宋秀云

【摘 要】思維情境的創(chuàng)設(shè)、思維過(guò)程的展示是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲。教師應(yīng)緊緊抓住教學(xué)中“概念形成”“公式推導(dǎo)”“解題”三個(gè)基本環(huán)節(jié)，根據(jù)每個(gè)環(huán)節(jié)中教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)和思維活動(dòng)的特點(diǎn)，科學(xué)地、靈活地創(chuàng)設(shè)思維情境、展示思維過(guò)程，以達(dá)到在形成數(shù)學(xué)概念、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力中提升思維能力和思維品質(zhì)的目的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 思維情境 思維過(guò)程 創(chuàng)設(shè) 展示 提升

“數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”，這是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》列出的十大課程目標(biāo)之一?！墩n標(biāo)》闡述道：“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程，這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)?！笨梢?jiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注和研究思維過(guò)程及其教學(xué)措施，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。

從另一個(gè)角度看，基礎(chǔ)教育新課程將“過(guò)程與方法”列為課程教學(xué)的“三維”目標(biāo)之一，也凸顯了學(xué)習(xí)過(guò)程、思維過(guò)程在整個(gè)動(dòng)態(tài)教學(xué)體系中的重要地位。

展示數(shù)學(xué)思維過(guò)程是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要指導(dǎo)原則，通常稱為過(guò)程性原則。真實(shí)的數(shù)學(xué)思維過(guò)程是知識(shí)的發(fā)生和形成過(guò)程，它包括概念的形成過(guò)程；問(wèn)題被發(fā)現(xiàn)的過(guò)程；規(guī)律被揭示的過(guò)程；方法的探索、思考和形成過(guò)程；結(jié)論推導(dǎo)和證明過(guò)程。這些過(guò)程往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的一些重要的思想方法。展示這些過(guò)程讓學(xué)生細(xì)心體會(huì)與領(lǐng)悟，揭示出已知的知識(shí)與新知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，往往是喚起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的捷徑，激發(fā)思維的源泉。因此，課前教師應(yīng)根據(jù)過(guò)程性原則和“最近發(fā)展區(qū)”規(guī)律，圍繞如何創(chuàng)設(shè)和再現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成這個(gè)思維過(guò)程，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)教學(xué)程序。本文擬結(jié)合教學(xué)實(shí)際作一些探討。

一、概念形成教學(xué)中思維情境的創(chuàng)設(shè)和思維過(guò)程的展示

數(shù)學(xué)中每個(gè)重要概念的引入與定義，幾乎都?xì)v經(jīng)觀察、比較、分析、抽象、概括、創(chuàng)造等漫長(zhǎng)過(guò)程，盡管教學(xué)中不可能完全重復(fù)前人漫長(zhǎng)的探索過(guò)程，但若抓住方法的精神實(shí)質(zhì)，精心組織、設(shè)計(jì)、創(chuàng)設(shè)和再現(xiàn)適當(dāng)?shù)乃季S過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟形成概念的方法，就可以使多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中處于興奮狀態(tài)，增強(qiáng)學(xué)生的內(nèi)在活力，使學(xué)生成為自覺(jué)主動(dòng)學(xué)習(xí)的主體。

現(xiàn)以“兩條異面直線所成角”這一概念形成過(guò)程為例，作如下教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生展開(kāi)思維。

1.演示模型，提出問(wèn)題。

平面上兩條相交直線可用它們所成的角的大小來(lái)描述，那么空間兩條異面直線也可形成大小不同的“角”嗎？如何尋找一個(gè)合適的量來(lái)刻畫(huà)兩條異面直線之間的傾斜程度呢？

2.逐步形成概念，創(chuàng)設(shè)如下過(guò)程。

（1）平面上兩條直線相交就構(gòu)成角，而兩條異面直線不相交，哪來(lái)的“角”呢？如何規(guī)定兩條異面直線所成的角呢？

（2）能用兩條相交直線所成的角來(lái)確定兩條異面直線所成的角嗎？

3.啟動(dòng)思維，形成概念。

引導(dǎo)學(xué)生自主思考實(shí)現(xiàn)“降維”目的，預(yù)設(shè)學(xué)生可能得到下三種方案（如圖1）：

方案一：作a′∥a且a′與b相交而得；

方案二：作b′∥b且b′與a相交而得；

方案三：在空間任取一點(diǎn)O′，作a′∥a、b′∥b、a′與b′相交而得。

圖1

4.思維辨析，定義概念。

通過(guò)對(duì)三種方案的分析，異面直線a，b所成的角似乎有很多個(gè)了，究竟哪個(gè)是直線a，b所成的角呢？為什么？啟發(fā)學(xué)生根據(jù)等角定理的推論，說(shuō)明這些角都相等，這樣作出的角都合理，且是唯一的。選方案三作為定義就水到渠成了。

