羅騰根

摘 要：解析幾何是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的重要載體，對學(xué)生計算能力要求很高. 學(xué)生常常能列式卻不會化簡，會解法卻不會計算. 本文從教材、教師、學(xué)生三個方面剖析原因，再從師生思想認識到位、教師多教通性通法、發(fā)展學(xué)生思維能力、進行規(guī)范限時訓(xùn)練四條途徑探究培養(yǎng)學(xué)生的算功.

關(guān)鍵詞：解析幾何；算功培養(yǎng)；原因剖析；培養(yǎng)途徑

解析幾何是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的重要載體. 解析幾何的運算，多為數(shù)與式的混合運算，有較強的綜合性，涉及代數(shù)、三角、向量、幾何等知識內(nèi)容，對學(xué)生計算能力要求高. 在“解析幾何初步”這章的教學(xué)中，若對學(xué)生“算功”的培養(yǎng)重視不夠，定會造成教學(xué)障礙.

[?] 兩個案例暴露問題

1. 案例1：能列式卻不會化簡

在“解析幾何初步”這一章的測試卷中，我們曾經(jīng)“照搬”了2007年高考全國II卷理科第20題：

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x-y=4相切.

（1）求圓O的方程；

（2）圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內(nèi)動點P使

測試結(jié)果是全年級很多學(xué)生第2問都失分了，留在試卷上的步驟是會列式“·=x2+y2”，卻不會化簡，不能往下做，令人痛心.

2. 案例2：會解法卻不會計算

在第一輪教“解析幾何初步”時，筆者在一次自習(xí)課輔導(dǎo)中，幾乎全班的學(xué)生都要問一本教輔書上的同一道題：

例2 已知圓（x-3）2+（y-4）2=16，直線l1：kx-y-k=0.

（1）若l1與圓交于兩個不同的點P，Q，求實數(shù)k的取值范圍；

（2）若PQ的中點為M，A（1，0），且l1與l2：x+2y+4=0的交點為N，求證：

學(xué)生被第2問難住了.在與他們的交流中，得知絕大多數(shù)學(xué)生都能說出解決第2問的方法，但就是算不出，或根本就不敢去算.會解法卻算不下去，問題的嚴(yán)重性超出了我們備課組的想象.

[?] 三個方面剖析原因

1. 從教材層面剖析原因

（1）高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：應(yīng)刪減煩瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容，克服“雙基異化”的傾向. ——是不是解析幾何不再要繁難的運算？

（2）教材（北師大版）用框圖表示了“求點P（x0，y0）到直線l：ax+by+c=0的距離”的一般步驟，沒有求解過程，直接給出了點到直線的距離公式，再明確指出：“今后我們將用向量的方法證明這個公式.” ——為什么舍棄當(dāng)場用代數(shù)法推導(dǎo)點到直線的距離公式？就因為“運算繁難”？

2. 從教師層面剖析原因

（1）在定理與公式的教學(xué)中，往往強調(diào)結(jié)果的記憶和應(yīng)用，而疏忽了它們形成的過程及其相互聯(lián)系，學(xué)生認識比較膚淺，理解不深，所以應(yīng)用這些定理、公式時就會疏忽它們成立的條件，很容易出錯或考慮不全面. “點到直線的距離公式”的教學(xué)就是一個例證.

（2）在例題與習(xí)題的教學(xué)中，教師常常只注重解題思路的分析與解題方法的探求，而疏忽解題規(guī)范化的訓(xùn)練與示范，課堂上留給學(xué)生運算的時間也較少，有些難題來不及計算就直接給出答案.

（3）在作業(yè)與試卷的批改中，教師往往不能做到嚴(yán)格按照標(biāo)準(zhǔn)答案分步給分，不能做到細致地既批又改，而是重在最后結(jié)果，缺少對運算求解過程的評價，缺乏對運算合理性的講授與探求.

3. 從學(xué)生層面剖析原因

（1）科學(xué)計算器的使用是把“雙刃劍”. 由于允許科學(xué)計算器進入中考考場，絕大多數(shù)學(xué)生初中開始習(xí)慣用計算器，計算時也就依賴計算器，稍微麻煩的數(shù)式計算就不愿動筆，筆算能力大幅下降.

（2）在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往更重視解題思路的思考，感覺運算只是小問題，對提高運算求解能力不夠重視，對運算的合理性理解不全面、不深刻，也沒有養(yǎng)成良好的運算求解習(xí)慣，諸如審題不清、書寫零亂、過程跳步、盲目求快等.

（3）對繁難運算有畏懼感，不敢去算，不去嘗試；或缺乏整體觀念和運算技能算不下去，自愿放棄.

