李育冬，吳 昊，夏蘇清

（1新疆大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，新疆 烏魯木齊830046；2解放軍69081部隊(duì)，新疆 烏魯木齊830000）

在經(jīng)濟(jì)學(xué)構(gòu)建回歸模型分析時(shí)，經(jīng)典的簡單最小二乘估計(jì)（OLS），必須滿足高斯假設(shè)等苛刻的假設(shè)條件，而在實(shí)際分析經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的時(shí)候，解釋變量之間完全不相關(guān)的情形是十分少見的，由于經(jīng)濟(jì)學(xué)分析的社會(huì)問題往往涉及面廣泛，考察的自變量多，當(dāng)研究時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)候，大多數(shù)自變量隨著時(shí)間變化往往存在共同的變化趨勢，使得它們之間在某種程度上存在著一定的共線性；而對(duì)于截面數(shù)據(jù)常常也存在自變量高度自相關(guān)的情況，而存在著共線性會(huì)給模型帶來許多不確定性的結(jié)果。

一、多重共線性的認(rèn)識(shí)

（一）多重共線性的定義

設(shè)回歸模型y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βpxp＋ε如果矩陣X的列向量存在一組不全為零的p＋1個(gè)數(shù)k0，k1，k2…kp使得k0＋k1xi1＋k2xi2＋…＋kpxip＝0，i＝1，2，…n，則稱其存在完全共線性，如果k0＋k1xi1＋k2xi2＋…＋kpxip≈0，i＝1，2，…n，則稱其存在多重共線性，也稱復(fù)共線性。

（二）多重共線性的后果

多重共線性其實(shí)是由樣本容量太小所造成的后果，當(dāng)樣本容量n很小的時(shí)候，多重共線性才是非常嚴(yán)重的。在不同口徑下有關(guān)的許多變量，變量太多不但會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜性，而且也給全面合理地分析問題和解決問題帶來很大困難，雖然每個(gè)變量都提供了一定的信息，但每個(gè)變量的重要性有所不同。當(dāng)存在多重共線性時(shí)，自變量用來解釋因變量所提供的信息出現(xiàn)重疊，多重共線性導(dǎo)致模型回歸系數(shù)參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差變大，置信區(qū)間變寬，利用OLS估計(jì)得到的回歸參數(shù)估計(jì)值很不穩(wěn)定，回歸系數(shù)的方差隨著隨著多重共線性強(qiáng)度的增加而加速增長，常常會(huì)出現(xiàn)在回歸方程高度顯著的情況之下，有些回歸系數(shù)通不過顯著性檢驗(yàn)，還常常會(huì)出現(xiàn)回歸系數(shù)正負(fù)號(hào)得不到合理的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。因此，在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究之中構(gòu)建多元回歸模型考察因變量時(shí)要消除多重共線性的影響。［1］180-183

多重共線性的常見影響有：

（1）在存在多重共線性的情況下，得到的OLS估計(jì)結(jié)果是最優(yōu)線性無偏估計(jì)的，但有較大的方差和協(xié)方差，估計(jì)精度不高，最突出的就是參數(shù)估計(jì)值的方差增大；

當(dāng)r23增大時(shí)，Var（）也增大。

（2）對(duì)參數(shù)區(qū)間估計(jì)時(shí)，置信區(qū)間趨于變大，使得接受原假設(shè)H0的概率更大；

（3）假設(shè)檢驗(yàn)容易作出錯(cuò)誤的判斷；

（4）可能造成擬合優(yōu)度R2較高，但對(duì)各個(gè)參數(shù)單獨(dú)的t檢驗(yàn)卻可能不顯著，甚至可能使估計(jì)的回歸系數(shù)符號(hào)相反，得出完全錯(cuò)誤的結(jié)論，得不出合理的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

（5）OLS估計(jì)量及其標(biāo)準(zhǔn)誤對(duì)數(shù)據(jù)微小的變化也會(huì)很敏感。

（三）多重共線性產(chǎn)生的原因

（1）經(jīng)濟(jì)變量之間具有共同變化趨勢。由于考察的自變量隨時(shí)間變化往往有共同的變化趨勢，往往受到共同因素的影響，各個(gè)自變量之間存在著共線性。例如當(dāng)經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)大繁榮時(shí)，反映經(jīng)濟(jì)情況的指標(biāo)都有可能按著某種比例關(guān)系增長。