5.分析概念，為形成“方法”作準(zhǔn)備。

兩條異面直線所成的角與角的頂點(diǎn)O的位置選取無(wú)關(guān)。運(yùn)用時(shí)，可把點(diǎn)取在兩條異面直線中的某一條上，要找到兩條異面直線所成的角，關(guān)鍵是經(jīng)過(guò)平移，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角（或直角）來(lái)解決。

二、公式教學(xué)中思維情境的創(chuàng)設(shè)和思維過(guò)程的展示

數(shù)學(xué)公式的教學(xué)首先要使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)方法，而這個(gè)方法的思考過(guò)程，教材上通常會(huì)把它濃縮。在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)將思維過(guò)程給以展示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式，揭示規(guī)律，并多角度探索思路給以證明。

例如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，教材上采用錯(cuò)位相減法，即在和式的基礎(chǔ)上乘以公比q（q≠1）后，兩式相減達(dá)到消項(xiàng)求和。對(duì)此，學(xué)生往往不易想到，也是教學(xué)的難點(diǎn)。為突破這一難點(diǎn)，可開(kāi)展如下思維過(guò)程。

先引導(dǎo)學(xué)生得出an=al+alq+alq2…+alqn-1……①

然后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納，猜想出公式：

因?yàn)镾l=al，S2=a1（1+q），S3=a1（l+q+q2）=■（q≠1），進(jìn)而得到S1=■，S2=■，S3=■，…于是猜想：Sn=■（q≠1）②

Sn=na1（q=1）③

如何證明這個(gè)公式呢？教師啟發(fā)學(xué)生用分析法，欲證②式成立，只需證Sn（1-q）=a1（1-qn）成立。至此“錯(cuò)項(xiàng)相減”的思路已初見(jiàn)端倪，證明過(guò)程唾手可得。同時(shí)，也訓(xùn)練了學(xué)生運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要數(shù)學(xué)思維方法。

∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-l

=a1+q（a1+a1q+a1q2+...+a1qn-2）

=a1+qSn-1

∴Sn=a1+q（Sn-an）

∴Sn（1-q）=a1-anq

若q≠1時(shí)，Sn=■=■

若q=l時(shí)，Sn=na1

通過(guò)思維過(guò)程的展示，學(xué)生嘗試到探索過(guò)程的愉悅，對(duì)“錯(cuò)項(xiàng)相減法”的領(lǐng)悟得到提升。

三、解題教學(xué)中思維情境創(chuàng)設(shè)和思維過(guò)程的展示

在解題教學(xué)中，特別是一些思維性強(qiáng)、抽象程度高的習(xí)題，離學(xué)生現(xiàn)有思維水平較遠(yuǎn)，思維鏈條斷裂，學(xué)生難以接受，實(shí)際教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)新問(wèn)題，使新問(wèn)題的解決能為原問(wèn)題的求解鋪平道路，這樣的新問(wèn)題在解題理論中稱為“中途點(diǎn)”，再由“中途點(diǎn)”導(dǎo)航，探索新的思維，逐步向解題目標(biāo)靠攏。

例如在高一年級(jí)講解：已知f（x）=lg（x2-2x+a）（a是實(shí)常數(shù)）的值域是R，求a的取值范圍。對(duì)高一學(xué)生來(lái)說(shuō)，往往受思維定勢(shì)影響，誤認(rèn)為y=lg（x2-2x+a）的值域?yàn)镽與x2-2x+a>0恒成立等價(jià)，為糾正這一錯(cuò)誤思路，創(chuàng)設(shè)如下新問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生思維。

問(wèn)題1：y=lgt，當(dāng)t∈[0，10]時(shí)值域還是R嗎？

問(wèn)題2：函數(shù)y=lg（x2+2x+11）的值域能為R嗎？為什么？

問(wèn)題3：函數(shù)y=lg（x2+2x-3）的值域能為R嗎？為什么？

學(xué)生通過(guò)對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的思考，問(wèn)題2與3中兩個(gè)函數(shù)類似，而其中一個(gè)值域能為R，另一個(gè)不能為R，原因在哪里呢？學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)產(chǎn)生碰撞，激發(fā)了求真探索的欲望，教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥，這樣通過(guò)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題1、2、3，把思維過(guò)程給以展示，原問(wèn)題的求解就變得輕而易舉、唾手可得了。

從上述分析討論中可以看到，思維情境的創(chuàng)設(shè)與思維過(guò)程的展示不但是疏通學(xué)生思維、有效解決具體教學(xué)課題的需要，更是培育和提升學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)的必要手段。因此，應(yīng)當(dāng)注意將思維過(guò)程的展示與提升靈活而有效地融入每一堂數(shù)學(xué)教學(xué)課中。

（作者單位：江蘇省新海高級(jí)中學(xué)）