邢印忠

摘 要：在江蘇高考考試說(shuō)明中，三角函數(shù)部分涵蓋了八個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中兩角和（差）的正弦、余弦和正切為C級(jí)點(diǎn)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)及幾個(gè)三角恒等式為A級(jí)點(diǎn)，其余均為B級(jí)點(diǎn)，高考中一般以基礎(chǔ)題為主，難度基本為容易題或中檔題，涉及的問(wèn)題主要有三個(gè)方面——三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角變換和解三角形.在解題中，常需對(duì)角的范圍及三角函數(shù)值的符號(hào)情況進(jìn)行討論，對(duì)公式進(jìn)行靈活使用.若審題不嚴(yán)不細(xì)，很容易出錯(cuò)，要三思而后行，形成審慎思維的習(xí)慣.就學(xué)生在解三角函數(shù)題型中常見(jiàn)錯(cuò)誤的原因進(jìn)行剖析.

關(guān)鍵詞：定義內(nèi)涵；函數(shù)定義域；有界性；變換法則；復(fù)合函數(shù)

一、忽視字母的范圍，對(duì)定義的內(nèi)涵沒(méi)有理解到位

例1.已知角？琢的終邊上有一點(diǎn)A（4t，-3t）（t≠0），求2sin？琢+cos？琢的值.

誤解：由條件r=■=5t知sin？琢=■=■=-■，cos？琢=■=■=■

故2sin？琢+cos？琢的值為-■.

簡(jiǎn)析：由于字母t的范圍不定，從而r的值不能保證恒為非負(fù)值，故要討論t的范圍：當(dāng)t>0時(shí)，r=■=5t，2sin？琢+cos？琢的值為-■；

當(dāng)t<0時(shí)，r=■=-5t，2sin？琢+cos？琢的值為■.

二、忽視函數(shù)的定義域，沒(méi)有進(jìn)行等價(jià)變形

例2.已知函數(shù)f（x）滿足f（cos？茲）=cos2？茲-6cos？茲，求f（2sin？茲）的最小值.

誤解：由f（cos？茲）=cos2？茲-6cos？茲=2cos2？茲-6cos？茲-1，令x=cos？茲，

所以f（x）=2x2-6x-1，則f（2sin？茲）=8sin2？茲-12sin？茲-1=8（sin？茲-■）2-■，

當(dāng)sin？茲=■時(shí)，f（2sin？茲）的最小值為-■.

簡(jiǎn)析：由-1≤cos？茲≤1知-1≤x≤1，故-1≤2sin？茲≤1？圯sin？茲∈[-■，■]，

從而當(dāng)sin？茲=■時(shí)，f（2sin？茲）取最小值，最小值為-5.

三、忽視三角函數(shù)的有界性

例3.已知3sin2？琢+2sin2？茁=2sin？琢，求sin2？琢+sin2？茁的最大值和最小值.

誤解：由sin2？茁=■得，sin2？琢+sin2？茁=sin2？琢+■（2sin？琢-3sin2？琢）=-■sin2？琢+sin？琢=-■（sin？琢-1）2+■，

因?yàn)?1≤sin？琢≤1，

所以當(dāng)sin？琢=1時(shí)，sin2？琢+sin2？茁有最大值■，當(dāng)sin？琢=-1時(shí)，sin2？琢+sin2？茁有最小值-■.

簡(jiǎn)析：由sin2？茁=■可得0≤■≤1，即0≤sin？琢≤■.

當(dāng)sin？琢=■時(shí)，sin2？琢+sin2？茁有最大值■，當(dāng)sin？琢=0時(shí)，sin2？琢+sin2？茁有最小值0.

四、沒(méi)有縮小角的范圍，形成思維定式，考慮不周密

例4.已知sin？琢-sin？茁=-■，cos？琢-cos？茁=■，其中？琢，？茁∈（0，■），求tan（？琢-？茁）的值.

誤解：∵sin？琢-sin？茁=-■ （1）cos？琢-cos？茁=■ （2）

由（1）2+（2）2并整理得cos（？琢-？茁）=■

∵？琢，？茁∈（0，■），∴-■<？琢-？茁<■

∴sin（？琢-？茁）=±■=±■

∴tan（？琢-？茁）=■=±■

簡(jiǎn)析：因?yàn)槭芏ㄊ剿季S的慣性影響，？琢，？茁∈（0，■）得-■<？琢-？茁<■，沒(méi)有顧及條件（1）中？琢<？茁從而有-■<？琢-？茁<0，

∴sin（？琢-？茁）=-■=-■

∴tan（？琢-？茁）=■=-■

五、忽視題目隱含條件

例5.設(shè)方程x2+4ax+3a+1=0（a>0）的兩根為x1，x2，記x1=tanα，x2=tanβ，0<α<■，0<β<■，求tan■.

