何姍姍 劉 浩 唐月紅(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，南京 106)

2(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 211106)

引言

近年來，隨著我國(guó)人口老齡化逐漸達(dá)到高峰，股骨頸骨折成為一種常見的骨科疾病，而股骨特征提取則成為當(dāng)今醫(yī)學(xué)研究的主題之一。由于股骨外形結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，所以幾何建模成為面向醫(yī)療應(yīng)用的CAD/CAE/CAM 技術(shù)的關(guān)鍵。三維幾何模型可用于臨床應(yīng)用和病理研究，不僅在三維觀察和三維測(cè)量中起到重要作用，而且也用于人工假體的數(shù)字化設(shè)計(jì)、智能化虛擬手術(shù)、計(jì)算機(jī)輔助手術(shù)導(dǎo)航和三維有限元分析［1］。

股骨近端形態(tài)和大小在不同個(gè)體間存在明顯差異，不同年齡、性別、種族的形態(tài)有所不同。前些年，我國(guó)股骨假體大多從外國(guó)進(jìn)口，但由于差異性的存在，在外形匹配上存在缺陷。近年來，人工假體設(shè)計(jì)成為我國(guó)醫(yī)學(xué)研究的熱點(diǎn)，其中不同個(gè)體設(shè)計(jì)符合個(gè)體的假體成為研究的重點(diǎn)，而如何描述個(gè)體的股骨近端形態(tài)是假體設(shè)計(jì)的必要條件。

股骨頭中心、股骨頭直徑、頸干角是股骨近端的主要特征，它們?yōu)槎ㄖ坪侠淼墓晒羌袤w及醫(yī)學(xué)手術(shù)提供條件［2-3］。在醫(yī)學(xué)和形態(tài)學(xué)上，關(guān)于股骨特征的提取都有研究。目前，關(guān)于股骨近端特征的提取大多是通過基于X 射線投影的人工測(cè)量方法［4-6］，進(jìn)而獲得股骨頭中心、頸軸線、干軸線和頸干角等特征數(shù)據(jù)。但是，對(duì)于股骨復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)，二維測(cè)量具有較大的誤差性。文獻(xiàn)［7 -8］利用CT 影像和逆向工程，分析股骨近端的三維幾何特征，具有很強(qiáng)的突破性和精確性。醫(yī)學(xué)研究表明，股骨頸干角的大小與股骨骨折亦有關(guān)聯(lián)［9］。筆者試圖利用數(shù)學(xué)方法，從股骨幾何形態(tài)學(xué)的角度分析股骨形態(tài)，根據(jù)不同位置的幾何特征來描述股骨，從而尋找計(jì)算股骨頸干角的方法。

本研究基于CT 獲得髖關(guān)節(jié)的斷層數(shù)據(jù)，導(dǎo)入醫(yī)學(xué)處理軟件進(jìn)行圖像處理和三維建模，獲得了股骨的輪廓線并存成IGES 格式，通過Matlab 讀入IGES 生成點(diǎn)云數(shù)據(jù)，然后通過三維最小二乘球擬合來得到股骨頭中心和股骨頭直徑，同時(shí)通過二維圓擬合和空間直線擬合來得到干軸線，最后根據(jù)已知頸干角的測(cè)量數(shù)據(jù)，通過優(yōu)化迭代來擬合最佳頸干角，找到頸軸線的位置。

1 股骨外形分析

股骨是人體中最大的長(zhǎng)管狀骨，可分為一體兩端(見圖1)。上端朝向內(nèi)上方，其末端膨大呈球形，叫“股骨頭”，股骨頭的外下方較細(xì)的部分稱“股骨頸”。頸與體的夾角稱“頸干角”，男性平均132°，女性平均127°。頸體交界處的外側(cè)有一向上的隆起，叫做大轉(zhuǎn)子，其內(nèi)下方較小的隆起叫做小轉(zhuǎn)子。股骨頸的下方稱為股骨體。

圖1 股骨上端特征(1—股骨頭;2—股骨頸;3—大轉(zhuǎn)子;4—小轉(zhuǎn)子;5—股骨體)Fig． 1 The upper characteristics of femur (1 －femoral head; 2 － femoral neck; 3 － greater trochanter;4 －lesser trochanter;5 － femoral shaft)