（2）模型中包含滯后變量。滯后變量的引入也會(huì)產(chǎn)生多重共線行，例如本期的消費(fèi)水平除了受本期的收因素入影響之外，還有可能受前期的收入因素影響，建立模型時(shí)，本期的收入水平就有可能和前期的收入水平存在著共線性。

（3）利用截面數(shù)據(jù)建立模型也可能出現(xiàn)多重共線性。在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究建立多元回歸模型時(shí)利用的截面數(shù)據(jù)本身就有可能存在自相關(guān)性，如果沒有進(jìn)行處理建立的模型就有可能存在著共線性。

（4）樣本數(shù)據(jù)采集方法的原因。

（四）多重共線性的識(shí)別

1.簡單觀察法

（1）在自變量的相關(guān)系數(shù)矩陣中，一些自變量的相關(guān)系數(shù)值比較大；

（2）回歸系數(shù)的符號(hào)與經(jīng)濟(jì)學(xué)常識(shí)相反或者難以解釋；

（3）重要考察的自變量的置信區(qū)間過大；

（4）如果增加一個(gè)變量或刪除一個(gè)變量，回歸系數(shù)的估計(jì)值發(fā)生了很大的變化；

（5）對(duì)重要的自變量的回歸系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)，其結(jié)果不顯著，但是F檢驗(yàn)確得到了顯著的通過。

2.方差擴(kuò)大因子法（VIF）

3.特征根判定法

由于矩陣行列式的值等于其特征根的連乘積，因此當(dāng)行列式｜X′X｜≈0時(shí)，至少有一個(gè)特征根為零，反過來，可以證明矩陣至少有一個(gè)特征根近似為零時(shí)，X的列向量必存在多重共線性，同樣也可證明X′X有多少個(gè)特征根近似為零矩陣，X就有多少個(gè)多重共線性。根據(jù)條件數(shù)其中λ為最大的特征根，λ為其mi他的特征根，通常認(rèn)為0＜K＜10，沒有多重共線性，100＞K＞10存在著一般多重共線性，K＞100存在著嚴(yán)重多重共線性。

（五）多重共線性的處理方法

1.增加樣本容量

當(dāng)多重共線性出現(xiàn)是由于測量誤差引起的，而不存在于總體樣本時(shí)，通過增加樣本容量可以減少或是避免線性重合，但是在現(xiàn)實(shí)的生活中，由于受到各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不足的限制，增加樣本容量有時(shí)又是不現(xiàn)實(shí)的。

2.剔除法

當(dāng)面當(dāng)面臨嚴(yán)重的共線性時(shí)，一種最簡單的方法就是剔除掉一些不太重要的自變量，主要有向前法和后退法，逐步回歸法。但決定保留或剔除哪些自變量并不是一件容易的事。因此，如何判斷某個(gè)變量是否重要，是此方法的關(guān)鍵。從模型中刪除一個(gè)變量，還可能導(dǎo)致設(shè)定偏誤。此外，在一些經(jīng)濟(jì)模型中，要求一些很重要變量必須包含在里面，這時(shí)如果貿(mào)然的刪除就不符合現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)意義。

3.主成分分析法

主成分分析一種處理嚴(yán)重共線性的有偏估計(jì)方法。當(dāng)自變量間有較強(qiáng)的線性相關(guān)性時(shí)，利用p個(gè)變量的主成分，所具有的性質(zhì)，如果他們是互不相關(guān)的，可由前m個(gè)主成Z1，Z2，…Zm來建立回歸模型。

由原始變量的觀測數(shù)據(jù)計(jì)算前m個(gè)主成分的得分值，將其作為主成分的觀測值，建立Y與主成分的回歸模型即得回歸方程。這時(shí)p元降為m元，這樣既簡化了回歸方程的結(jié)構(gòu)，且消除了變量間相關(guān)性帶來的影響。然而，主成分估計(jì)提取的主成分與因變量關(guān)系也不密切，使模型的擬合效果降低；而且以此同時(shí)主成分的實(shí)際含義也不明確。［2-3］