[?] 四條途徑培養(yǎng)算功

1. 師生思想認識到位

（1）規(guī)范計算器的使用. 師生對使用計算器的利弊展開辯論，讓學(xué)生明白：在計算器還不能進入高考考場的今天，只能讓計算器替代“數(shù)學(xué)用表”的查找功能，或進行實際問題中的大數(shù)計算和近似計算等，而一般的數(shù)式運算還是要筆算.

（2）運算過程與解題思路同樣重要. 在例題教學(xué)與習(xí)題訓(xùn)練中，既要重視解題思路的分析與解題方法的探求，也要留有時間，規(guī)范運算，得出答案. 對于學(xué)生運算過程中的“糾結(jié)”之處，教師要及時“點化”和主動“示范”.

（3）解析幾何一個重要的教育功能就是培養(yǎng)學(xué)生的運算能力. 因此，在“解析幾何初步”中，有點繁難的運算很正常，教師要鼓勵學(xué)生敢于去算，指導(dǎo)學(xué)生善于算.

例3 課堂上，教師示范用代數(shù)法推導(dǎo)“點到直線的距離公式”.

①直線l：Ax+By+C=0的斜率k=-；

②過點P（x0，y0）垂直于l的直線l′的方程是：y-y0=（x-x0），即Bx-Ay=Bx0-Ay0；

③解方程組（加減消元）Ax+By=-C，

2. 教師多教通性通法

用代數(shù)方法解決幾何問題，是解析幾何鮮明的特色，“代數(shù)法”就應(yīng)該是通法. 很多教師的課堂教學(xué)有一個誤區(qū)：那就是追求“一題多解”，追求“巧思妙解”！這對于少數(shù)高才生是“錦上添花”，但對于大多數(shù)學(xué)生是在做“無用功”，他們在“驚嘆”、“佩服”之余，剩下的“只有恨自己笨”！他們期盼“雪中送炭”.

例4 已知直線l1：mx-y=0，l2：x+my-m-2=0，求證：對于m∈R，l1與l2的交點P在一個定圓上.

在一次聽課活動中，教師選擇了例4作為例題教學(xué). 當(dāng)學(xué)生提出“聯(lián)立方程組解出交點坐標(biāo)”時，授課教師打斷了學(xué)生的話，引導(dǎo)學(xué)生觀察直線l1過定點A（0，0），直線l2過定點B（2，1），且直線l1與直線l2垂直，故交點在以線段AB為直徑的圓上，其方程為（x-1）2+

y-

=. “何必去解方程組”？教師一句質(zhì)問，學(xué)生黯然神傷，在心里直恨自己為什么想不到如此“妙法”？

其實，聯(lián)立方程組去解，根本就不用“苦思冥想”. 由mx-y=0，

x+my-m-2=0，解得x=. 又知m=，代入可得x=，化簡得x2+y2-2x-y=0，所以l1與l2的交點P在一個定圓上.

3. 發(fā)展學(xué)生思維能力

解析幾何中的運算求解，不是簡單套公式計算，而是要求學(xué)生能夠?qū)Ψ▌t、公式進行變形，或整體辨認，選擇合理簡捷的運算途徑，有些運算步驟學(xué)會用心算完成. 當(dāng)運算確實很繁得不出結(jié)果時，要學(xué)會調(diào)整解題思路，或修正運算途徑，或估算運算結(jié)果. 總之，要培養(yǎng)好學(xué)生的“算功”，就要加強學(xué)生思維合理性和簡捷性的訓(xùn)練.

比如，在本文例1化簡“·=x2+y2”，多數(shù)學(xué)生心中的算法是：（x2+4x+4+y2）·（x2-4x+4+y2）=（x2+y2）2，覺得太繁，從來沒有算過，所以“算不下去”或“就不算下去”.合理的算法是：[（x+2）2+y2]·[（x-2）2+y2]=（x2+y2）2?[（x+2）（x-2）]2+[（x+2）2+（x-2）2]y2+y4=x4+2x2y2+y4?x4-8x2+16+2x2y2+8y2=x4+2x2y2，所以x2-y2=2.

因為以上運算過程是在草稿上完成，所以第一、第二步還可以心算.

4. 進行規(guī)范限時訓(xùn)練

學(xué)生的“算功”主要靠算得又快又準(zhǔn)來體現(xiàn). 在平時教學(xué)中一要注意限時訓(xùn)練，科學(xué)地規(guī)定完成時間，有意識地針對性培養(yǎng)；二要加強規(guī)范化訓(xùn)練，教師多示范書寫格式，既不“跳步”（遺漏得分點），也不寫多余步驟（不是得分點），做到簡捷合理.

比如，本文例2第2問的運算，看似很繁，但不很難，對學(xué)生的意志品質(zhì)是一個“考驗”，對學(xué)生的書寫格式也是一個“檢驗”.

由kx-y-k=0，

（x-3）2+（y-4）2=16，消去y，得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k2+8k+9=0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=.