髖關(guān)節(jié)由股骨和髖骨構(gòu)成，而股骨頭正是連接兩處2/3 的近似球體，其中最主要的參數(shù)是球心坐標(biāo)和球體半徑。在假體設(shè)計(jì)中，可以利用球擬合來擬合股骨頭，補(bǔ)充股骨頭的損壞缺陷，從而實(shí)現(xiàn)假體與髖臼的良好匹配。

股骨體小轉(zhuǎn)子下端可以近似地看做一個(gè)圓柱，其主要參數(shù)是中心軸，即為股骨的干軸線。把干軸逐層圓面擬合，再把得到的圓心直線擬合，從而得到干軸線。

對(duì)于股骨頸，其主要參數(shù)是股骨的頸軸線。根據(jù)已得到的股骨干軸和股骨頭中心坐標(biāo)設(shè)計(jì)算法，推導(dǎo)出頸軸線方程。

2 股骨頸干角計(jì)算方法

2.1 股骨的多線外形提取

本研究利用CT 原始的DICOM 文件，導(dǎo)入醫(yī)學(xué)處理軟件DataSet 進(jìn)行基于灰度的圖形圖像處理，利用閾值分割和區(qū)域增長(zhǎng)來逐層提取股骨邊界輪廓，這個(gè)過程如圖2 所示。

圖2 提取股骨切片邊界輪廓Fig．2 Femoral section boundary contour extraction

將逐層提取出的股骨輪廓的多線外形存成IGES 數(shù)據(jù)，通過Matlab 讀入IGES 數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)由每層 z 坐標(biāo)相同的若干數(shù)據(jù)點(diǎn)組成。通過Matlab，可實(shí)現(xiàn)對(duì)股骨多線外形的光順、平移、旋轉(zhuǎn)、擬合等分析處理，其中股骨的多線外形數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 股骨多線外形Fig．3 The multiline shape of femur

2.2 股骨頸干軸擬合

2.2.1 股骨頭中心和直徑的確定文獻(xiàn)［8，10 -12］都把股骨頭看成一個(gè)球體來擬合，筆者也采用該方法。不同的是，上述文獻(xiàn)數(shù)據(jù)為點(diǎn)云數(shù)據(jù)，在描述股骨外形時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)巨大。例如，文獻(xiàn)［10］中股骨點(diǎn)云有559 816 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，龐大的數(shù)據(jù)點(diǎn)將不利于外形編輯，因此分別提出了不同的方法來精簡(jiǎn)點(diǎn)云數(shù)據(jù)和剔除誤差點(diǎn)［10-11］。而本研究的數(shù)據(jù)是多線外形數(shù)據(jù)，是一種特殊的點(diǎn)云，介于有序與無序之間。例如，圖3 中的股骨點(diǎn)云數(shù)據(jù)約有18 684 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，借用多線外形這一特性，可以直接來擬合股骨頭。在圖3 所示的股骨截面線數(shù)據(jù)上，觀察從股骨體到股骨頭的狀況，在同一z 坐標(biāo)截面線從1 條變?yōu)? 條再變?yōu)? 條。由于原始數(shù)據(jù)僅由分別位于同一z 坐標(biāo)的點(diǎn)集組成，找出全部位于股骨頭上的數(shù)據(jù)尚有難度。為了篩選出擬合股骨頭的有效數(shù)據(jù)，選截面線從2 條變?yōu)?條開始以上部分的股骨頭數(shù)據(jù)。擬合股骨頭的具體方法如下:

設(shè)球心坐標(biāo)為(Ox，Oy，Oz)，半徑為R，則球面方程為

令a = - 2Ox，b = - 2Oy，c = - 2Oz，d = Ox2 +Oy2 + Oz2 - R2，則對(duì)于數(shù)據(jù)集(xi，yi，zi)(i = 1，2，…，n)，任一點(diǎn)(xi，yi，zi)到球心的距離的平方為

δ = xi

2 + yi

2 + zi2 + axi+ byi+ czi+ d + R2

求解式(1)，得出a，b，c，d。經(jīng)過換算，即求出股骨頭中心坐標(biāo)(Ox，Oy，Oz)和股骨頭半徑R。

同時(shí)，對(duì)每個(gè)采樣點(diǎn)(xi，yi，zi)(i = 1，2，…，n)計(jì)算擬合殘差，有進(jìn)而計(jì)算擬合誤差，有

利用式(2)～式(3)計(jì)算誤差，通過20 個(gè)算例計(jì)算股骨頭的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)平均為2 209個(gè)，且擬合平均誤差為0.434 0 mm，如表1 所示。