4.偏最小二乘法（PLS）

PLS法是由H.Wold在1966年提出的PLS是由Wold（1966）提出的，PLS≈主成分估計(jì)＋典型相關(guān)分析。PLS吸取了主成分估計(jì)的思想，提取的主成分考慮了對(duì)因變量的解釋能力，使估計(jì)值優(yōu)于主成分估計(jì)值?？墒牵c此同時(shí)PLS也繼承了主成分估計(jì)的一些缺點(diǎn)，如主成分含義也不明確、信息重疊等現(xiàn)象。

5.嶺回歸法

嶺回歸分析是由Heer首先提出的，他與肯納德合作，進(jìn)一步發(fā)展了該方法，在多元線性回歸模型的矩陣形式Y(jié)＝Xβ＋ε，參數(shù)β的普通最小二乘估計(jì)為β＝（X′X）-1X′Y，嶺回歸當(dāng)自變量存在多重共線性｜X′X｜≈0時(shí)，給矩陣加上一個(gè)正常系數(shù)矩陣kI，那么β＝（X′X＋kI）-1X′Y，當(dāng)時(shí)就是普通最小二乘估計(jì)。嶺回歸也是有偏估計(jì)方法。當(dāng)出現(xiàn)嚴(yán)重共線性時(shí)，嶺估計(jì)往往比OLS估計(jì)量更穩(wěn)定，以及更小的協(xié)方差矩陣。嶺估計(jì)的最大困難是最優(yōu)k值的選擇。盡管人們提出了許多確定k值的原則和方法，但理論上還未得到滿意答案。此外，在實(shí)際應(yīng)用中k值必須通過樣本來確定，存在明顯的主觀性。［4］

二、處理多重共線性的實(shí)際運(yùn)用

根據(jù)烏魯木齊市統(tǒng)計(jì)年鑒［5］，選取烏魯木齊市2000年至2012年的物流產(chǎn)業(yè)相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)做一個(gè)多元回歸模型，選取烏魯木齊市的貨運(yùn)量周轉(zhuǎn)量（Y）為因變量，進(jìn)出口總額（X1）、社會(huì)消費(fèi)品零售總額（X2）、物流業(yè)就業(yè)人數(shù)（X3）、公路里程（X4）、郵電業(yè)務(wù)收入（X5）5個(gè)變量為自變量，將所有變量加以對(duì)數(shù)化處理。構(gòu)建多元回歸模型為LNY＝β1LNX1＋β2LNX2＋β3LNX3＋β4LNX4＋β5LNX5＋ε……（3.1）；其中ε為隨機(jī)干擾項(xiàng)。

1.簡單最小二乘估計(jì)法

運(yùn)用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行分析，從簡單二乘法估計(jì)結(jié)果可以看到，調(diào)整的擬合優(yōu)度R2＝1，F(xiàn)＝34880.71，在置信水平為95%，自由度4，方程通過了顯著性的檢驗(yàn)，從整體上來說方程得到了很好的擬合，通過篩選方程剔除了自變量LNX2，同時(shí)變量LNX1，LNX3不顯著，LNX1系數(shù)為負(fù)，和經(jīng)濟(jì)學(xué)的原理相反。方差擴(kuò)大因子VIF1＝2649.482，VIF2＝659.07917，VIF3＝1463.4738，VIF4＝1585.8618.均大于10說明存在多重共線性。再由多重共線性診斷結(jié)果可以看到，特征值有兩個(gè)接近于零，最大條件數(shù)為120.408，且直觀可以看出，第四個(gè)特征值的方差既可以解釋LNX1方差的98%，也可以解釋LNX3方差的86%，說明自變量間存在著嚴(yán)重的多重共線性。

