羅 黨，陳 玲

（華北水利水電學院，河南鄭州 450045）

灰色GM（1，1）模型是灰色系統理論的核心內容和方法之一，以其計算簡便、建模所需信息較少、預測精度較高而在解決不確定關系因素間的問題方面得到了廣泛應用［1］．近年來眾多學者對GM（1，1）模型進行了改進和優(yōu)化，使其逐漸趨于合理．但這些研究大多數是對非負遞增序列進行建模，對衰減序列的理論研究并不完善．當原始序列X（0）單調遞增時，其一次累加生成序列X（1）也單調遞增，用GM（1，1）模型擬合原始序列的精度較高;當原始序列X（0）單調衰減時，X（1）卻單調遞增，其模型值也遞增，在對模型值進行累減還原成原始序列的模擬值時，就會產生不合理的誤差［2］．

近年來對衰減序列建立模型的研究方法主要分為2種：第一，對原始序列進行倒數變換，并建立模型;第二，對原始序列進行反向累加，進而建立模型．文獻［2］提出倒數累加生成的定義，并給出其灰色GRM（1，1）模型及其在藥物動力學中的應用;文獻［3］通過對離散點處灰導數的加權處理，來改進倒數累加灰色模型GRM（1，1）;文獻［4］通過對模型參數的估計，達到提高倒數累加灰色模型GRM（1，1）的精度，并給出其在化學動力學上的應用;文獻［5］提出反向累加生成的定義，給出灰色GOM（1，1）模型;文獻［6］對原始數據利用反向變換生成新數據序列，建立了GM（1，1）預測模型．筆者針對衰減序列，提出映射變換和指數函數變換，將其轉變?yōu)橛成渥儞Q序列和指數函數變換序列，并對變換后的序列建立GM（1，1）預測模型，進行模擬和預測，然后還原到原始序列，從而達到對原始序列模擬和預測的目的．通過與文獻［2］的方法進行比較，得到了較高的模擬和預測精度，可為非負衰減序列的預測提供新的思路．

1 基本概念

設系統行為數據序列為X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），若k=2，3，…，n，x（0）（k）－x（0）（k－1）＜0，則稱X（0）為單調衰減序列［1］．

引理 1［1］設X（0）為非負序列，X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），X（1）為X（0）的一次累 加 生 成 序 列，X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中，

設Z（0）為X（1）的緊鄰均值生成序列，

式中：

2 基于衰減序列灰數預測模型的構建

2．1 映射變換序列預測模型構建

定理 1 設X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））為單調衰減的原始序列，則其映射變換序列為單調遞增序列，即（x（0）（n），x（0）（n+1），…，x（0）（2n－1））為單調遞增序列．

證明略．

由上述定理可知，經過映射變換后單調衰減序列轉變?yōu)檫f增序列．根據定義1，求出單調衰減序列的映射變換序列X（0）1=（x（0）（n），x（0）（n+1），…，x（0）（2n－1）），對映射變換序列X1（0）建立GM（1，1）模型，由引理1和引理2可得GM（1，1）模型x（0）（k）+az（1）（k）=b的時間響應序列為

2．2 指數函數變換序列預測模型構建

3 實例分析

為便于對照，選取文獻［2］的例子，對一名男性患者靜脈注射2 g藥物后，測得不同時刻的血藥濃度C（mg/mL）見表1．

表1 不同時刻的血藥濃度

由于后兩組數據間隔不同，所以取前6組數據進行建模，后兩組數據進行預測檢驗．原始數據序列為X0=（28，24，21，18，16，14），分別用文獻［2］方法、文章的映射變換序列和指數函數變換序列建立模型，得到的模擬值、預測值、模擬平均相對誤差和預測平均相對誤差見表2．

表2 對血藥濃度建模的各模型值C mg/mL

由表2的模型值可分別計算各模型的模擬平均相對誤差和預測平均相對誤差．文獻［2］、映射變換模型和指數函數變換模型模擬平均相對誤差依次為0．71%，0．79%，3．96%;預測平均相對誤差依次為5．63%，1．82%，4．44%．從計算結果可以看出，映射變換序列模型和指數函數變換序列模型的模擬精度比文獻［2］建立的 GRM（1，1）模型的模擬精度略低，但預測精度高于后者;映射變換序列模型的模擬精度和預測精度均高于指數函數變換序列模型的精度．

4 結語

對單調衰減序列的灰色預測模型中，用倒數累加生成的建模方法由于在建模之初和模型值還原時均要做一次倒數變換，會產生較大的計算誤差，所以不適用于數值較大或較小的非負序列預測問題;而用原始序列的映射變換序列可以完全避免這個問題，其適用范圍比較廣泛，只要映射序列符合GM（1，1）建模條件，均可建模，并且由模擬值和預測值還原到原始序列時沒有數據轉換，所以不會有數據損失，從而保持較高的模擬精度和預測精度．映射變換序列模型的初值選用的是原始序列的最后一個數據，體現了新信息優(yōu)先原理．指數函數變換序列模型預測精度和模擬精度較高，可以對非負衰減序列進行預測．這兩個新模型的提出為非負單調衰減序列的建模提供了新方法，擴寬了GM（1，1）的適用范圍．

［1］劉思峰，黨耀國，方志耕，等．灰色系統理論及其應用［M］．5 版．北京：科學出版社，2010．

［2］楊保華，張忠全．倒數累加生成灰色GRM（1，1）模型及應用［J］．數學的實踐與認識，2003，33（10）：21 －25．

［3］周慧，王曉光．倒數累加生成灰色GRM（1，1）模型的改進［J］．沈陽理工大學學報，2008，27（4）：84 －86．

［4］安燕，吳啟勛．倒數累加生成灰色GRM（1，1）模型及其在化學動力學上的應用［J］．計算機與應用化學，2006，23（2）：187－189．

［5］宋中民，鄧聚龍．反向累加生成及灰色GOM（1，1）模型［J］．系統工程，2001，19（1）：66 －69．

［6］王豐效．基于反向變換和遺傳算法的GM（1，1）模型優(yōu)化［J］．統計與決策，2011（16）：20－22．