可以看出，這種數(shù)據(jù)的采用方法和擬合方法對(duì)整個(gè)球體擬合造成的誤差相對(duì)較少，且具有一定的穩(wěn)定性，同時(shí)在性能上可以通過股骨頭直徑與正常值的對(duì)比來評(píng)價(jià)，將在文中第3 節(jié)具體分析。因此這種方法可以有效地的擬合股骨頭。

表1 股骨頭擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab．1 Experimental results of fit femoral head

2.2.2 股骨干軸線的確定

如圖1 所示，股骨體小轉(zhuǎn)子下端形似一個(gè)圓柱，因此對(duì)于股骨干軸的擬合，可把截面線的每一層看做二維圓擬合，求出一組圓心坐標(biāo)。由于這些圓心不在一條直線上，所以再通過空間直線擬合［13］的方法進(jìn)行擬合，得到直線方程(即為干軸方程)L:x =az +b，y =cz +d(其中z 為變量)。同時(shí)，利用2.2.1中類似的方法，可以計(jì)算出干軸直線擬合時(shí)的平均誤差。

2.2.3 優(yōu)化求解最佳頸干角

根據(jù)現(xiàn)有的關(guān)于頸干角測(cè)量的研究數(shù)據(jù)［2，5-6］，頸干角正常值在110° ～140°之間，男性平均為132°，女性平均為127°。頸干角隨年齡的增大而減小，兒童的頸干角大于成年人的頸干角。

從股骨形態(tài)學(xué)上分析，股骨頸類圓柱狀，中間細(xì)兩頭粗，因此與頸軸線垂直的平面截頸軸得到類圓形的截面，且截面積最小，而在同處垂直于不精確頸軸的平面截得的橫截面面積必定大于真實(shí)頸軸截得的面積。從這個(gè)理論分析出發(fā)，尋找精確頸軸。把頸干角α 在110° ～140°之間迭代搜索最佳頸干角來找尋精確頸軸。由2.2.1 和2.2.2 求出的球心坐標(biāo)和干軸線確定一平面，在該平面上過股骨頭中心O 點(diǎn)做與干軸L 成α 夾角的直線與L 交于B點(diǎn)，如圖4 所示。

設(shè)B 點(diǎn)坐標(biāo)為(at +b，ct +d，t)，可知

當(dāng)α = 110°時(shí)，頸干軸交點(diǎn)為B1，其坐標(biāo)為(at1+ b，ct1+ d，t1);當(dāng)α =140°時(shí)，頸干軸交點(diǎn)為B2，其點(diǎn)坐標(biāo)為(at2+ b，ct2+ d，t2)。

當(dāng)α ∈(110°，140°)時(shí)，頸干軸交點(diǎn)B 的z 坐標(biāo)t∈(t1，t2)。OB 為假定頸軸。過線段OB 中點(diǎn)C 做垂直于OB 的平面，截面線數(shù)據(jù)上分別在每層逐點(diǎn)連線，與平面相交點(diǎn)集D，如圖5 所示。

由圖5 看出，截面點(diǎn)位于空間的一個(gè)平面中，既可以采用空間曲線擬合截面點(diǎn)來計(jì)算截面面積，亦可以通過旋轉(zhuǎn)空間平面到與坐標(biāo)平面平行來計(jì)算截面面積。由于曲線擬合和旋轉(zhuǎn)的復(fù)雜性以及可能帶來的誤差，所以可以采用投影的方法來計(jì)算截面面積。通過投影面積反求截面面積，使面積的計(jì)算變得簡(jiǎn)單，從而減少了擬合和旋轉(zhuǎn)的復(fù)雜性與誤差性，具體方法如下:

已知截面數(shù)據(jù)點(diǎn)存為點(diǎn)集D，原則上D 為橢圓形狀，為了求D 所圍成圖形面積，把D 投影到xoy平面上，得到數(shù)據(jù)點(diǎn)D1，再利用定積分求解平面點(diǎn)集D1的面積S1，從而反求點(diǎn)集D 所圍成的面積S。這樣，就能夠避免直接擬合橢圓求面積而造成的誤差。

圖4 頸軸線擬合Fig．4 The fitting of neck axis

圖5 截面點(diǎn)數(shù)據(jù)Fig．5 Data of the cross-section

已知數(shù)據(jù)點(diǎn)D 所在平面為:

設(shè)a = Ox- Bx，b = Oy- By，c = Oz- Bz，則式(4)表示的平面法向量為(a，b，c)。該法向量與z軸夾角的余弦為cosθ，則原數(shù)據(jù)集D 點(diǎn)集所表示圖形的面積為S = S1/cosθ。