2.運(yùn)用嶺回歸解決多重共線性

用SPSS軟件采用嶺回歸法做出的結(jié)果如下：

表1 嶺參數(shù)K值表

從嶺跡圖上看，最小二乘的穩(wěn)定性很差，當(dāng)K稍微增大時(shí)，系數(shù)有較大的變化。對(duì)各個(gè)變量分別來看，當(dāng)K＝0，LNX2、LNX3、LNX4、LNX5對(duì)于變量有顯著性正的影響，LNX1對(duì)于變量有負(fù)的影響，從嶺回歸的角度來看，自變量LNX2，LNX3，LNX4隨 K的增大其系數(shù)值迅速減小最終趨于穩(wěn)定，LNX1隨K的增大其系數(shù)值迅速增加最終趨于穩(wěn)定，當(dāng)K逐漸增大時(shí)，LNX1由負(fù)的影響迅速變?yōu)檎挠绊懖⑶亿呄蛴诜€(wěn)定，由此決定用5個(gè)變量做嶺回歸。把嶺參數(shù)步長改為0.02，范圍縮小到0.2，在SPSS中用命令生成得到如下結(jié)果：

表2 調(diào)嶺參數(shù)步長＝0.02后嶺參數(shù)K值表

從嶺參數(shù)K值表結(jié)果看，當(dāng)嶺參數(shù)K在0.06-0.10之間已經(jīng)基本穩(wěn)定，當(dāng)K＝0.08時(shí)候，R2＝0.98322仍然很大，因而可以選取嶺參數(shù)K＝0.08，給定K＝0.08再次做嶺回歸，得到輸出結(jié)果如表3所示。

表3 K＝0.08時(shí)嶺回歸輸出結(jié)果

由嶺回歸輸出結(jié)果可以得到LNY對(duì)于LNX1，LNX2，LNX3，LNX4，LNX5標(biāo)準(zhǔn)化嶺回歸方程為：

由此我們可以看出，通過標(biāo)準(zhǔn)化嶺回歸得到的T統(tǒng)計(jì)量比OLS估計(jì)顯著，各個(gè)變量的系數(shù)經(jīng)濟(jì)意義也更加合理，可以看到各個(gè)變量對(duì)烏魯木齊貨運(yùn)量不同程度的影響。

3.主成分分析法

用SPSS軟件采用主成分分析法可以得到前兩個(gè)因子的累積貢獻(xiàn)率已經(jīng)達(dá)到91%以上，故取因子數(shù)m＝2。提取出公共因子，為了使因子便于解釋，使用方差極大法將因子旋轉(zhuǎn)，采用回歸法估計(jì)因子得分系數(shù)，得出函數(shù)如下：

進(jìn)而可以得出，

由上面的分析我們看到嶺回歸和主成分的所得到的結(jié)果比較接近，得出的各個(gè)系數(shù)比較簡單二乘法也更加的合理，更加符合現(xiàn)實(shí)意義。

三、結(jié) 論

主成分分析法和嶺回歸法所估計(jì)的參數(shù)，都已經(jīng)不是無偏的估計(jì)，主成分分析法作為多元統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法在處理多變量問題時(shí)具有其一定的優(yōu)越性，其降維的優(yōu)勢是明顯的，主成分回歸方法對(duì)于一般的多重共線性問題還是適用的，尤其是對(duì)共線性較強(qiáng)的變量之間.嶺回歸法估計(jì)是通過最小二乘法的改進(jìn)允許回歸系數(shù)的有偏估計(jì)量存在而補(bǔ)救多重共線性的方法，采用它可以通過允許小的誤差而換取高于無偏估計(jì)量的精度，因此它接近真實(shí)值的可能性較大，但k值的選取具有主觀性，選取不當(dāng)可能造成很大誤差。作為統(tǒng)計(jì)方法，每種方法都有其適用范圍，沒有一種統(tǒng)計(jì)方法具有超過其他方法的特殊優(yōu)勢，在實(shí)際計(jì)量統(tǒng)計(jì)分析需要依據(jù)考察因變量、自變量的特點(diǎn)和數(shù)據(jù)特征靈活加以運(yùn)用。

［1］何曉群.應(yīng)用回歸分析［M］.北京：中國人民大學(xué)出版社，2007.

［2］白雪梅，趙松山.更深入地認(rèn)識(shí)多重共線性［J］.東北財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（2）：8-12.

［3］劉羅曼.用主成分回歸分析解決回歸模型中復(fù)共線性問題［J］.沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008（1）：42-44.

［4］劉國旗.多重共線性的產(chǎn)生原因及其診斷處理［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001（4）：607-610.

［5］烏魯木齊統(tǒng)計(jì)局.烏魯木齊統(tǒng)計(jì)年鑒2012［M］.北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，2012.