。文獻[1]對這類問題給出了一種研究方法，在此基礎上本文對此方法作了改進，實例證明改進的方法應用更加廣泛。且具有有效性。我們首先給出一些基本概念和計算公式：

1 間粗糙數

定義1[2] 設U是一個論域，并且X是一個表示概念的集合，其下近似和上近似分別定義為

■=x∈U|R■（x）？哿X，■=■R（X）

其中R（X）={y∈U|y？艿x}，R-1（X）={y∈U|x？艿y}（？艿表示一種具有自反性，但不具有對稱性和傳遞性的二元相似關系）

定義2[2]具有相同下近似和上近似的所有集合的整體稱為一個粗糙集，記為（■，■）。

定義3 一個區(qū)間粗糙數是下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙集，記為（[a，b]，[c，d]），其中c？燮a？燮b？燮d。

定義4 設ξ=（[a，b]，[c，d]），ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1]），ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2]）均為區(qū)間粗糙數，λ>0且為實數。則有：

ξ1+ξ2=（[a1+a2，b1+b2]，[c1+c2，d1+d2]）

kξ=（[ka，kb]，[kc，kd]）

定義5[1] 設ξ=（[a，b]，[c，d]）為一個區(qū)間粗糙數，則設ξ的期望值為

E[ξ]=■（a+b+c+d）

對于區(qū)間粗糙數，可按其期望值的大小進行排序，即ξ1和ξ2為兩個區(qū)間粗糙數，當E[ξ1]>E[ξ2]時，則ξ1>ξ2。

定義6設ξ=（[a，b]，[c，d]）為一個區(qū)間粗糙數，則設ξ的方差值為

σ[ξ]=■（a-E[ξ]）■+（b-E[ξ]）■+（c-E[ξ]）■+（d-E[ξ]）■

對于區(qū)間粗糙數，可按其期望值的大小進行排序，即ξ1和ξ2為兩個區(qū)間粗糙數，當σ[ξ1]<σ[ξ2]時，則ξ1>ξ2。

2 區(qū)間粗糙數的規(guī)范化與屬性權重的確定公式

2.1 屬性權重的確定公式的規(guī)范化計算公式

設不確定型多屬性決策問題方案為X=x■，x■，…，x■，屬性集U=u■，u■，…，u■。對方案xi∈X，按第j個屬性ui進行測度，得到xi關于ui的屬性值ξij，從而構成決策矩陣A=（ξij）m×n。

為了消除不同物理量綱對決策結果的影響，用下列規(guī)范決策矩陣的計算公式，即：

將決策矩陣A轉化為規(guī)范化矩陣P=（pij）m×n，其中p■=p■■，p■■，且

pij=aij/■，j∈I1，i∈m （1）

pij=（1/aij）/（■），j∈I2，i∈m （2）

其中，■=■a■，■=■1/a■

2.2 多屬性決策中屬性權重的計算

定義2.1 設ξi=a■，b■，c■，d■，（i=1，2）為兩個區(qū)間粗糙數，則它們的相離度定義為

δξ■，ξ■=a■-a■+b■-b■+c■-c■+d■-d■

根據離差最大化思想[1]，可得到屬性權重計算公式為

ω■=■，j=1，2，…，n （3）

在求出屬性權重ω=ω■，ω■，…，ω■■之后，方案xi的綜合屬性值與屬性權重的關系為z■=■p■ω■，i∈m。

3 改進的決策方法

第一步：根據表中的數據建立決策表；

第二步：將決策矩陣用公式（1）（2）轉化為規(guī)范化決策矩陣；

第三步：根據（3）式算出各個屬性的權重，進而計算出各個方案的綜合屬性值；

第四步：計算各方案的期望值，按定義1.5排序；

第五步：對于期望相等的方案，計算其方差，按定義1.6排序，可得到最終排序結果。

4 實例分析

某公司計劃進行項目投資，擬定5個備選方案xi（i=1，2，…，5），由此建立決策表如表1。

其中投資額和風險損失為成本型屬性。期望收益和風險盈利為收益型屬性。

利用（1）（2）進行規(guī)范化處理，結果如表2。

根據公式（3）可得屬性權重ω=（0.25，0.45，0.25，0.05）T。

可求得各方案的綜合屬性值為：

z1=（[0.1565，0.2825]，[0.0835，0.4805]）

z2=（[0.1755，0.2655]，[0.108，0.428]）

z3=（[0.1525，0.2575]，[0.0925，0.4735]）

z4=（[0.1425，0.2615]，[0.1025，0.437]）

z5=（[0.1235，0.238]，[0.074，0.375]）

計算各方案期望值，有

E[z1]=0.25，E[z2]=0.245，E[z3]=0.245，E[z4]=0.235，E[z5]=0.2025

因此五個備選方案的初步排序為：

x2=x3>x1>x4>x5

再計算x2，x3的方案的方差得：

σ[z2]=0.0068，σ[z3]=0.209

因此五個備選方案的最終排序為：

x2>x3>x1>x4>x5

5 結論

本文針對不確定決策中模糊量用區(qū)間數表示時，提出了一種改進的區(qū)間數排序方法，通過計算實例表明該方法一定程度上克服了使用期望值排序的不足，是有效可行的。

參考文獻：

[1]曾玲，曾祥艷.一類區(qū)間粗糙型多屬性決策方法的研究[J].控制與決策，2010，25（11）：1757-1760.

[2]Hwang C.L.Yoon K Multi-attribute decision making： methods and applications[M]，New York： Springer-Verlag，1981.

[3]Zelney M.MCDM： Past decade and future trends. Greenwich： JAI Press，1984， iv：68-78.

[4]Saaty T. L. The analytic hierarchy process[M]， New York： McGraw-Hill，1980.

[5]徐澤水，孫在東.一類不確定型多屬性決策問題的排序方法[J].管理科學學報，2002，5（3）：35-39.