這樣，就得到截面面積S 是變量t 的函數(shù)。當(dāng)t∈(t1，t2)時(shí)，根據(jù)橫截面面積最小來建立優(yōu)化模型，即

求解單變量約束最優(yōu)化式(5)，得到最優(yōu)解t 。

2.2.4 頸軸線和頸干角的確定:

根據(jù)上節(jié)求得的最優(yōu)解，即找到最佳頸干軸交點(diǎn)B 的坐標(biāo)，這時(shí)OB 所在直線就是所求的頸軸線。同時(shí)，OB 與干軸線L 的夾角即為該股骨的頸干角。擬合出頸干軸直線，如圖6 所示。

圖6 擬合出的頸干軸。(a)例1;(b)例2Fig．6 The fitting of neck axis and shaft axis． (a)Example 1;(b)Example 2

3 結(jié)果

基于CT 獲得髖關(guān)節(jié)的斷層數(shù)據(jù)，通過導(dǎo)入醫(yī)學(xué)處理軟件來進(jìn)行圖像處理和三維建模，獲得了股骨的輪廓線并存成IGES 格式，通過Matlab 讀入IGES 生成點(diǎn)云數(shù)據(jù)，再通過優(yōu)化步驟來得到頸干軸線的位置，同時(shí)確定股骨頸干角的大小。該研究主要基于數(shù)學(xué)方法，通過分析股骨外形結(jié)構(gòu)的角度來計(jì)算股骨頸干角。用20 例CT 數(shù)據(jù)來驗(yàn)證該算法，得到的主要股骨特征數(shù)據(jù)，如表1 ～表2所示。

表2 頸干角實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab．2 Experimental results of neck-shaft angle

由于采用的軟件在前期截面線的提取尚未完成自動(dòng)化，所以仍需交互式提取。因提取的復(fù)雜性，筆者僅通過20 例CT 數(shù)據(jù)來進(jìn)行測(cè)量。表1 的數(shù)據(jù)表明，該方法在擬合股骨頭時(shí)的平均誤差為0.434 0 mm，誤差較小，具有很好的擬合效果。在通過圓擬合和直線擬合干軸線時(shí)，擬合的平均誤差為0.384 1 mm。通過表2 的方差分析可以看出，股骨直徑的測(cè)量值穩(wěn)定性較強(qiáng)，同時(shí)股骨頸干角測(cè)量的平均值是126.325 9°。方差分析表明，本算法具有一定的穩(wěn)定性，但仍有待減小方差值，進(jìn)一步的驗(yàn)證工作將在截面線自動(dòng)提取實(shí)現(xiàn)后進(jìn)行。

4 討論和結(jié)論

利用數(shù)學(xué)方法，根據(jù)股骨外形的幾何特征來求解頸干角。具體實(shí)驗(yàn)表明，這種方法能快速有效地計(jì)算出股骨頸干角，同時(shí)可以表示出頸干軸方程。與現(xiàn)有方法相比，有以下優(yōu)點(diǎn):第一，為求解頸干角提供了一個(gè)新的思路;第二，與二維測(cè)量相比，三維測(cè)量具有明顯的優(yōu)點(diǎn);第三，與現(xiàn)有的三維測(cè)量方法相比，本方法比文獻(xiàn)［8］中的方法更具簡(jiǎn)便性。文獻(xiàn)［8］在求解最小截面時(shí)，通過確定一條假定頸軸做一系列截面來確定最小截面，其中并沒有說明假定頸軸的具體取法，并且直接對(duì)截面進(jìn)行橢圓擬合會(huì)有一定的誤差;本研究通過干軸方程和夾角范圍確定假定頸軸，從而確定最小截面，相對(duì)簡(jiǎn)單，并且在對(duì)截面積的計(jì)算時(shí)采用投影及定積分求解，具有更多的簡(jiǎn)便性，可避免不必要的誤差性。但是，本方法還存在一定的缺陷，例如，在注重?cái)?shù)學(xué)方法探討的同時(shí)，需加強(qiáng)實(shí)例驗(yàn)證。同時(shí)，對(duì)誤差精度的估計(jì)也需進(jìn)一步探討。

總之，本研究提出的求解頸干角的方法對(duì)于人體假肢的定制提供了一定的參考，并對(duì)股骨的變形研究工作提供了前提條件。

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