誤解：由韋達(dá)定理可得x1+x2=-4a，x1x2=3a+1，又x1=tanα，x2=tanβ

故tan（？琢+？茁）=■=■=■

由tan（？琢+？茁）=■=■，解得tan■=-2或■.

簡(jiǎn)析：忽視韋達(dá)定理隱含條件，由a>0時(shí)知x1+x2<0及x1x2>0

從而x1<0，x2<0，故？琢，？茁∈（-■，0），從而有？琢+？茁∈（-π，0），■∈（-■，0），故tan■=-2.

六、對(duì)三角函數(shù)中的變換法則理解不到位

例6.將函數(shù)y=sin（2x+■）的圖像向右平移■個(gè)單位得到函數(shù)y=f（x）的圖像，再將函數(shù)y=f（x）圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)=g（x）的圖像，求y=g（x）的表達(dá)式.

誤解：將y=sin（2x+■）圖像右移■個(gè)單位得到函數(shù)y=f（x）=sin（2x+■-■）=sin2x，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)=g（x）=sin2×2x=sin4x.

簡(jiǎn)析：相位變換只是對(duì)自變量x而言的，與x的系數(shù)及符號(hào)無(wú)關(guān)；周期變換是將自變量x的系數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的■倍.應(yīng)為將y=sin（2x+■）圖像右移■個(gè)單位得到函數(shù)y=f（x）=sin[（2（x+■）-■]=sin（2x-■），橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)=g（x）=sin（2×■x-■）=sin（x-■）.

七、忽視復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

例7.求函數(shù)y=2sin（■-2x）的遞增區(qū)間.

誤解：令u=■-2x，則y=sinμ在[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上是增函數(shù)，

即2kπ-■≤■-2x≤2kπ+■，解得kπ-■≤x≤kπ+■（k∈Z），

于是函數(shù)y=2sin（■-2x）在區(qū)間[kπ-■，kπ+■]上是增函數(shù).

簡(jiǎn)析：忽視復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，由u=■-2x是減函數(shù)，而y=sinμ在[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上是增函數(shù)

于是y=2sin（■-2x）在區(qū)間[kπ-■，kπ+■]（k∈Z）上是減函數(shù)

應(yīng)為y=2sin（■-2x）=-2sin（2x-■），令u=2x-■

由2kπ+■≤u≤2kπ+■，即2kπ+■≤2x-■≤2kπ+■

∴kπ+■≤x≤kπ+■

∴函數(shù)y=2sin（■-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+■，kπ+■]（k∈Z）

八、沒(méi)有認(rèn)真審題，忽視三角形的性質(zhì)

例8.在△ABC中，已知a=2，b=2■，C=15°，求A.

誤解：由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos15°=4+8-2×2×2■×■=8-4■

∴c=■-■.

又由正弦定理，得sinA=■=■而0°

簡(jiǎn)析：由題意b>a，∴B>A，又0°

九、忽視三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏

例9.在△ABC中，若■=■，試判斷△ABC的形狀.

誤解：由正弦定理，得■=■

即■=■·■，∵sinA>0，sinB>0

∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.

∴2A=2B，即A=B.故△ABC是等腰三角形.

簡(jiǎn)析：由sin2A=sin2B，∴2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B（k∈Z）.

∵0

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.

從以上所剖析的三角函數(shù)解題中的常見(jiàn)錯(cuò)誤可以看出，透徹理解三角函數(shù)的定義是正確解題的基礎(chǔ)；確定角的范圍既是解題中的重點(diǎn)，又是一個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生在解題中常常出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，它限制三角函數(shù)的符號(hào)與取值范圍；正確確定三角函數(shù)的符號(hào)，使用和挖掘三角公式及法則中的內(nèi)涵是正確解題的關(guān)鍵，只有突破這一解題的關(guān)鍵點(diǎn)，才能順利地解答好三角函數(shù)題，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.

（作者單位 江蘇省南京市南京實(shí)驗(yàn)國(guó)際學(xué)校）

？誗編輯 陳鮮艷